त्रिकोणमिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

अभिव्यक्ति = sinθ/cosθ

गणना:

किसी कोण के साइन और उसी कोण के कोसाइन के अनुपात को उस कोण की स्पर्शज्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

⇒ \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) = tanθ

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया:

समकोण त्रिभुज में, लंब = आधार

प्रयुक्त सूत्र:

sinθ = विपरीत / कर्ण

cosθ = आसन्न / कर्ण

tanθ = विपरीत / आसन्न

गणना:

चूँकि लम्ब = आधार, त्रिभुज समद्विबाहु समकोण है।

मान लीजिए प्रत्येक भुजा = 1 इकाई है।

कर्ण = √(1² + 1²) = √2

sinθ = 1 / √2 = 1 / 1.414 = 0.707 ≈ 1/√2

cosθ = 1 / √2 = 1/√2 (1/2 नहीं)

tanθ = 1 / 1 = 1 (√3 नहीं)

sinθ ≠ 1/2

∴ सही कथन है: sinθ = 1/√2.

दिया गया:

पेड़ की ऊंचाई (विपरीत दिशा) = 1 मीटर

छाया की लंबाई (आसन्न पक्ष) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में उन्नयन कोण की स्पर्शज्या निम्न प्रकार दी जाती है:

tan(θ) = विपरीत पक्ष / आसन्न पक्ष

गणना:

मान लीजिए θ सूर्य का उन्नयन कोण है।

tan(θ) = पेड़ की ऊंचाई / छाया की लंबाई

tan(θ) = \(\frac{1}{1/\sqrt{3}}\)

tan(θ) = \(1 \times \sqrt{3}\)

tan(θ) = \(\sqrt{3}\)

हम जानते हैं कि tan(60°) = \(\sqrt{3}\) .

इसलिए, θ = 60°

∴ सूर्य का उन्नयन कोण 60° है।

दिया गया है:

टॉवर की ऊँचाई = 18 m

पहली लड़की का अवनमन कोण = 30°

दूसरी लड़की का अवनमन कोण = 45°

समकोण त्रिकोणमितीय का उपयोग करें: tan(θ) = ऊँचाई / दूरी

प्रयुक्त सूत्र:

दूरी = ऊँचाई ÷ tan(θ)

गणनाएँ:

माना कि, d₁ = 30° पर लड़की की दूरी = 18 ÷ tan(30°) = 18 ÷ (1/√3) = 18 × √3 = 18 × 1.7 = 30.6 मीटर

माना कि d₂ = 45° पर लड़की की दूरी = 18 ÷ tan(45°) = 18 ÷ 1 = 18 m

लड़कियों के बीच की दूरी = d₁ + d₂ = 30.6 + 18 = 48.6 m

∴ दो लड़कियों के बीच की दूरी = 48.6 m

दिया गया है:

व्यंजक है \((\frac{\sin A}{1-\cos A}+\frac{1-\cos A}{\sin A})\div(\frac{\cot^2A}{1+\csc A}+1) \)

प्रयुक्त सूत्र:

1. sin²A + cos²A = 1

2. 1 + cot²A = csc²A

3. 1 / sin A = csc A

गणना:

सबसे पहले, पहले कोष्ठक में व्यंजक को सरल करते हैं:

⇒ \(\frac{\sin A}{1-\cos A}+\frac{1-\cos A}{\sin A}\)

⇒ \(\frac{\sin^2A+(1-\cos A)^2}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{\sin^2A+1-2\cos A+\cos^2A}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{(\sin^2A+\cos^2A)+1-2\cos A}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{1+1-2\cos A}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{2-2\cos A}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{2(1-\cos A)}{(1-\cos A)\sin A}\)

⇒ \(\frac{2}{\sin A}\)

⇒ 2 csc A ----(1)

अब, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक को सरल करते हैं:

⇒ \(\frac{\cot^2A}{1+\csc A}+1\)

⇒ \(\frac{\cot^2A+1(1+\csc A)}{1+\csc A}\)

⇒ \(\frac{\cot^2A+1+\csc A}{1+\csc A}\)

⇒ \(\frac{\csc^2A+\csc A}{1+\csc A}\)

⇒ \(\frac{\csc A(\csc A+1)}{1+\csc A}\)

⇒ csc A ----(2)

अब, (1) को (2) से भाग देते हैं:

⇒ 2 csc A ÷ csc A = 2

∴ दिए गए व्यंजक का मान 2 है।

दिया हुआ:

BC = 18 मीटर

अवधारणा:

उपयोग किया गया सूत्र:

Tanθ = लंब/आधार

Cosθ = आधार/कर्ण

गणना:

पेड़ की ऊंचाई =  AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

इसलिए, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3 = 18√3

∴ पेड़ की ऊँचाई = 18√3.

ध्यान देनी वाली बात: यहाँ, पेड़ की कुल ऊचाई (AB + AC) है। 

उपरोक्त प्रश्न पिछले वर्ष का प्रश्न है जो सीधे NCERT कक्षा 10 वीं से लिया गया है। सही उत्तर 18√3 होगा

हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके उन्नयन कोण ज्ञात कर सकते हैं:

गणना:

जमीन से दो बिंदुओं के बीच की ऊँचाई के अंतर को "h" और दो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी को "d" के रूप में माने।

उन्नयन कोण ज्ञात करने के लिए tan फलन का प्रयोग करेने पर:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

उन्नयन कोण के लिए गणना:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d})\)

इस स्थिति में, h = 20 मीटर और d = 20√3 मीटर है।  

इसलिए:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

अतः उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है:

tan 53° = 4/3

प्रयुक्त सूत्र:

tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanxtany)

गणना:

हम जानते हैं, 8° = 53° - 45°

Tan8° = tan(53° - 45°)

⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)

⇒ tan8° = (4/3 – 1)/(1 + 4/3 × 1)

⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)

प्रयुक्त अवधारणा: 

sec²(x) = 1 + tan²(x)

गणना: 

⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30

दिया गया है:

tanθ + cotθ = √3

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

गणना:

tanθ + cotθ = √3

दोनों ओर का घन लेने पर, हमें प्राप्त होता है

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

दोनों ओर का वर्ग लेने पर

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ का मान - 2 है।

क्योंकि,

⇒ sec²θ = 1 + tan²θ

हमारे पास है,

⇒ (sec²θ)² – sec²θ = 3

⇒ (1 + tan²θ)² – (1 + tan²θ) = 3

⇒ (1 + tan⁴θ + 2tan²θ) – (1 + tan²θ) = 3

⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ – 1 – tan²θ = 3

प्रयुक्त सूत्र:

1/Cosec Ø = Sin Ø 

Sin2Ø + Cos2Ø = 1

गणना:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x = 18

⇒ x2 = 324

∴ x2 का मान 324 है। 

दिया गया है,

ΔABC में,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 m

ΔAED में,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

घर की कुल ऊंचाई = 10√3 + 20√3 = 30√3

महिला की ऊंचाई = CD = BE = 20√3

घर की कुल ऊंचाई और महिलाएं = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घर और महिलाओं की कुल ऊंचाई 50√3 है

दिया गया है:

secθ - cosθ = 14 और 14 secθ = x

प्रयुक्त अवधारणा:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\)      ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x का मान \(tan²\theta\) है।

दिया गया है:

दिया गया व्यंजक = \(\frac{{\sin 23^\circ \cos 67^\circ + \sec52^\circ \sin38^\circ + \cos 23^\circ \sin 67^\circ + \rm cosec52^\circ \cos 38^\circ }}{{\rm cose{c^2}20^\circ - {{\tan }^2}70^\circ }}\)

प्रयुक्त सूत्र:

cos 67° = sin (90° - 67°) = sin 23°

sin 67° = cos (90° - 67°) = cos 23°

sin² θ + cos² θ = 1

sec² θ - tan² θ = 1

गणना:

\(\frac{{\sin 23^\circ \cos 67^\circ + \sec52^\circ \sin38^\circ + \cos 23^\circ \sin 67^\circ + \rm cosec52^\circ \cos 38^\circ }}{{\rm cose{c^2}20^\circ - {{\tan }^2}70^\circ }}\)

= \(\frac{{\sin 23^\circ \sin 23^\circ +\frac{1}{cos\,52^\circ} \sin38^\circ + cos 23^\circ cos 23^\circ + \frac{1}{sin\,52^\circ} \cos 38^\circ }}{sec^2\,70^\circ-tan^2\,70^\circ}\)

= \(\frac{sin^2\,23^\circ+\frac{sin\,38^\circ}{sin\,38^\circ}+cos^2\,23^\circ+\frac{cos\,38^\circ}{cos\,38^\circ}}{1}\)

= sin2 23° + 1 + cos2 23° + 1

= 1 + 1 + 1

= 3

∴ दिए गए व्यंजक का मान 3 है।