संख्या पद्धति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Number System - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

कथन:

A) (P) एक पूर्ण वर्ग है।

B) (P), 2000 से बड़ा है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि (P) एक पूर्ण वर्ग है, तो (P) = (n²) जहाँ (n) एक प्राकृतिक संख्या है। 1 से बड़ी कोई अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती है।

गणना:

दिए गए विकल्पों की A और B से जाँच करने पर:

विकल्प 1: A और B दोनों एक साथ

A कहता है (P) एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए (P) एक अभाज्य संख्या नहीं हो सकती है।

विकल्प 2: केवल B

B यह निर्धारित करने में मदद नहीं करता है कि (P) एक अभाज्य संख्या है या नहीं, क्योंकि यह केवल यह बताता है कि (P) > 2000 है।

विकल्प 3: केवल A

A कहता है (P) एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए (P) एक अभाज्य संख्या नहीं हो सकती है।

विकल्प 4: A और B दोनों के साथ भी निर्णय लेना संभव नहीं है।

यह सत्य नहीं है, क्योंकि A अकेले ही निर्णय ले सकता है।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

भिन्न: 1/3, 7/6, 5/9, 4/27, 8/15

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों के LCM की गणना निम्नानुसार की जाती है:

भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

गणना:

चरण 1: अंश और हरों की पहचान कीजिए:

अंश: 1, 7, 5, 4, 8

हर: 3, 6, 9, 27, 15

चरण 2: अंशों के LCM की गणना कीजिए:

(1, 7, 5, 4, 8) का LCM = 280

चरण 3: हरों के HCF की गणना कीजिए:

(3, 6, 9, 27, 15) का HCF = 3

चरण 4: भिन्नों के LCM की गणना कीजिए:

LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

LCM = 280 / 3

दी गई भिन्नों का LCM 280/3 है।

दिया गया है:

पाँच घंटियों के बजने के अंतराल: 6, 5, 7, 10 और 12 सेकंड

प्रयुक्त सूत्र:

घंटियों के एक साथ बजने की संख्या, दिए गए समय सीमा में उनके अंतराल के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा निर्धारित की जाती है।

LCM = लघुत्तम समापवर्त्य

गणना:

6, 5, 7, 10 और 12 का LCM

अभाज्य गुणनखंड:

6 = 2 × 3

5 = 5

7 = 7

10 = 2 × 5

12 = 22 × 3

LCM = 22 × 3 × 5 × 7

⇒ LCM = 4 × 3 × 5 × 7

⇒ LCM = 420 सेकंड

1 घंटा = 3600 सेकंड

1 घंटे में वे एक साथ कितनी बार बजेंगे:

शुरुआत को छोड़कर:

3600 / 420 = 8.57

⇒ 8 बार

सही उत्तर विकल्प 2 है। 

दिया गया है:

यदि p और q पूर्ण वर्ग हैं, तो √(p/q) हमेशा एक परिमेय संख्या होती है।

प्रयुक्त सूत्र:

यदि p = a² और q = b², जहाँ a और b पूर्णांक हैं, तो:

√(p/q) = √(a²/b²) = a/b

गणना:

मान लीजिए p = 16 (4²) और q = 9 (3²):

√(p/q) = √(16/9)

⇒ √(16/9) = √(4²/3²)

⇒ √(4²/3²) = 4/3

चूँकि, 4/3 परिमेय है, इसलिए कथन सत्य है।

∴ सही उत्तर विकल्प 3) है।

दिया गया है:

GCD(a, b) = 4

LCM(a, b) = 400

प्रयुक्त सूत्र:

दो संख्याओं का गुणनफल = GCD × LCM

a × b = GCD(a, b) × LCM(a, b)

माना a = 4m और b = 4n, जहाँ GCD(m, n) = 1.

गणना:

a × b = GCD(a, b) × LCM(a, b)

⇒ 4m × 4n = 4 × 400

⇒ 16mn = 1600

⇒ mn = 100

ऐसे युग्म (m, n) ज्ञात करना है, जिनके लिए GCD(m, n) = 1 और mn = 100:

संभावित युग्म हैं:

(m, n) = (1, 100), (100, 1), (4, 25), (25, 4).

प्रत्येक युग्म a और b के भिन्न मान देता है:

(a, b) = (4 × 1, 4 × 100) = (4, 400)

(a, b) = (4 × 100, 4 × 1) = (400, 4)

(a, b) = (4 × 4, 4 × 25) = (16, 100)

(a, b) = (4 × 25, 4 × 4) = (100, 16)

इसलिए, (a, b) के युग्मों की संख्या 4 है।

सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है :

3240

अवधारणा:

यदि k = ax × by, तो, 

a, और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए

सभी गुणनखण्डों का योग = (a0 + a1 + a2 + ….. + ax) (b0 + b1 + b2 + ….. + by)

गणना:

3240 = 23 × 34 × 51

गुणनखण्डों का योग = (20 + 21 + 22 + 23) (30 + 31 + 32 + 33 + 34) (50 + 51)

⇒ (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3 + 9 + 27 + 81) (1 + 5)

⇒ 15 × 121 × 6

⇒ 10890

∴ अभीष्ट योग 10890 है

दिया गया है:-

A+B+C+D+E = Rs. 720 

E - A = 40

प्रयुक्त अवधारणा:-

समांतर श्रेणी -

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d

nवां पद(T_n) = a + (n -1)d

गणना:- 

माना कि, A को रुपये a मिलते हैं और प्रत्येक क्रमागत व्यक्ति के बीच का अंतर d रुपये है।

 धनराशि_E = a + 4d

प्रश्नानुसार,

धनराशिE = धनराशि_A + 40

⇒ a + 4d - a = 40

⇒ 4d = 40

⇒ d = 10

साथ ही,

कुल धनराशि = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d)

⇒ 720 = 5a + 10d

⇒ 720 = 5a + 100

⇒ a = 124

⇒ धनराशि_B = a + d = 124 + 10 = 134 रुपये

Alternate Method

गणना:

A, B, C, D और E

चूंकि प्राप्त धनराशि AP में है,

दो क्रमागत सदस्यों की संख्या में अंतर समान होता है।

⇒ B – A = C – B = D – C = E – D

हमारे पास है, E – A = 40, 

⇒ B – A = 10, C – B = 10, D – C  = 10, E – D = 10,

माना कि A को x रुपये प्राप्त हुए,

तब B, C, D और E प्राप्त करेंगे,

⇒ x + 10, x + 20, x + 30, x + 40

प्रश्नानुसार,

⇒ x + (x + 10) + (x + 20) + (x + 30) + (x + 40) = 720

⇒ 5x + 100 = 720

⇒ 5x = 620

⇒ x = 124

B को प्राप्त होगी = x + 10 = 124 + 10 = 134

∴ B को 134 रुपये की धनराशि प्राप्त होगी

दिया गया है:

सात क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग = 1617

गणना:

मान लीजिए कि संख्याएँ क्रमशः n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6 हैं।

⇒ 7n + 21 = 1617

⇒ 7n = 1596

⇒ n = 228

संख्याएँ 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234 है। 

इनमें से 229, 233 अभाज्य संख्याएँ हैं।

∴ अभीष्ट अभाज्य संख्याएँ 2 हैं। 

दिया गया है:

लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक जुड़वां अभाज्य एक अभाज्य संख्या है जो या तो 2 कम है या किसी अन्य अभाज्य संख्या से 2 अधिक है।

दूसरे शब्दों में, यदि (p, p+2) दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य संख्याएँ माना जाता है।

औपचारिक रूप से, यदि p और p+2 दोनों अभाज्य हैं, तो उन्हें जुड़वां अभाज्य के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, (3, 5), (11, 13), और (17, 19) जुड़वां अभाज्य संख्याओं के युग्म हैं।

गणना:

दो युग्म अभाज्य संख्याओं को जुड़वाँ अभाज्य कहा जाता है।

1 से 100 तक की अभाज्य संख्या 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 है।

विकल्प:

(37, 41) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(3, 7) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(43, 47) - इनके बीच का अंतर 4 है।

(71, 73) -इनके बीच का अंतर 2 है। 

यहाँ, दिए गए प्रश्न में (71 और 73) अभाज्य संख्याएं है और इनके बीच का अंतर 2 है।

दिया गया है:

चार घंटियाँ शुरुआत में एक साथ बजती हैं और क्रमशः 6 सेकंड, 12 सेकंड, 15 सेकंड और 20 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं।

अवधारणा:

ल.स.प.: यह एक संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं की गुणज होती है।

गणना:

(6, 12, 15, 20) का ल.स.प. = 60

सभी 4 घंटियाँ हर 60 सेकंड के बाद पुनः एक साथ बजती हैं

अब,

2 घंटे में, वे एक साथ बजती हैं = [(2 × 60 × 60) / 60] बार + 1 (शुरुआत में) = 121 बार

∴   2 घंटे में वे 121 बार एक साथ बजती हैं

Mistake Points

इस प्रकार के प्रश्न में हम मान लेते हैं कि हमने पहली घंटी बजने के बाद गिनना शुरू किया है। इसके कारण जब हम ल.स.प. की गणना करते हैं तो यह हमें दूसरी बार घंटी बजना देता है पहली बार की नहीं। इसलिए, हमें 1 जोड़ने की आवश्यकता होती है।
  

दिया गया है:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

गणना:

चार घंटियों के बजने का समय 12 सेकंड, 15 सेकंड, 20 सेकंड, 30 सेकंड है।

अब हमें समय अंतराल पर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेना होगा।

⇒ (12, 15, 20, 30) का LCM = 60

8 घंटे में कुल सेकंड = 8 × 3600 = 28800

घंटी के बजने की संख्या = 28800/60

⇒ घंटी के बजने की संख्या = 480

यदि प्रारंभ में चार घंटियाँ एक साथ बजती हैं।

⇒ 480 + 1 

∴ घंटियां 8 घंटे में 481 बार बजतीं है।

Mistake Pointsएक साथ घंटियाँ बजने लगती हैं, पहली बार घंटी के बजने को भी गिनना पड़ता है, पहली बार के बाद से घंटी के बजने की संख्या है।

दिया है:

दी गयी संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ है।

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि एक संख्या x^a × y^b × z^c ...... के रूप में है, तो कुल अभाज्य गुणनखंड = a + b + c ..... और इसी प्रकार आगे भी

जहाँ x, y, z, ... अभाज्य संख्याएँ हैं।

गणना:

संख्या 8¹⁰ × 9⁷ × 7⁸ को (2³)¹⁰ × (3²)⁷ × 7⁸ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

संख्या को 2³⁰ × 3¹⁴ × 7⁸ लिखा जा सकता है।

अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या = 30 + 14 + 8

∴ अभाज्य गुणनखण्डों की कुल संख्या 52 है।

हम जानते हैं कि,

दो संख्याओं का गुणनफल = ल.स. × उन संख्याओं का म.स.

माना कि दूसरी संख्या x है।

24 × x = 168 × 6

x = 6 × 7

दिया गया है:

676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है। 

अवधारणा:

जब 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो यह 3, 7 और 11 के लघुत्तम समापवर्त्य से भी विभाज्य होगा। 

भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल 

गणना:

(3, 7, 11) लघुत्तम समापवर्त्य = 231

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 67699 लेकर उसे 231 से भाग देने पर।

∵ 67699 = 231 × 293 + 16

⇒ 67699 = 67683 + 16 

⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 से पूर्णतः विभाज्य)

∴ 67683 = 676xy (जहाँ x = 8, y = 3)

(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3

⇒ 24 - 15 = 9 

∴ अभीष्ट परिणाम = 9