मानक विचलन MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Standard Deviation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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10 जानवरों का भार (किग्रा में) 75, 77, 77, 79, 79, 81, 81, 83, 85 और 85 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

मानक विचलन ज्ञात करने के चरण,

1. संख्याओं के समूह के माध्य (औसत) की गणना कीजिए।

2. सम्मुचय में प्रत्येक संख्या के लिए, माध्य घटाएँ और परिणाम का वर्ग कीजिए।
3. चरण 2 में परिकलित वर्ग अंतर का औसत ज्ञात कीजिए।
4. चरण 3 के परिणाम का वर्गमूल निकालिए।

गणना:

सबसे पहले, भार का माध्य ज्ञात कीजिए,

⇒ माध्य = (75+77+77+79+79+81+81+83+85+85)/10 = 80.2

अगला, प्रत्येक भार के लिए माध्य से विचलन ज्ञात कीजिए:

⇒ (75 - 80.2), (77 - 80.2), (77 - 80.2), (79 - 80.2), (79 - 80.2), (81 - 80.2), (81 - 80.2), (83 - 80.2), ( 85 - 80.2), (85 - 80.2)

⇒ -5.2, -3.2, -3.2, -1.2, -1.2, 0.8, 0.8, 2.8, 4.8, 4.8

फिर, प्रत्येक विचलन का वर्ग कीजिए और उन्हें जोड़िए:

⇒ 27.04 + 10.24 + 10.24 + 1.44 + 1.44 + 0.64 + 0.64 + 7.84 + 23.04 + 23.04

⇒ 105.6

योगफल को भारों की संख्या (10) से विभाजित कीजिए और वर्गमूल लीजिए:

⇒ √10.56 = 3.25

∴ जानवरों के भार का मानक विचलन 3.25 किग्रा है।

दिया गया है:

दो वितरणों का विचरण गुणांक = 75 और 80

दो वितरणों के मानक विचलन = 15 और 16

प्रयुक्त सूत्र:

विसरण गुणांक (CV) = (मानक विचलन (σ) / समान्तर माध्य (μ)) x 100

गणना:

पहले वितरण के लिए:

CV = 75, σ = 15

⇒ 75 = (15 / μ) × 100

⇒ μ = (15 × 100) / 75

⇒ μ = 20

दूसरे वितरण के लिए:

CV = 80, σ = 16

⇒ 80 = (16 / μ) × 100

⇒ μ = (16 × 100) / 80

⇒ μ = 20

∴ दो वितरणों के समान्तर माध्य क्रमशः 20 और 20 हैं। 

दिया गया है:

आँकड़ों का प्रसरण = 361

प्रयुक्त सूत्र:

मानक विचलन (SD) = √(प्रसरण)

गणना:

SD = √361

⇒ SD = 19

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

• दी गई शृंखला है: 150, 170, 155, 160, 180, 165, ?

• 150 से शुरू करें
• 20 जोड़ने पर 170 प्राप्त होगा
• 15 घटाने पर 155 प्राप्त होगा
• 5 जोड़ने पर 160 प्राप्त होगा
• 20 जोड़ने पर 180 प्राप्त होगा
• 15 घटाने पर 165 प्राप्त होगा

• +20 (150 + 20 = 170)
• -15 (170 - 15 = 155)
• +5 (155 + 5 = 160)
• +20 (160 + 20 = 180)
• -15 (180 - 15 = 165)

संकल्पना:

मानक विचलन: मानक विचलन परिवर्तनशीलता का सबसे स्थिर माप है। इसलिए यह शोध अध्ययनों में सबसे अधिक प्रयोग किया जाता है।

अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए मानक विचलन की गणना करना:

• अवर्गीकृत आँकड़ों के लिए मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है।
• मानक विचलन के लिए सूत्र =  $\sqrt{\frac{\sum X^2}{N}}$

जहाँ x = आंकड़ों के माध्य से विचलन, N = छात्रों की कुल संख्या

दिया गया है:

छात्रों के अंक: 85, 65, 55, 42, 69, 83, 92, 77.

गणना:

अंकों का माध्य = $\frac{85+65+55+42+69+83+92+77}{8}$

= $\frac{568}{8}$ = 71

हम जानते हैं कि,

मानक विचलन (SD) =  $\sqrt{\frac{\sum X^2}{N}}$

यहाँ, $\sum x^2$ = 1954, N = 8

तो,

SD = $\sqrt{\frac{1954}{8}}$

= $\sqrt{244.25}$ = 15.63

अतः, दिए गए आंकड़ों का मानक विचलन 15.63 है।

Additional Information

अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए चरण:

1. सभी अंकों को जोड़िये (∑x) और इस योग को अंकों की संख्या (N) से विभाजित कीजिये और माध्य ज्ञात कीजिये।
2. अंकों और माध्य के बीच का अंतर (X - x) ज्ञात कीजिये और विचलन (x) ज्ञात कीजिये।
3. x² प्राप्त करने के लिए सभी विचलन का वर्ग कीजिये।
4. $\sum x^2$ प्राप्त करने के लिए सभी वर्ग किये गए विचलन को जोड़िये
5. $\sum x^2$ को N से विभाजित कीजिये।
6. प्राप्त मानों का वर्गमूल ज्ञात कीजिये।

  आरोही क्रम 1, 4, 9, 9, X, 14, 15, 15

 सूत्र :

माध्यिका= दो बीच के अवलोकनों का योग /2  [अवलोकनों की सम संख्याओं की स्थिति में]

आकलन

11 = (9 + x)/2

⇒ 22 – 9 = x

⇒ x = 13

 दिया गया है:

प्रयुक्त सूत्र:

 माध्य = $\frac{\mathrm{\Sigma }fixi}{\mathrm{\Sigma }fi}$

जहां fi = विशेष मान की बारंबारता

xi = आवृत्ति वर्ग का मध्य मान

गणना:

  माध्य = $\frac{1670}{50}$ = 33.4 

∴ दी गई बारंबारता बंटन सारणी का माध्य 33.4 है।

दिया गया है:

पाँच संख्याएं 42, 24, 32, 64, 68

अवधारणा:

प्रसरण की अवधारणा

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य= योग/कुल

प्रसरण (σ²) = ∑δ²/n

गणना:

माध्य = (42 + 24 + 32 + 64 + 68)/5 = 230/5 = 46

∑δ2 = |42 - 46|2 + |24 - 46|2 + |32 - 46|2 + |64 - 46|2 + |68 - 46|2

⇒ 16 + 484 + 196 + 324 + 484

⇒ 1504

प्रसरण (σ²) = ∑δ²/n

⇒ 1504/5

= 300.8

दिया गया है:

दिए गए प्रेक्षण: 3, 8, 4, 5, 9, 13

प्रयुक्त अवधारणा:

मानक विचलन = $\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}-{(\frac{\sum x_i}{n})}^2}$

गणना:

n = 6

$\sum \frac{x_i}{n}=\frac{3+8+4+5+9+13}{6}$ = 7

$\frac{\sum x_i^2}{n}=\frac{3^2+8^2+4^2+5^2+9^2+{13}^2}{6}$ = 60.66

अब, मानक विचलन होगा:

$\sqrt{60.66-7^2}$

$3.41$

सही उत्तर 100 है।

Key Points

• विचरण, मानक विचलन का वर्ग होता है।
• यहाँ जनसंख्या का मानक विचलन 10 है।
• इसलिए, जनसंख्या विचरण = 10² = 100.

दिया गया है:

a, b और c का मानक विचलन t है

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि संख्याओं के किसी समुच्चय का मानक विचलन A है 

और हम प्रत्येक पद के लिए समान मान गणितीय संक्रिया कर रहे हैं, तब मानक विचलन समान रहेगा।

गणना:

यहाँ a, b और c का मानक विचलन t है

और हम प्रत्येक पद में 6 जोड़ रहे हैं

अवधारणा के अनुसार, हमारे पास है

a + 6, b + 6 और c + 6 का मानक विचलन t है।

∴ अभीष्ट मानक विचलन t है।

दिया है:

आँकड़े: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

अवधारणा:

माध्य: यह दिए गए अवलोकन का औसत है। माना x1, x2, …, xn n प्रेक्षण हैं, तब

माध्य = $\overline{\mathrm{X}}$ ${\displaystyle \frac{{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}}$

माध्य विचलन: मान लीजिए x1, x2, …, xn n प्रेक्षण हैं, तब:

${\displaystyle \frac{{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\left|{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right|}{\mathrm{n}}}$

गणना:

$\sum \bar{x}$ = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 210

माध्य $\overline{\mathrm{X}}=\frac{210}{20}$ = 10.5

⇒ X̅ = 10.5

${\displaystyle \frac{{\sum }_{\mathrm{i}}^{\mathrm{n}}\left|{\mathrm{X}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{X}}\right|}{\mathrm{n}}}$

${\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\left|{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{x}}\right|$ = 8.5 + 6.5 + 4.5 + 2.5 + 0.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 + 7.5 + 9.5 + 9.5 + 7.5 + 5.5 + 3.5 + 1.5 + 0.5 + 2.5 + 4.5 + 6.5 + 8.5 = 100

⇒ ${\displaystyle \frac{100}{20}}$ = 5

दिया गया​ है:

संख्या: 70, 55, 52, 85, 68, 67, 79

प्रयुक्त सूत्र:

माध्य = सभी प्रेक्षणों का योगफल / सभी प्रेक्षणों की कुल संख्या

'n' प्रेक्षण हैं।

यदि n विषम है, तो माध्यक {(n + 1)/2}वाँ पद है।

यदि n सम है, तो माध्य (n/2)वें पद और {(n/2) + 1}वें पद का औसत है।

गणना:

माध्य = ${\displaystyle \frac{70+55+52+85+68+67+79}{7}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{476}{7}}$ = 68

सभी प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए।

52, 55, 67, 68, 70, 79, 85

n = 7

तो, माध्यक = {(7 + 1)/2}वाँ पद

⇒ 4था पद = 68

माध्यक = 68

उनके माध्य और माध्यक के बीच का अंतर = 68 - 68 = 0

∴ उनके माध्य और माध्यक के बीच का अंतर 0 है।

दिया है: 

प्रयुक्त अवधारणा:

अंकगणित माध्य = ∑(f_i x_i )/n

गणना:

अंकगणितीय माध्य = $\frac{0\times 3+1\times 2+2\times 2+3\times 4+4\times 6+5\times 7+6\times 7+7\times 5+8\times 3+9\times 4+10\times 2}{3+2+2+4+6+7+7+5+3+4+2}$

अंकगणितीय माध्य = $\frac{234}{45}=5.2$

∴ दिए गए आँकड़ों का अंकगणितीय माध्य 5.2 है।

मानक विचलन: मानक विचलन परिवर्तनशीलता की सबसे स्थिर माप है। इसलिए अनुसंधान अध्ययनों में इसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

अवर्गीकृत डेटा के लिए मानक विचलन की गणना

• अवर्गीकृत डेटा के लिए मानक विचलन की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जा सकती है।
• सूत्र: SD= $\sqrt{\frac{(\sum X-\overline{X}{)}^2}{N}}$

उपरोक्त सूत्र को निम्नलिखित उदाहरण द्वारा समझाया जा सकता है।

माध्य= ∑X/N = 480/8 = 60

मानक विचलन की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करके, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है

SD= √(∑x2 ) /N

यहाँ ∑x2 =382 N = 8 SD= √ 382/8 = √ 47.7 = 6.91

इस प्रकार इस डेटा के लिए मानक विचलन 6.91 है।

Additional Information

अवर्गीकृत डेटा के लिए चरण

1. सभी स्कोर जोड़ें (∑x) और इस राशि को स्कोर (N) से विभाजित करें और माध्य ज्ञात करें।
2. स्कोर और माध्य (X-x) के बीच अंतर का ज्ञात करें और विचलन (x) का ज्ञात करें।
3. x² प्राप्त करने के लिए सभी विचलन का वर्ग करें।
4. ∑x2 प्राप्त करने के लिए सभी विचलन के वर्ग जोड़ें।
5. ∑x² को N से विभाजित करें।
6. प्राप्त मूल्यों का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सही विकल्प 3 है।