Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

\(​\left[\begin{array}{cccc}2 & \lambda & 3 & 5 \\ 3 & 2 & -1 & 7 \\ 4 & 5 & \mu & 9\end{array}\right] \Rightarrow\left|\begin{array}{lll}2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9\end{array}\right|=0 \)

\(\Rightarrow \lambda=-1 \)

\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 7 \\ 4 & \mu & 9\end{array}\right|=0 \)

\(\Rightarrow \mu=-5 \)

\(\lambda^{2}+\mu^{2}=26 \)

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।

गणना:

कथन I

\( |M^2| = |M \times M| = |M| \cdot |M| = |M|^2 \)

⇒ कथन I सही है।

कथन II

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए, \( M \times M^{-1} = I \), जहाँ \( I \) इकाई आव्यूह है।

\( |M| \cdot |M^{-1}| = |I| = 1 \)

⇒ कथन II गलत है जब तक कि \( |M| = \pm 1 \) न हो।

कथन III

एक आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है:

\( |M| = |M^T| \)

⇒ कथन III सही है।

तीनों कथनों में से, दो सही हैं: I और III

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए ω एक इकाई का अवास्तविक घनमूल है, इसलिए \( \omega^{3}=1 \) और \( 1+\omega+\omega^{2}=0 \).

सारणिक पर विचार करें

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1 & \omega & \omega^{2}\\ \omega & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2} & 1 & x+\omega \end{vmatrix}=0. \)

चरण 1 — स्तंभ संक्रिया: पहले स्तंभ को \(C_{1}-C_{2}\) से बदलें:

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1-\omega & \omega & \omega^{2}\\ \omega-\omega^{2}-x & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2}-1 & 1 & x+\omega \end{vmatrix} \)

चरण 2 — तीसरी पंक्ति के साथ प्रसार:
\( \Delta(x)= -3\! \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 1\\ k-1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 2k+1\\ k-1 & k+2 \end{vmatrix}, \)

जो सरलीकृत हो जाता है,

\( \Delta(x)=x(x^{2}-1)-x\bigl(\omega+\omega^{2}\bigr) =x(x^{2}-1)+x =x^{3}. \)

चरण 3 — शून्य के बराबर करें:

\( \Delta(x)=0 \;\Longrightarrow\; x^{3}=0 \;\Longrightarrow\; x=0. \)

∴ समीकरण का मूल \( x = 0 \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

जब A² + B² + C² = 0 है, इसका अर्थ A = B = C = 0 (चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्ग ऋणात्मक नहीं होते हैं) है। 

सारणिक की गणना के लिए आव्यूह में A, B और C के मान प्रतिस्थापित करें

गणना:

\(\begin{vmatrix} 1& cos0& cos0\\ cos0&1&cos0 \\ cos0&cos0&1 \end{vmatrix} \)

चूँकि, Cos0 =1

इस प्रकार आव्यूह बन जाता है

\(\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{vmatrix} \)

अब सारणिक = 1[(1×1 - 1×1)] - 1[(1×1 - 1×1)] + 1[(1×1 - 1×1)]

= 1(0) - 1(0) + 1(0) = 0

∴ सारणिक का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

सारणिक Δ = \(a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\)

अब, हमारे आव्यूह के लिए,

\(a=2,b=3+i,c=−1,d=3−i,e=0,f=i,g=−1,h=−i,i=1\)

उपसारणिकों की गणना करें

⇒ \( ei−fh=(0)(1)−(i)(−i)=0−(−1)=1\)

⇒ \(di−fg=(3−i)(1)−(i)(−1)=3−i+i=3\)

⇒ \(dh−eg=(3−i)(−i)−(0)(−1)=−3i+i 2=−3i−1=−1−3i\)

⇒ Δ = \(2(1)−(3+i)(3)+(−1)(−1−3i)\)

⇒ Δ = \(2−9−3i+1+3i\)

⇒ \(Δ=−6+0i\)

चूँकि हमें दिया गया है कि $\backslash (\Delta =A+iB\backslash )$ वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

A = -6 और B = 0

इस प्रकार A + B = -6 + 0 = - 6

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

रखेंधारणा:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A का सारणिक निम्न दिया गया है:

|A| = (a­11 × a22) - (a12 - a21).

​गणना:

दिया हुआ: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right|\)

ज्ञात करना है: 2f(x) – f(2x) =?

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right| = \left( {1 \times {\rm{a}}} \right) - \left( {2 \times {\rm{x}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{a}} - 2{\rm{x\;\;}}\)

इसलिए, \({\rm{f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 2\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 4{\rm{x}}\)                 (x = 2x रखें)

\(\therefore 2{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{\;f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = 2\left( {{\rm{a}} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {{\rm{a}} - 4{\rm{x}}} \right)\)

\(\Rightarrow 2{\rm{a}} - 4{\rm{x}} - {\rm{a}} + 4{\rm{x}} = {\rm{a}}\)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
• यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\)

R3 → R3 - R2 लागू करने पर

= \(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c \end{vmatrix}\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\) = 0

संकल्पना:

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i² = -1 , i³ = - i, i⁴ = 1, i⁶ = - 1 , i⁸ = 1 , i⁹ = i, i ¹² = 1, और i¹⁵ = - i

गणना:

दी गयी सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i2 = -1 , i3 = - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i8 = 1 , i9 = i, i 12 = 1, और i15 = - i

=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{-i}}}}\\ {{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{1}}}}\\ {{{\rm{i}}}}&{{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-i}}}} \end{array}} \right|\)

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i² - i - 2i - i - i²

= - 4i

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

|A| = a11 × a22 – a21 × a12

|An| = |A|n

गणना:

दिया गया है कि,

\({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&2\\ 4&{\rm{x }} \end{array}} \right]\) और  |A2​| = 64

⇒ |A| = x2 - 8          .... (1)

दिया गया है |A2| = 64

⇒ |A|2 = 64         [∵ |An| = |A|n]

⇒ |A| = (64)1/2 = 8         ....(2)

समीकरण 1 और 2 से 

⇒ x2 - 8 = 8

⇒ x2 = 16

संकल्पना:

1. एक 3 × 3 आव्यूह का सारणिक:

• माना कि A एक 3 × 3 आव्यूह निम्न दिया गया है:

\({\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&{\rm{b}}&{\rm{c}}\\ {\rm{f}}&{\rm{e}}&{\rm{d}}\\ {\rm{g}}&{\rm{h}}&{\rm{i}} \end{array}} \right]\)

तो |A| के मान को det(A) के रूप में भी लिखा गया है:

det (A) = a (ei - dh) – b (fi - dg) + c (fh - eg)

2. एक आव्यूह की सारणिक का गुण:

• माना कि A कोटि n × n और det(A) = k वाला एक आव्यूह है। तो एक सदिश c के लिए निम्नलिखित गुण हैं:

          det(cA) = cⁿ det(A)

गणना:

सर्वप्रथम दिए गए आव्यूह की सारणिक का मूल्यांकन कीजिए:

det(A) = 4(15 - 0) – 7(-5 + 4) + 1(0 + 6)

= 4(15) -7(-1) + 1(6)

= 60 + 7 + 6

= 73

अब गुण का प्रयोग करने पर det(3A) का मान निम्न है:

det(3A) = 3³ det(A)

= 27 × 73

= 1971

संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm x_1&\rm y_1 &1 \\ x_2& \rm y_2&1 \\ \rm\rm x_3 &\rm y_3&1 \end{vmatrix}\)

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm -3&\rm 0 &1 \\ 3& 0&1 \\ 0 &k&1 \end{vmatrix}\)

⇒ क्षेत्रफल = \(\dfrac 12\)[-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

अवधारणा :

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ×a2

गणना:

दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) का वर्ग

(△ ABC ) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) = ( \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ) ×a²

दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ \(\dfrac{1}{4}\)\(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{16}\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{4}\)

संकल्पना:

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है: |A| = (a­₁₁ × a₂₂) - (a₁₂ - a₂₁).

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) - (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) - (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| = x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {2x - 1} \right) + 2 \times \left( {2x - 2} \right) = 5x - 4\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = 3x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {{x^2} - 0} \right) + 2 \times \left( {{x^2} - 0} \right) = 2{x^2} + 3x\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = \left( {5x - 4} \right) + \left( {2{x^2} + 3x} \right) = 2{x^2} + 8x - 4 = 0\)

⇒ 2x² + 8x - 4 = 0

ax² + bx + c = 0 के साथ समीकरण  2x2 + 8x - 4 = 0 की तुलना करने पर, हमें a = 2, b = 8 और c = - 4 प्राप्त होता है। 

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).

गणना:

दिया गया है कि:

|A| = 5

k = 5

सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है। 

यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है। 

|5A| = 52|A|

|5A| = 52 × 5 = 125