बीजगणित MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

चरण 1: गुणधर्म का विश्लेषण

जब किसी संख्या के वर्ग का इकाई अंक स्वयं संख्या के इकाई अंक के समान होता है, तो संख्या के संभावित इकाई अंक हैं:

0² = 0, इसलिए इकाई अंक 0 हो सकता है।

1² = 1, इसलिए इकाई अंक 1 हो सकता है।

5² = 25, इसलिए इकाई अंक 5 हो सकता है।

6² = 36, इसलिए इकाई अंक 6 हो सकता है।

इस प्रकार, किसी संख्या के वर्ग के लिए मान्य इकाई अंक 0, 1, 5 और 6 हैं।

चरण 2: दी गई संख्याओं के इकाई अंकों की जाँच कीजिए

441: इकाई अंक 1 है, मान्य (1² से मेल खाता है)।

625: इकाई अंक 5 है, मान्य (5² से मेल खाता है)।

256: इकाई अंक 6 है, मान्य (6² से मेल खाता है)।

484: इकाई अंक 4 है, अमान्य (4 से समाप्त होने वाले किसी भी वर्ग से मेल नहीं खाता है)।

वह संख्या जो किसी संख्या का वर्ग नहीं हो सकती है, वह 484 है।

दिया गया है:

4 पेन और 3 नोटबुक का मूल्य ₹ 150 है।

5 नोटबुक का मूल्य, 6 पेन के मूल्य से ₹ 41 अधिक है।

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए कि एक पेन का मूल्य ₹ x है और एक नोटबुक का मूल्य ₹ y है।

दी गई जानकारी से:

4x + 3y = 150 ...(i)

5y = 6x + 41 ...(ii)

गणना:

समीकरण (ii) से, y को x के पदों में व्यक्त कीजिए:

5y = 6x + 41

y = (6x + 41) / 5

समीकरण (i) में y को प्रतिस्थापित कीजिए:

4x + 3((6x + 41) / 5) = 150

भिन्न को हटाने के लिए 5 से गुणा कीजिए:

20x + 3(6x + 41) = 750

20x + 18x + 123 = 750

38x + 123 = 750

38x = 750 - 123

38x = 627

x = 627 / 38

x = 16.5

अब, y का मान ज्ञात कीजिए:

y = (6 × 16.5 + 41) / 5

y = (99 + 41) / 5

y = 140 / 5

y = 28

अब, 3 पेन और 2 नोटबुक का मूल्य ज्ञात कीजिए:

3 पेन का मूल्य 3x = 3 × 16.5 = 49.5

2 नोटबुक का मूल्य 2y = 2 × 28 = 56

कुल मूल्य = 49.5 + 56 = 105.5

3 पेन और 2 नोटबुक का मूल्य ₹105.50 है।

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का युग्म:

kx + 3y - (k - 3) = 0

12x + ky - k = 0

प्रयुक्त सूत्र:

रैखिक समीकरणों के युग्म के अनंत हल होने के लिए, उनके अनुपात समान होने चाहिए:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

गणना:

दिए गए समीकरण हैं:

kx + 3y - (k - 3) = 0

12x + ky - k = 0

ax + by + c = 0 के रूप में लिखिए:

kx + 3y + (-k + 3) = 0

12x + ky + (-k) = 0

यहाँ:

a₁ = k , b₁ = 3 , c₁ = -k + 3

a₂ = 12 , b₂ = k , c₂ = -k

अनंत हल के लिए:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

⇒ \(\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-k + 3}{-k}\)

\(\frac{k}{12} = \frac{3}{k}\) से:

⇒ k² = 36

⇒ k = 6 या k = -6

\(\frac{k}{12} = \frac{-k + 3}{-k}\) से:

⇒ \(\frac{k}{12} = 1 - \frac{3}{k}\)

⇒ k = 6

इसलिए, k का वह मान जो दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है:

k = 6

सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया:

a = (√2 - 1)1/3

प्रयुक्त सूत्र:

x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy (x - y)

गणना:

(a - \(1\over a\))3 + 3(a - \(1\over a\))

⇒ (a - \(1\over a\))3 + 3 × a × \(1\over a\) (a - \(1\over a\)) (चूंकि a × \(1\over a\) = 1)

⇒ (a3 - \(1\over a^3\))

अब,

a = (√2 - 1) 1/3

तो, a³ = ((√2 - 1)1/3)³ = (√2 - 1)

\(1\over a^3\) = 1/ (√2 - 1) = 1/(√2 - 1) × (√2 + 1)/(√2 + 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / {(√2)² - (1)²}

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / (2 - 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1)

इसलिए,

(a3 - \(1\over a^3\) ) = {√2 - 1 - (√2 + 1)} = √2 - 1 - √2 - 1 = - 1 - 1 = - 2

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया:

(a + b)2

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

स्पष्टीकरण:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

⇒ (a + b) × (a + b)

⇒ a2 + ab + ba + b2

⇒ a2 + 2ab + b2

∴ (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{\sqrt{10}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {\sqrt{10} + {\rm{\;}}3} \right)\left( {\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{\sqrt{10} {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {\sqrt{10} } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

माना कि भिन्न x है।

व्युत्क्रम = 1/x

तब,

x + 3/x = 73/20

⇒ x² + 3 = 73x/20

⇒ 20x² – 73x + 60 = 0

⇒ x = {- (-73) + √ (5329 – 4800)}/40     या        x = {- (-73) - √ (5329 – 4800)}/40

⇒ x = 96/40 = 12/5                                या        x = 50/40 = 5/4

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है

2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350