त्रिकोणमिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

cot θ = 3/4

प्रयुक्त सूत्र:

sin 3θ = 3sin θ - 4sin³ θ

गणना:

cot θ = 3/4

⇒ tan θ = 4/3

⇒ sin θ = 4/5

⇒ sin3 θ = (4/5)3 = 64/125

⇒ sin 3θ = 3 × (4/5) - 4 × (64/125)

⇒ sin 3θ = 12/5 - 256/125

⇒ sin 3θ = 300/125 - 256/125

⇒ sin 3θ = 44/125

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

टॉवर की ऊँचाई (h) = 250\(\sqrt{3}\) मीटर

टॉवर के पाद से बिंदु की दूरी (b) = 250 मीटर

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में, tan\(\theta\) = लंब / आधार 

यहाँ, लम्ब = टॉवर की ऊँचाई

आधार = टॉवर के पाद से दूरी

परिकलन:

माना, \(\theta\) उन्नयन कोण है।

tan\(\theta\) = टॉवर की ऊँचाई / टॉवर के पाद से दूरी 

tan\(\theta\) = \(\frac{250\sqrt{3}}{250}\)

⇒ tan\(\theta\) = \(\sqrt{3}\)

हम जानते हैं कि tan(60°) = \(\sqrt{3}\)

⇒ \(\theta\) = 60°

इसलिए, उन्नयन कोण 60° है।

दिया गया है:

\(\tan\theta = \frac{7}{8}\)

ज्ञात करने के लिए व्यंजक: \(\dfrac{(1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)}{(1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)(\cot\theta)}\)

प्रयुक्त सूत्र:

1. (a + b)(a - b) = a² - b²

2. \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)

⇒ \(1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta\)

⇒ \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\)

3. \(\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

4. \(\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}\)

गणना:

अंश को सरल कीजिए:

अंश = \((1 + \sin\theta)(1 - \sin\theta)\)

⇒ अंश = \(1^2 - \sin^2\theta\)

⇒ अंश = \(1 - \sin^2\theta\)

⇒ अंश = \(\cos^2\theta\)

हर को सरल कीजिए:

हर = \((1 + \cos\theta)(1 - \cos\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \((1^2 - \cos^2\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \((1 - \cos^2\theta)(\cot\theta)\)

⇒ हर = \(\sin^2\theta \times \cot\theta\)

\(\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\) प्रतिस्थापित कीजिए:

⇒ हर = \(\sin^2\theta \times \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

⇒ हर = \(\sin\theta \cos\theta\)

अब, सरलीकृत अंश और हर को व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए:

व्यंजक = \(\dfrac{\cos^2\theta}{\sin\theta \cos\theta}\)

अंश और हर से \(\cos\theta\) को काट दीजिए:

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\)

⇒ व्यंजक = \(\cot\theta\)

दिया गया है \(\tan\theta = \dfrac{7}{8}\).

चूँकि \(\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}\):

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{1}{\frac{7}{8}}\)

⇒ व्यंजक = \(\dfrac{8}{7}\)

इसलिए, व्यंजक का मान \(\dfrac{8}{7}\) है।

दिया गया है:

छड़ की लंबाई : परछाई की लंबाई = 2 : √12

प्रयुक्त सूत्र:

tan θ = छड़ की ऊँचाई ÷ परछाई की लंबाई

गणना:

⇒ tan θ = 2 ÷ √12

⇒ tan θ = 2 ÷ 2√3 = 1 ÷ √3

⇒ θ = 30°

इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है:

क्षैतिज दूरी = 48 मीटर; उन्नयन कोण = \(30°\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(\tan θ = \frac{\text{height}}{\text{distance}}\)

गणना:

⇒ \(\tan30° = \frac{h}{48}\)

⇒ \(\frac{1}{√3} = \frac{h}{48}\)

⇒ h = \(48 × \frac{1}{√3} = \frac{48}{√3}\) = 16√3

इसलिए, मीनार की ऊँचाई 16√3 मीटर है।

दिया हुआ:

BC = 18 मीटर

अवधारणा:

उपयोग किया गया सूत्र:

Tanθ = लंब/आधार

Cosθ = आधार/कर्ण

गणना:

पेड़ की ऊंचाई =  AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

इसलिए, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3 = 18√3

∴ पेड़ की ऊँचाई = 18√3.

ध्यान देनी वाली बात: यहाँ, पेड़ की कुल ऊचाई (AB + AC) है। 

उपरोक्त प्रश्न पिछले वर्ष का प्रश्न है जो सीधे NCERT कक्षा 10 वीं से लिया गया है। सही उत्तर 18√3 होगा

हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करके उन्नयन कोण ज्ञात कर सकते हैं:

गणना:

जमीन से दो बिंदुओं के बीच की ऊँचाई के अंतर को "h" और दो बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी को "d" के रूप में माने।

उन्नयन कोण ज्ञात करने के लिए tan फलन का प्रयोग करेने पर:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

उन्नयन कोण के लिए गणना:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d})\)

इस स्थिति में, h = 20 मीटर और d = 20√3 मीटर है।  

इसलिए:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

अतः उन्नयन कोण 30° है।

दिया गया है:

tan 53° = 4/3

प्रयुक्त सूत्र:

tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanxtany)

गणना:

हम जानते हैं, 8° = 53° - 45°

Tan8° = tan(53° - 45°)

⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)

⇒ tan8° = (4/3 – 1)/(1 + 4/3 × 1)

⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)

प्रयुक्त अवधारणा: 

sec²(x) = 1 + tan²(x)

गणना: 

⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30

दिया गया है:

tanθ + cotθ = √3

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

गणना:

tanθ + cotθ = √3

दोनों ओर का घन लेने पर, हमें प्राप्त होता है

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

दोनों ओर का वर्ग लेने पर

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ का मान - 2 है।

क्योंकि,

⇒ sec²θ = 1 + tan²θ

हमारे पास है,

⇒ (sec²θ)² – sec²θ = 3

⇒ (1 + tan²θ)² – (1 + tan²θ) = 3

⇒ (1 + tan⁴θ + 2tan²θ) – (1 + tan²θ) = 3

⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ – 1 – tan²θ = 3

प्रयुक्त सूत्र:

1/Cosec Ø = Sin Ø 

Sin2Ø + Cos2Ø = 1

गणना:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x = 18

⇒ x2 = 324

∴ x2 का मान 324 है। 

दिया गया है,

ΔABC में,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 m

ΔAED में,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

घर की कुल ऊंचाई = 10√3 + 20√3 = 30√3

महिला की ऊंचाई = CD = BE = 20√3

घर की कुल ऊंचाई और महिलाएं = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घर और महिलाओं की कुल ऊंचाई 50√3 है

दिया गया है:

secθ - cosθ = 14 और 14 secθ = x

प्रयुक्त अवधारणा:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\)      ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x का मान \(tan²\theta\) है।

दिया गया है:

दिया गया व्यंजक = \(\frac{{\sin 23^\circ \cos 67^\circ + \sec52^\circ \sin38^\circ + \cos 23^\circ \sin 67^\circ + \rm cosec52^\circ \cos 38^\circ }}{{\rm cose{c^2}20^\circ - {{\tan }^2}70^\circ }}\)

प्रयुक्त सूत्र:

cos 67° = sin (90° - 67°) = sin 23°

sin 67° = cos (90° - 67°) = cos 23°

sin² θ + cos² θ = 1

sec² θ - tan² θ = 1

गणना:

\(\frac{{\sin 23^\circ \cos 67^\circ + \sec52^\circ \sin38^\circ + \cos 23^\circ \sin 67^\circ + \rm cosec52^\circ \cos 38^\circ }}{{\rm cose{c^2}20^\circ - {{\tan }^2}70^\circ }}\)

= \(\frac{{\sin 23^\circ \sin 23^\circ +\frac{1}{cos\,52^\circ} \sin38^\circ + cos 23^\circ cos 23^\circ + \frac{1}{sin\,52^\circ} \cos 38^\circ }}{sec^2\,70^\circ-tan^2\,70^\circ}\)

= \(\frac{sin^2\,23^\circ+\frac{sin\,38^\circ}{sin\,38^\circ}+cos^2\,23^\circ+\frac{cos\,38^\circ}{cos\,38^\circ}}{1}\)

= sin2 23° + 1 + cos2 23° + 1

= 1 + 1 + 1

= 3

∴ दिए गए व्यंजक का मान 3 है।