प्राथमिक सांख्यिकी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Elementary Statistics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमें पहले आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना होगा:

1, 1, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 11

यहाँ 10 आँकड़े हैं (एक सम संख्या)। सम संख्या में आँकड़ों के लिए, माध्यिका दो मध्य मानों का औसत होती है।

दो मध्य मान क्रमबद्ध सूची में 5वाँ और 6वाँ मान हैं, जो 4 और 6 हैं।

माध्यिका = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5

इसलिए, दिए गए आँकड़ों की माध्यिका 5 है।

गणना:

अनुमानित माध्य (x̄) का सूत्र:

x̄ = Σ(f × x) / Σf

गणना:

x̄ = 1288 / 21

x̄ ≈ 61.33

आँकड़ों का अनुमानित माध्य 61.33 है।

गणना:

बहुलक ज्ञात करने के लिए, हमें उस संख्या की पहचान करने की आवश्यकता है जो आँकड़ा समुच्चय में सबसे अधिक बार आती है।

आँकड़ों को सूचीबद्ध करें और प्रत्येक संख्या की आवृत्ति गिनें:

53: 1

55: 1

56: 2

58: 2

59: 2

60: 1

61: 2

62: 3

64: 1

65: 2

67: 1

68: 2

70: 1

गिनती से, संख्या 62, 3 बार आती है, जो किसी भी अन्य संख्या से अधिक है।

इसलिए, दिए गए आँकड़ों का बहुलक 62 है।

प्रयुक्त सूत्र:

विविक्त बारंबारता बंटन के लिए माध्यिका। सबसे पहले, संचयी बारंबारता की गणना करें। यदि N (कुल बारंबारता) विषम है, तो माध्यिका (N+1)/2वें प्रेक्षण के संगत मान है। यदि N सम है, तो माध्यिका N/2वें और (N/2)+1वें प्रेक्षणों के संगत मानों का औसत है।

गणना:

आयु के आरोही क्रम में डेटा को व्यवस्थित करें और संचयी बारंबारता (cf) ज्ञात करें:

आयु: 3, बारंबारता: 9, संचयी बारंबारता: 9

आयु: 4, बारंबारता: 6, संचयी बारंबारता: 9 + 6 = 15

आयु: 6, बारंबारता: 4, संचयी बारंबारता: 15 + 4 = 19

आयु: 7, बारंबारता: 3, संचयी बारंबारता: 19 + 3 = 22

आयु: 8, बारंबारता: 5, संचयी बारंबारता: 22 + 5 = 27

आयु: 10, बारंबारता: 11, संचयी बारंबारता: 27 + 11 = 38

बच्चों की कुल संख्या (N) = 38

चूँकि N सम है, माध्यिका N/2वें और (N/2)+1वें प्रेक्षणों का औसत है।

⇒ 38/2वाँ = 19वाँ प्रेक्षण

⇒ (38/2) + 1वाँ = 20वाँ प्रेक्षण

संचयी बारंबारता से:

19वाँ प्रेक्षण संचयी बारंबारता 19 में आता है, जो 6 वर्ष की आयु के संगत है।

20वाँ प्रेक्षण संचयी बारंबारता 22 में आता है, जो 7 वर्ष की आयु के संगत है।

माध्यिका = (6 + 7) / 2

⇒ माध्यिका = 13 / 2

⇒ माध्यिका = 6.5

प्रयुक्त सूत्र:

माध्यिका वर्ग के लिए: N/2 की गणना करें। जिस वर्ग की संचयी आवृत्ति N/2 से अधिक और निकटतम है, वह माध्यिका वर्ग है। इस वर्ग की ऊपरी सीमा x है।

बहुलक वर्ग के लिए: संचयी आवृत्ति बंटन को साधारण आवृत्ति बंटन में बदलें। सबसे अधिक आवृत्ति वाला वर्ग बहुलक वर्ग है। इस वर्ग की निचली सीमा y है।

गणना:

सर्वप्रथम, दिए गए संचयी आवृत्ति बंटन से एक आवृत्ति बंटन सारणी बनाएँ:

विद्यार्थियों की कुल संख्या (N) = 80

माध्यिका वर्ग = N/2 = 80/2 = 40

40 से अधिक और निकटतम संचयी आवृत्ति 47 है, जो 30-40 वर्ग अंतराल से संबंधित है।

इसलिए, माध्यिका वर्ग 30-40 है।

माध्यिका वर्ग की ऊपरी सीमा (x) = 40 है।

बहुलक वर्ग: आवृत्ति स्तंभ में सबसे अधिक आवृत्ति 25 है, जो 50-60 वर्ग अंतराल से संबंधित है।

इसलिए, बहुलक वर्ग 50-60 है।

बहुलक वर्ग की निचली सीमा (y) = 50 है।

(2x + y) की गणना:

2x + y = 2 × 40 + 50

⇒ 2x + y = 80 + 50

⇒ 2x + y = 130

दिया गया है:

यदि बहुलक 8 है और (माध्य - माध्यिका) = 12

प्रयुक्त सूत्र: 

बहुलक = माध्य - 3 (माध्य - माध्यिका)

बहुलक = 3 माध्यिका - 2 माध्य

गणना

हम जानते हैं कि, बहुलक = माध्य - 3(माध्य - माध्यिका)

मान रखिए, 8 = माध्य – 3 (12)

माध्य = 36 + 8 = 44

अवधारणा:

बहुलक वह मान है जो आंकड़ों के एक समूह में सबसे अधिक बार दिखाई देता है।

गणना:

32, 8 बार दिखाई दिया

14, 4 बार दिखाई दिया

59, 12 बार दिखाई दिया

41, 8 बार दिखाई दिया

28, 10 बार दिखाई दिया

7, 16 बार दिखाई दिया

34, 15 बार दिखाई दिया

20, 9 बार दिखाई दिया

∴ बहुलक 7 होगा

अवधारणा:

बहुलक, माध्यक और माध्य के बीच संबंध निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

बहुलक = 3 × माध्यक – 2 × माध्य

गणना:

दिया गया है:

बहुलक – माध्यक = 2

जैसा कि हम जानते हैं,

बहुलक = 3 × माध्यक – 2 × माध्य

अब, बहुलक = माध्यक + 2

⇒ (2 + माध्यक) = 3 माध्यक – 2माध्य

⇒ 2 माध्यक - 2 माध्य = 2

⇒ माध्यक - माध्य = 1

∴ माध्यक और माध्य के बीच अंतर 1 है।

माध्य दी गई संख्याओं का औसत होता है,

⇒ माध्य = (36 + 28 + 45 + 51)/4 = 160/4 = 40

प्रसरण की गणना प्रत्येक पद और माध्य के बीच के अंतर के वर्गों का औसत लेकर की जाती है,

⇒ प्रसरण = [(36 - 40)² + (28 - 40)² + (45 - 40)² + (51 - 40)²]/4

= [16 + 144 + 25 + 121]/4 = 306/4 = 76.5

दिया गया है:

आंकड़ें 3, 10, 10, 4, 7, 10, 5 है।

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य से औसत विचलन

$\sum \frac{|{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\mathrm{x}̅|}{\mathrm{n}}$ जहाँ x̅ = माध्य

xi = अवयवी पद

n = पदों की कुल संख्या

माध्य = सभी पदों का योग/पदों की कुल संख्या

गणना:

n = आँकड़ों में कुल संख्या = 7

माध्य x̅ = (3 + 10 + 10 + 4 + 7 + 10 + 5)/7 = 7

माध्य से माध्य विचलन = $\sum \frac{|{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\mathrm{x}̅|}{\mathrm{n}}$

माध्य से माध्य विचलन = (1/7) × [4 + 3 + 3 + 3 + 0 + 3 + 2]

∴ माध्य विचलन = 18/7

दिया गया है:

पांच क्रमागत सम संख्याओं का माध्य = 16

प्रयुक्त सूत्र:

$\mathrm{V}=\frac{\sum {\left|\mathrm{x}-\mathrm{m}\right|}^2}{\mathrm{n}}$

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{m}\right)=\frac{\left\{2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right\}}{2}$

V = प्रसरण

∑ = योग

x = अवलोकन

n = अवलोकनों की संख्या

a = संख्याओं का पहला पद

d = सार्व अंतर

गणना:

$\frac{\left\{2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right\}}{2}=16$

⇒ 2a + (5 – 1)2 = 32

⇒ 2a + 4 × 2 = 32

⇒ 2a = 32 – 8

⇒ 2a = 24

⇒ a = 12

पहला पद = 12

अन्य पद 14, 16, 18, 20 हैं

$\mathrm{V}=\frac{{\left(12-16\right)}^2+{\left(14-16\right)}^2+{\left(16-16\right)}^2+{\left(18-16\right)}^2+{\left(20-16\right)}^2}{5}$

⇒ $\frac{16+4+0+4+16}{5}$

⇒ $\frac{40}{5}$

⇒ 8

⇒ V = 8

∴ संख्याओं का प्रसरण 8 है

दिया गया है

3, 4, 5, 7, 10, 10, 10

प्रयुक्त अवधरणा

माध्य = औसत

विचलन, श्रेणी में दी गई संख्या का अंतर होता है।

गणना

माध्य = $\frac{3+4+5+7+10+10+10}{7}$

माध्य = 49/7

माध्य = 7

श्रेणी में दी गई सभी संख्याओं के माध्य विचलन की जाँच करते है।

माध्य विचलन

⇒  |7 - 3|, |7 - 4|, |7 - 5|, |7 - 7|, |7 - 10|, |7 - 10|, |7 - 10|

⇒ 4, 3, 2, 0, 3, 3, 3

माध्य विचलन = $\frac{3+4+2+3+3+3}{7}$

माध्य विचलन = 18/7

दिया गया है:

एक वर्ग का मध्य मान = 12

चौड़ाई = 6

प्रयुक्त सूत्र:

निचली सीमा = मध्य मान – चौड़ाई/2

गणना:

निचली सीमा = 12 - 6/2

⇒ 12 - 3

⇒ 9

∴ वर्ग की निचली सीमा 9 है। 

दिया है :

एक डेटा समूह का मानक विचलन 34 दिया गया है।

संकल्पना :

अंतर का मान मानक विचलन का वर्ग होता है।

उपयोग किया गया सूत्र :
मानक विचलन = √अंतर

गणना :  

सूत्र का उपयोग करने पर :

दिया गया है:

7, 13, 15, 11, 4

प्रयुक्त सूत्र:

 $\mathrm{S}.\mathrm{D}=\surd \frac{\sum |\mathrm{x}-\mathrm{m}{|}^2}{\mathrm{n}}$

माध्य (m) = कुल अवलोकन/अवलोकनों की संख्या

S.D = मानक विचलन

∑ = योग

x = अवलोकन

m = अवलोकनों का माध्य

n = अवलोकनों की संख्या

गणना:

7, 13, 15, 11, 4 का माध्य

⇒ 50/5

⇒ 10

$\mathrm{S}.\mathrm{D}=\surd \frac{{\left(7-10\right)}^2+{\left(13-10\right)}^2+{\left(15-10\right)}^2+{\left(11-10\right)}^2+{\left(4-10\right)}^2}{5}$

⇒ $\surd \frac{9+9+25+1+36}{5}$

⇒ $\surd \frac{80}{5}$

⇒ √16

⇒ 4

∴ मानक विचलन 4 है