Trigonometry MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Trigonometry - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

Shortcut Trick

നിരീക്ഷണത്തിലൂടെ:

cosec θ യുടെ മൂല്യം എല്ലായിപ്പോഴും 1 നോട് കൂടുതലും തുല്യവുമാണ്  അല്ലെങ്കിൽ അതിൽ കുറവും -1 ന് തുല്യവുമാണ് എന്നതിനാൽ ഓപ്‌ഷൻ (1) ഉം (2) ഉം ഉത്തരമാകില്ല.

cosec θ = 2, θ = 30° ആകട്ടെ

ഈ മൂല്യം സമവാക്യത്തിൽ നൽകുമ്പോൾ,

3(sec230  + tan230) = 5,

⇒ 3(4/3 + 1/3) = 5 

⇒ 5 = 5

സമവാക്യം തൃപ്തികരമാണ്.

∴ cosec θ യുടെ മൂല്യം 2 ആണ്.

പരമ്പരാഗത രീതി:

നൽകിയത്:

3(sec²θ  + tan²θ) = 5

സൂത്രവാക്യം:

sec²θ = 1 + tan²θ

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ 3(sec²θ  + tan²θ) = 5

⇒ 3(1 + tan²θ + tan²θ) = 5

⇒ 3 (1 + 2tan²θ) = 5

⇒ 1 + 2tan2θ = 5/3

⇒ 2tan2θ = 5/3 - 1

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30° as 0° < θ < 90°

അപ്പോൾ,

∴ cosec 30° = 2

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

\(\frac{tan 40° sec 50°}{cot 50° cosec 40°} + sin 50° cos 40° + cos^2 50° + tan 30° \)

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം 

sin (90° - θ) = cos θ 

sin² A + cos² A = 1 

cot(90° - θ) = tan θ

cosec(90 - θ) = sec θ 

കണക്കുകൂട്ടൽ 

\(\frac{tan 40° sec 50°}{cot 50° cosec 40°} + sin 50° cos 40° + cos^2 50° + tan 30° \)

⇒ (tan 40° sec 50°)/[cot (90° - 40°) cosec (90° - 50°)] + sin 50° cos(90 - 50°) + cos² 50° + tan 30° 

⇒ (tan 40° sec 50°)/(tan 40° sec 50°) + sin2 50° + cos2 50° + tan 30° 

⇒ 1 + 1 + 1/√3 = (2√3 + 1)/√3

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം (2√3 + 1)/√3 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

sin A = 1/2

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

കണക്കുകൂട്ടൽ:

sin A = 1/2

⇒ sin A = sin 30° 

⇒ A = 30° 

 A യുടെ മൂല്യം sin² 2A യിൽ നൽകിയാൽ

⇒ sin2 (2 × 30°)

⇒ sin2 60°

⇒ (√3/2)2

⇒ 3/4

∴ sin² 2A എന്നതിന്റെ മൂല്യം 3/4 ആണ്. 

തന്നിരിക്കുന്നത്:

sin A = 1/2

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

sin 2A = 2sin A × cos A

cos A = √(1 - sin2A)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

sin 2A = 2sin A × cos A

⇒ sin A = 1/2

⇒ cos A = √(1 - sin²A)

⇒ cos A = √[1 - (1/2)²]

⇒ cos A = √3/2

⇒ sin² 2A = [2 × (1/2) × (√3/2)]²

⇒ 3/4   

∴ sin2 2A എന്നതിന്റെ മൂല്യം 3/4 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

പദപ്രയോഗം = tan66° tan30° tan24° tan27°/cot63°

ഉപയോഗിച്ച ആശയങ്ങൾ:

cotθ = 1/tanθ

കണക്കുകൂട്ടൽ:

tan66° tan30° tan24° tan27°/cot63° = tan66° × 1/√3 × tan(90° - 66°) × tan(90° - 63°)/cot63°

⇒ tan66° tan30° tan24° tan27°/cot63° = tan66° × 1/√3 × cot66° × cot63°/cot63°

⇒ tan66° tan30° tan24° tan27°/cot63° = 1/√3

∴ tan66° tan30° tan24° tan27°/cot63° ഇതിന്റെ മൂല്യം  1/√3 ആണ്.

tan 2A = cot (A – 30°), 

⇒ cot (90° - 2A) = cot (A – 30°), 

⇒ (90° - 2A) = (A – 30°), 

⇒ A = 40°

തന്നിരിക്കുന്നത്:

BC = 18 മീറ്റർ 

ആശയം:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

Tanθ =ലംബം/പാദം 

Cosθ = പാദം/കർണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

വൃക്ഷത്തിന്റെ ഉയരം = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

അതിനാൽ, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3 

⇒ 54/√3 × √3 /√3  (ഛേദത്തിൽ നിന്നും മൂലം(root) ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനായി യുക്തി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ വൃക്ഷത്തിന്റെ ഉയരം = 18√3.

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം: ഇവിടെ, വൃക്ഷത്തിന്റെ ആകെ ഉയരം (AB + AC) ആണ്.

മുകളിലുള്ള ചോദ്യം കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ ചോദ്യമാണ്. NCERT  പത്താം ക്ലാസിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്ത ചോദ്യം. ശരിയായ ഉത്തരം 18√3 ആയിരിക്കും.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

tanθ + cotθ = √3

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

കണക്കുകൂട്ടൽ:

tanθ + cotθ = √3

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരു വശങ്ങളിലും ത്രിവര്‍ഗ്ഗം കാണുമ്പോൾ 

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരു വശങ്ങളിലും വര്‍ഗ്ഗം കാണുമ്പോൾ

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ ന്റെ മൂല്യം - 2 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്,

ഒരു സ്ത്രീ അവരുടെ വീട്ടിൽ നിന്ന് 30 മീറ്റർ അകലെ നിൽക്കുന്നു. അവരുടെ ശിരസ്സിൽ നിന്നും വീടിന്റെ മുകളറ്റത്തേക്കുള്ള മേൽക്കോൺ 30°ഉം, അവരുടെ പാദത്തിൽ നിന്ന് വീടിന്റെ മുകളറ്റത്തേക്കുള്ള മേൽക്കോൺ 60°ഉം ആണ്. 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ΔABC യിൽ,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 മീ.

ΔAED യിൽ, 

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 മീ.

വീടിന്റ മൊത്തം ഉയരം = 10√3 + 20√3 = 30√3

സ്ത്രീയുടെ ഉയരം = CD = BE = 20√3

വീടിന്റെയും സ്ത്രീയുടെയും മൊത്തം ഉയരം = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ വീടിന്റെയും സ്ത്രീയുടെയും മൊത്തം ഉയരം 50√3 ആണ്.

cot⁴θ + cot²θ = 3 = cos⁴x/sin⁴x + cos²x/sin²x

⇒ cos²x(cos²x + sin²x)/ sin⁴x = 3 (ലസാഗു എടുക്കുമ്പോൾ)

⇒ cos²x/sin⁴x = 3 = cot²xcosec²x

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഗോവണിയുടെ നീളം = 5 മീറ്റർ

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

ഭിത്തിയിൽ നിന്ന് ഗോവണിയുടെ പാദത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം

 \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 m

അത് ഇപ്പോൾ ആകുന്നത് 4 - 2.6 = 1.4 m

അതിനാൽ, ഉയരം \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

അതിനാൽ ഗോവണി 4.8 - 3 = 1.8 മീറ്റർ മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

∴ ഗോവണിയുടെ മുകൾഭാഗം ഭിത്തിയിൽ മുകളിലേക്ക് 1.8 മീ. നീങ്ങുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\(\rm \frac{sin\space23°}{cos\space67°}+\frac{cos\space71°}{sin\space19°}\)

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

sin (90°- x) = cos x 

cos (90°- x) = sin x 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

\(\rm \frac{sin\space23°}{cos\space67°}+\frac{cos\space71°}{sin\space19°}\)

⇒ sin(90° - 67°)/cos 67° + cos (90° - 19°)/sin 19°

⇒ cos 67°/ cos 67° + sin 19°/sin 19°

⇒ 1 + 1 = 2 

∴ ആവശ്യമായ ഫലം = 2

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

16 sec² θ – 40 sec θ + 25 = 0

കണക്കുകൂട്ടൽ:

⇒ 16 sec² θ – 40 sec θ + 25 = 0

⇒ 16 sec² θ – 2 × 4 × 5 sec θ + 25 = 0

⇒ (4secθ - 5)² = 0

⇒ 4secθ = 5

⇒ secθ = 5/4

അപ്പോൾ,

⇒ 1 + tan²θ = sec²θ

⇒ tan² θ = 25/16 - 1 = 9/16

∴ tanθ = 3/4

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\(\sqrt{\text {sec}^4 θ - \text {tan}^4 θ - \text {tan}^2 θ}\) × \(\sqrt{\text {cosec}^4 θ - \text {cot}^4 θ - \text {cot}^2 θ}\) = ?

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(1) a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

(2) sec2θ - tan2θ = 1

(3) cosec2θ - cot2θ = 1

(4) √a × √b = √(ab)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

മുകളിലുള്ള സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

⇒ \(\sqrt{(\text {sec}^4 θ - \text {tan}^4 θ - \text {tan}^2 θ) × (\text {cosec}^4 θ - \text {cot}^4 θ - \text {cot}^2 θ)}\)  = ?

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗമെടുക്കുക.

⇒ (sec⁴θ - tan4θ - tan2θ) × (cosec4θ - cot4θ - cot2θ) = ?²

⇒ [(sec4θ - tan4θ) - tan2θ] × [(cosec4θ - cot4θ) - cot2θ] = ?2

⇒ [(sec2θ - tan2θ)(sec2θ + tan²θ) - tan2θ] × [(cosec2θ - cot2θ)(cosec²θ + cot2θ) - cot2θ)] = ?2

⇒ [(1)(sec2θ + tan2θ) - tan2θ] × [(1)(cosec2θ + cot2θ) - cot2θ)] = ?2

⇒ [sec2θ + tan2θ - tan2θ] × [cosec2θ + cot2θ - cot2θ)] = ?2

⇒ [sec2θ] × [cosec2θ] = ?2

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗമൂലമെടുക്കുക 

⇒ √[sec2θ × cosec2θ] = ?

⇒ ? = secθ × cosecθ

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം secθ × cosecθ ആണ്.Additional Information

പരീക്ഷകളിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

സൂത്രവാക്യം പട്ടിക I:

(1) sin2θ + cos2θ = 1

(2) sec2θ - tan2θ = 1

(3) cosec2θ - cot2θ = 1

സൂത്രവാക്യം പട്ടിക II:

(1) sin4θ - cos4θ = (sin2θ - cos2θ)(sin2θ + cos2θ) = (sin2θ - cos2θ)

(2) sec4θ - tan4θ = (sec2θ - tan2θ)(sec2θ + tan2θ) = (sec2θ + tan2θ)

(3) cosec4θ - cot4θ = (cosec2θ - cot2θ)(cosec2θ + cot2θ) = (cosec2θ + cot2θ)

നൽകിയിരിക്കുന്നത്,

(1 - sinA)2 + (1 + sinA)2 + (1 - cosA)2 + (1 + cosA)2

⇒ 1 + sin2A – 2 sinA + 1 + sin2A + 2 sinA + 1 + cos2A – 2 cosA + 1 + cos2A + 2 cosA (∵ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2)

⇒ 1 + sin2A + 1 + sin2A + 1 + cos2A + 1 + cos2A

⇒ 4 + 2 (sin2A + cos2A)

⇒ 4 + 2 = 6 (∵ sin2A + cos2A = 1)

tan 2A = cot (A - 18°)

⇒ tan 2A = tan [90° - (A - 18°)]

⇒ 2A = 90° - A + 18°

⇒ 2A + A = 108°

⇒ 3A = 108°

⇒ A = 108/3 = 36°