क्षेत्रमिति MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mensuration - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई s मीटर है।

वर्ग का क्षेत्रफल = s²

अंकित वृत्त की त्रिज्या = s/2

वृत्त का क्षेत्रफल = π × (s/2)² = (π × s²) ÷ 4

रंगने की लागत:

वृत्त के अंदर: ₹6/मीटर²

वृत्त के बाहर (वर्ग के अंदर): ₹5/मीटर²

कुल मूल्य =

⇒ ₹6 × (π x s² ÷ 4) + ₹5 × (s² – π × s² ÷ 4)

⇒ ₹6 × (πs² ÷ 4) + ₹5 × [s² – (πs² ÷ 4)]

⇒ ₹6 × (πs² ÷ 4) + ₹5 × s² × (1 – π ÷ 4)

दी गई कुल लागत = ₹370.3

अब π ≈ 3.14 प्रतिस्थापित करें:

⇒ 6 × (3.14 × s² ÷ 4) + 5 × s² × (1 – 3.14 ÷ 4) = 370.3

⇒ 6 × (0.785s²) + 5 × s² × (1 – 0.785)

⇒ 4.71s² + 5 × s² × 0.215 = 370.3

⇒ 4.71s² + 1.075s² = 370.3

⇒ 5.785s² = 370.3

⇒ s² = 370.3 ÷ 5.785 ≈ 64

⇒ s = √64 = 8 मीटर

इस प्रकार, सही उत्तर 8 मीटर है।

दिया गया है:

गोले का व्यास (d) = 112 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिज्या (r) = \(\frac{d}{2}\)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4\pi r^2\)

\(\pi\) का मान = \(\frac{22}{7}\)

गणना:

त्रिज्या (r) = \(\frac{112}{2}\)

⇒ r = 56 सेमी

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4 \times \frac{22}{7} \times (56)^2\)

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4 \times \frac{22}{7} \times 56 \times 56\)

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(4 \times 22 \times 8 \times 56\)

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(88 \times 448\)

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 39424 सेमी²

इसलिए, गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 39424 सेमी² है।

दिया गया है:

स्थिति 1: लंबाई 5 मीटर बढ़ाई गई, चौड़ाई 7 मीटर घटा दी गई, क्षेत्रफल 8 वर्ग मीटर बढ़ गया।

स्थिति 2: लंबाई 5 मीटर घटा दी गई, चौड़ाई 8 मीटर बढ़ा दी गई, क्षेत्रफल 33 वर्ग मीटर बढ़ गया।

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई (l x b)

आयत का परिमाप = 2 x (लंबाई + चौड़ाई)

गणनाएँ:

मान लीजिए आयत की मूल लंबाई 'l' मीटर और मूल चौड़ाई 'b' मीटर है।

मूल क्षेत्रफल = l x b

स्थिति 1 से:

नई लंबाई = (l + 5) मीटर

नई चौड़ाई = (b - 7) मीटर

नया क्षेत्रफल = (l + 5)(b - 7)

दिया गया है कि क्षेत्रफल 8 वर्ग मीटर बढ़ गया है:

(l + 5)(b - 7) = lb + 8

⇒ lb - 7l + 5b - 35 = lb + 8

⇒ -7l + 5b = 8 + 35

⇒ -7l + 5b = 43 (समीकरण 1)

स्थिति 2 से:

नई लंबाई = (l - 5) मीटर

नई चौड़ाई = (b + 8) मीटर

नया क्षेत्रफल = (l - 5)(b + 8)

दिया गया है कि क्षेत्रफल 33 वर्ग मीटर बढ़ गया है:

(l - 5)(b + 8) = lb + 33

⇒ lb + 8l - 5b - 40 = lb + 33

⇒ 8l - 5b = 33 + 40

⇒ 8l - 5b = 73 (समीकरण 2)

अब, हमारे पास दो रैखिक समीकरणों का एक निकाय है:

1) -7l + 5b = 43

2) 8l - 5b = 73

समीकरण 1 और समीकरण 2 को जोड़ें:

(-7l + 5b) + (8l - 5b) = 43 + 73

⇒ -7l + 8l + 5b - 5b = 116

⇒ l = 116

समीकरण 1 में l का मान प्रतिस्थापित करें:

-7(116) + 5b = 43

⇒ -812 + 5b = 43

⇒ 5b = 43 + 812

⇒ 5b = 855

⇒ b = 171

इसलिए, मूल लंबाई (l) = 116 मीटर और मूल चौड़ाई (b) = 171 मीटर।

मूल आयत का परिमाप = 2 x (l + b)

⇒ परिमाप = 2 x (116 + 171)

⇒ परिमाप = 2 x 287

⇒ परिमाप = 574 मीटर

∴ मूल आयत का परिमाप 574 मीटर है।

दिया गया है:

बेलन का आयतन (V) = 5852 सेमी³

बेलन की ऊँचाई (h) = 38 सेमी

\(\pi\) का मान = \(\frac{22}{7}\)

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का आयतन = \(\pi r^2 h\)

ठोस बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(2\pi r(r + h)\)

जहाँ r = त्रिज्या

गणनाएँ:

सबसे पहले, आयतन सूत्र का उपयोग करके त्रिज्या (r) ज्ञात कीजिए:

V = \(\pi r^2 h\)

5852 = \(\frac{22}{7} \times r^2 \times 38\)

⇒ r² = \(\frac{5852 \times 7}{22 \times 38}\)

⇒ r² = \(\frac{40964}{836}\)

⇒ r² = 49

⇒ r = \(\sqrt{49}\)

⇒ r = 7 सेमी

अब, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए:

TSA = \(2\pi r(r + h)\)

⇒ TSA = \(2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 38)\)

⇒ TSA = \(2 \times 22 \times 45\)

⇒ TSA = \(44 \times 45\)

⇒ TSA = 1980 सेमी²

इसलिए, ठोस बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1980 सेमी² है।

दिया गया है:

आयताकार खेत की लंबाई = 169 मीटर

आयताकार खेत की चौड़ाई = 154 मीटर

आयताकार खेत का क्षेत्रफल = वृत्ताकार खेत का क्षेत्रफल

\(\pi = \dfrac{22}{7}\)

प्रयुक्त सूत्र:

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2\)

वृत्त की परिधि = \(2\pi r\)

गणना:

आयत का क्षेत्रफल = 169 × 154

⇒ आयत का क्षेत्रफल = 26026 वर्ग मीटर

वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2\)

⇒ 26026 = \(\dfrac{22}{7} \times r^2\)

⇒ \(\dfrac{26026 \times 7}{22} = r^2\)

⇒ \(\dfrac{182182}{22} = r^2\)

⇒ r² = 8281

⇒ r = \(\sqrt{8281}\)

⇒ r ≈ 91 मीटर

वृत्त की परिधि = \(2\pi r\)

⇒ परिधि = 2 x \(\dfrac{22}{7}\) x 91

⇒ परिधि = \(\dfrac{4004}{7}\)

⇒ परिधि ≈ 572 मीटर

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया है​:

अर्धवृत्त का व्यास = 14√2 सेमी

त्रिज्या =  14√2/2 = 7√2 सेमी

जीवाओं की कुल संख्या = 6

संकल्पना:

चूंकि जीवाएं लंबाई में बराबर हैं, इसलिए वे केंद्र में समान कोणों बनाएंगी। एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना करें और एक जीवा और त्रिज्या द्वारा गठित समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाएं, फिर वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए परिणाम को 6 से गुणा करें।

उपयोग किया गया सूत्र:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr2

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × a × b × Sin θ

गणना:

प्रत्येक जीवा द्वारा बनाया गया कोण = 180°/ जीवाओं की संख्या

⇒ 180°/6 

⇒ 30°

त्रिज्यखंड AOB का क्षेत्रफल  = (30°/360°) × (22/7) × 7√2 × 7√2

⇒ (1/12) × 22 × 7 × 2

⇒ (77/3) सेमी2

त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल = 1/2 × a × b × Sin θ

⇒ 1/2 × 7√2 × 7√2 × Sin 30°

⇒ 1/2 × 7√2 × 7√2 × 1/2

⇒ 49/2 सेमी2

∴ छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = 6 × (त्रिज्यखंड AOB का क्षेत्रफल - त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल)

⇒ 6 × [(77/3) - (49/2)]

⇒ 6 × [(154 - 147)/6]

⇒ 7 सेमी2

∴ छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल 7 सेमी2 है। 

प्रयुक्त सूत्र

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

गणना

बगीचा EFGH चित्र में दिखाया गया है। जहाँ EF = 220 मीटर और EH = 70 मीटर है।

पथ की चौड़ाई 4 मीटर है।

अब चार रंगीन कोनों को छोड़कर पथ का क्षेत्रफल

= [2 × (220 × 4)] + [2 × (70 × 4)]

= (1760 + 560) वर्ग मीटर

= 2320 वर्ग मीटर

अब, 4 वर्गाकार रंगीन कोनों का क्षेत्रफल:

4 × (4 × 4)

{∵ प्रत्येक वर्ग की भुजा = 4 मीटर}

= 64 वर्ग मीटर

पथ का कुल क्षेत्रफल = चार रंगीन कोनों को छोड़कर पथ का क्षेत्रफल + वर्गाकार रंगीन कोने

⇒ पथ का कुल क्षेत्रफल = 2320 + 64 = 2384 वर्ग मीटर

∴ विकल्प 4 सही उत्तर है।

दिया गया है:

एक वर्गाकार मैदान के चारों ओर पथ की चौड़ाई = 4.5 मीटर

मार्ग का क्षेत्रफल = 105.75 मीटर2

प्रयुक्त सूत्र:

एक वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा

एक वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

गणना:

माना, मैदान की प्रत्येक भुजा = x

तब, पथ के साथ प्रत्येक भुजा = x + 4.5 + 4.5 = x + 9

इसलिए, (x + 9)² - x² = 105.75

⇒ x2 + 18x + 81 - x2 = 105.75

⇒ 18x + 81 = 105.75

⇒ 18x = 105.75 - 81 = 24.75

⇒ x = 24.75/18 = 11/8

∴ वर्गाकार मैदान की प्रत्येक भुजा = 11/8 मीटर

परिमाप = 4 × (11/8) = 11/2 मीटर

इसलिए, बाड़ लगाने की कुल लागत = (11/2) × 100 = 550 रुपये

∴ मैदान पर बाड़ लगाने की कुल लागत 550 रुपये है। 

Shortcut Trickइस प्रकार के प्रश्नों में, 

वर्ग के बाहर पथ का क्षेत्रफल है, 

⇒ (2a + 2w)2w = 105.75

यहाँ, a वर्ग की एक भुजा है और w वर्ग की चौड़ाई है

⇒ (2a + 9)9 = 105.75

⇒ 2a + 9 = 11.75

⇒ 2a = 2.75

वर्ग का परिमाप = 4a

⇒ 2 × 2a = 2 × 2.75 = 5.50

बाड़ लगाने की लागत = 5.50 × 100 = 550

∴ मैदान पर बाड़ लगाने की लागत 550 रुपये है।

दिया गया है :

किसी वृत्त के एक चाप की लंबाई 4.5π है।

इसके द्वारा निर्मित त्रिज्‍यखंड का क्षेत्रफल 27π सेमी² है।

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिज्‍यखंड का क्षेत्रफल = θ/360 × πr²

चाप की लंबाई = θ/360 × 2πr

गणना :

प्रश्नानुसार,

⇒ 4.5π = θ/360 × 2πr 

⇒ 4.5 = θ/360 × 2r   -----------------(1)

⇒ 27π = θ/360 × πr2 

⇒ 27 = θ/360 × r2       ---------------(2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) से भाग देने पर:

⇒ 4.5/27 = 2r/πr2

⇒ 4.5/27 = 2/r

⇒ r = (27 × 2)/4.5

⇒ व्‍यास = 2r = 24

∴ सही उत्तर 24 है।

दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा में 34% की वृद्धि की जाती है। 

प्रयुक्त सूत्र:

प्रभावी वृद्धि % = वृद्धि % + वृद्धि % + (वृद्धि²/100)

गणना:

प्रभावी वृद्धि = 34 + 34 + {(34 × 34)/100}

⇒ 68 + 11.56 = 79.56%

∴ सही उत्तर 79.56% है।

दिया गया है:

वर्ग की भुजा = 22 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

वर्ग का परिमाप = 4 × a    (जहाँ a = वर्ग की भुजा)

वृत्त की परिधि = 2 × π × r     (जहाँ r = वृत्त की त्रिज्या)

गणना:

माना, वृत्त की त्रिज्या r है।

⇒ वर्ग का परिमाप = 4 × 22 = 88 सेमी

⇒ वृत्त की परिधि = 2 × π ×  r

⇒ 88 = 2 × (22/7) × r

⇒ \(r = {{88\ \times\ 7 }\over {22\ \times \ 2}}\)

⇒ r = 14 सेमी

∴ अभीष्ट परिणाम 14 सेमी होगा।

दिया गया:

एक ठोस अर्धगोले का त्रिज्या 21 सेमी है।

बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का उसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात 2/5 है।

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πRh

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल  = 2πR(R + h)

बेलन का आयतन = πR²h

ठोस अर्धगोले का आयतन = 2/3πr³ 

(जहाँ r एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या है और R एक बेलन की त्रिज्या है)

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

CSA/TSA = 2/5

⇒ [2πRh]/[2πR(R + h)] = 2/5

⇒ h/(R + h) = 2/5

⇒ 5h = 2R + 2h

⇒ h = (2/3)R .......(1)

बेलन का आयतन और एक ठोस अर्धगोले का आयतन बराबर होता है।

⇒ πR2h = (2/3)πr3

⇒ R2 × (2/3)R = (2/3) × (21)3

⇒ R3 = (21)3

⇒ R = 21 सेमी

∴ इसके आधार की त्रिज्या (सेमी में) 21 सेमी है।

एक घनाभ के तीन फलक, जो एक शीर्ष को साझा करते हैं, के पृष्ठीय क्षेत्रफल 20 वर्ग मीटर, 32 वर्ग मीटर और 40 वर्ग मीटर हैं,

⇒ L × B = 20 वर्ग मीटर

⇒ B × H = 32 वर्ग मीटर

⇒ L × H = 40 वर्ग मीटर

⇒ L × B × B × H × L × H = 20 × 32 × 40

⇒ L2B2H2 = 25600

⇒ LBH = 160

दिया गया है:

घन की प्रत्येक भुजा = 8 सेमी

आयताकार पात्र की लंबाई 16 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी और ऊंचाई 15 सेमी है।​

प्रयुक्त सूत्र:

घन का आयतन = (भुजा)3

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई 

गणना:

घन का आयतन = लंबाई 16 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी, और बढ़े जल स्तर की ऊंचाई के साथ आयताकार पात्र का आयतन

माना, जल स्तर की ऊंचाई में वृद्धि होगी = x सेमी

इसलिए, 8³ = 16 × 8 × x

⇒ 512 = 128 × x

⇒ x = 512/128 = 4

∴ जल स्तर की ऊंचाई (सेमी में) में 4 सेमी की ​वृद्धि होगी। 

दिया गया है:

कार के पहिए की त्रिज्या = 14 सेमी

कार की गति = 132 किमी/घंटा

प्रयुक्त सूत्र:

पहिए की परिधि = \(2\pi r\) 

1 किमी = 1000 मीटर

1 मीटर = 100 सेमी

1 घंटा = 60 मिनट

गणना:

पहिए द्वारा एक मिनट में तय की गई दूरी = \(\frac{132 \times 1000 \times 100}{60}\) = 220000 सेमी

पहिए की परिधि = \(2\pi r\) = \(2\times \frac{22}{7} \times 14\) = 88 सेमी

एक चक्कर में पहिए द्वारा तय की गई दूरी = 88 सेमी

∴ एक मिनट में चक्करों की संख्या = \(\frac{220000}{88}\) = 2500

∴ अतः, सही उत्तर 2500 है।