त्रिकोणमिती MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Trigonometry - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

\(\rm \frac{1}{cosec^2\theta-cot^2\theta} + \frac{1}{sec^2 - tan^2\theta}\) = 2sinθ

वापरलेले सूत्र:

\(cosec^2\theta - \cot^2\theta = 1\)

\(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\)

गणना:

\(\dfrac{1}{cosec^2\theta - \cot^2\theta} + \dfrac{1}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} = 2\sin\theta\)

⇒ \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\sin\theta\)

⇒ 1 + 1 = \(2\sin\theta\)

⇒ \(2 = 2\sin\theta\)

⇒ \(\sin\theta = 1\)

⇒ \(\theta = 90^\circ\)

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

दिलेल्याप्रमाणे​:

\(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\) चे मूल्य

वापरलेले सूत्र:

\(\cot A = \dfrac{1}{\tan A}\)

गणना:

दिलेली पदावली: \(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(1+\cot^2A)}{25(1+\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(cosec^2A)}{25(\sec^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{2(\dfrac{1}{\sin^2A})}{(\dfrac{1}{\cos^2A})}\)

⇒ \(\dfrac{\cos^2A}{ \sin^2A}\)

⇒ \(2\dfrac{\cos^2A}{ \sin^2A}\)

⇒ 2 cot2 A

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय (1) आहे.

दिलेले आहे:

(sec A + tan A) (1 - sin A) चे मूल्य काढा:

वापरलेले सूत्र:

sin2A + Cos2A = 1

(a + b) (a - b) = (a2 - b2)

गणना:

⇒ (sec A + tan A) (1 - sin A)

⇒ (1/Cos A + Sin A/Cos A) (1 - sin A)

⇒ [(1 + sin A)/cos A] x (1 - sin A)

⇒ [(1 + sin A) x (1 - sin A)] / Cos A

⇒ (1 - sin² A)/cos A

आपल्याला माहीत आहे की, 1 - sin² A = cos² A

⇒ cos² A / cos A = cos A

∴ पर्याय 2 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

\( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - \sin^2 \theta} \), 0° < θ < 90°.

वापरलेले सूत्र:

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)

गणना:

\( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - \sin^2 \theta} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - (1 - \cos^2 \theta)} \) आपण छेदात \( \sin^2 \theta \) ला \( 1 - \cos^2 \theta\) ने बदलू शकतो.

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{\cos \theta + \cos^2 \theta} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{\cos \theta(1 + \cos \theta)} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

⇒ tan θ

∴ दिलेला समीकरण tan θ असे सरलीकृत होते.

दिलेले आहे:

\(\frac{(cos θ)}{(1+sin θ)}+\frac{(1+sin θ)}{(cos θ)}\)

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणमितीय नित्यसमीकरणे आणि बीजगणितीय सरलीकरण.

गणना:

⇒ \(\frac{(cos θ)}{(1+sin θ)}+\frac{(1+sin θ)}{(cos θ)}\)

⇒ \(\frac{(cos^2 θ + (1+sin θ)^2)}{(1+sin θ)cos\theta}\)

⇒ \(\frac{(cos^2 θ + 1 + 2sin θ + sin^2 θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

cos² θ + sin² θ = 1 हे नित्यसमीकरण वापरून:

⇒ \(\frac{(1 + 1 + 2sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

⇒ \(\frac{(2 + 2sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

⇒ \(\frac{2(1 + sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

(1 + sin θ) हा सामाईक अवयव काढून टाकून:

⇒ 2/cos θ

⇒ 2 sec θ

2 sec θ हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेले:

BC = 18 m

संकल्पना:

वापरलेली सूत्रे:

Tanθ = लंब/पाया

Cosθ = पाया/कर्ण

गणन:

झाडाची उंची = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

म्हणून, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3 = 18√3

∴ झाडाची उंची = 18√3.

लक्षात ठेवण्याजोगे: येथे झाडाची एकूण उंची (AB + AC) आहे.

आपण खालील पायऱ्या वापरून उंचीचा कोन शोधू शकतो:

गणना:

पायरी 1: जमिनीवरील बिंदू, 20√3 मीटर दूर असलेला बिंदू आणि शिरोबिंदू असलेले विमान असा काटकोन त्रिकोण काढा.

जमिनीवरील दोन बिंदूंमधील उंचीचा फरक "h" आणि दोन बिंदूंमधील आडव्या अंतराला "d" असे लेबल करा.

उंचीचा कोन शोधण्यासाठी स्पर्शिका फंक्शन वापरा:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) .

उंचीच्या कोनाचे निराकरण करा:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

या प्रकरणात, h = 20 m आणि d = 20√3 m, म्हणून:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

तर उंचीचा कोन 30° आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

tan 53° = 4/3

वापरलेले सूत्र:

tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanxtany)

गणना:

आपल्याला माहित आहे की, 8° = 53° - 45°

Tan8° = tan(53° - 45°)

⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)

⇒ tan8° = (4/3 – 1)/(1 + 4/3)

⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)

sec²(x) = 1 + tan²(x) गुणधर्म वापरुन,

⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30

दिलेल्याप्रमाणे:

tanθ + cotθ = √3

वापरलेले सूत्र:

a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

a2 + b2 = (a + b)2 - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

गणना:

tanθ + cotθ = √3

दोन्ही बाजूंचा घन केल्यास, आपल्याला मिळते 

(tanθ + cotθ)3 = (√3)3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

दोन्ही बाजूंचा वर्ग घेतल्यास 

(tan3θ + cot3θ)2 = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ चे मूल्य - 2 आहे.

जसे,

⇒ sec²θ = 1 + tan²θ

आपल्याकडे आहे,

⇒ (sec²θ)² – sec²θ = 3

⇒ (1 + tan²θ)² – (1 + tan²θ) = 3

⇒ (1 + tan⁴θ + 2tan²θ) – (1 + tan²θ) = 3

⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ – 1 – tan²θ = 3

वापरलेले सूत्र:

Cosec Ø = Sin Ø 

Sin²Ø + Cos²Ø = 1

गणना:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x² = 324

∴ x² चे मूल्य 324 आहे.

दिल्याप्रमाणे,

ΔABC मध्ये,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 मी

ΔAED मध्ये,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 मी 

घराची एकूण उंची = 10√3 + 20√3 = 30√3

स्त्रीची उंची = CD = BE = 20√3

घराची आणि स्त्रीची एकूण उंची = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ घराची आणि स्त्रीची एकूण उंची 50√3 आहे.

दिले आहे:

secθ - cosθ = 14 आणि 14 secθ = x

वापरलेली संकल्पना:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\)      ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x चे मूल्य \(tan²\theta\) आहे.

cot⁴θ + cot²θ = 3 = cos⁴x/sin⁴x + cos²x/sin²x

⇒ cos²x(cos²x + sin²x)/ sin⁴x = 3 (लसावि घेतल्यावर)

⇒ cos²x/sin⁴x = 3 = cot²xcosec²x