Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 8, 2025

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Latest Determinants MCQ Objective Questions

Determinants Question 1:

यदि समीकरण निकाय \(2 x+\lambda y+3 z=5 ; 3 x+2 y-z=7 ; 4 x+4 y+\mu z=9\) के अनंत हल हैं, तो \(\left(\lambda^{2}+\mu^{2}\right)\) बराबर है

  1. 30
  2. 22
  3. 18
  4. 26

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 26

Determinants Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

\(​\left[\begin{array}{cccc}2 & \lambda & 3 & 5 \\ 3 & 2 & -1 & 7 \\ 4 & 5 & \mu & 9\end{array}\right] \Rightarrow\left|\begin{array}{lll}2 & \lambda & 5 \\ 3 & 2 & 7 \\ 4 & 5 & 9\end{array}\right|=0 \)

\(\Rightarrow \lambda=-1 \)

\(\left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 7 \\ 4 & \mu & 9\end{array}\right|=0 \)

\(\Rightarrow \mu=-5 \)

\(\lambda^{2}+\mu^{2}=26 \)

इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।

Determinants Question 2:

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह M के संदर्भ में, निम्नलिखित पर विचार कीजिए:

I.

II.

III.

उपर्युक्त में से कितने सही है?

  1. कोई भी नहीं
  2. एक
  3. दो
  4. सभी तीन

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : दो

Determinants Question 2 Detailed Solution

गणना:

कथन I

\( |M^2| = |M \times M| = |M| \cdot |M| = |M|^2 \)

⇒ कथन I सही है।

कथन II

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए, \( M \times M^{-1} = I \), जहाँ \( I \) इकाई आव्यूह है।

\( |M| \cdot |M^{-1}| = |I| = 1 \)

⇒ कथन II गलत है जब तक कि \( |M| = \pm 1 \) न हो।

कथन III

एक आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है:

\( |M| = |M^T| \)

⇒ कथन III सही है।

तीनों कथनों में से, दो सही हैं: I और III

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Determinants Question 3:

यदि ω इकाई का अवास्तविक घनमूल है, तो निम्नलिखित समीकरण का मूल क्या है?

\( \begin{vmatrix} x+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x+\omega \end{vmatrix} = 0 \)

  1. x=0
  2. x=1
  3. x=ω
  4. x=ω​2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x=0

Determinants Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए ω एक इकाई का अवास्तविक घनमूल है, इसलिए \( \omega^{3}=1 \) और \( 1+\omega+\omega^{2}=0 \).

सारणिक पर विचार करें

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1 & \omega & \omega^{2}\\ \omega & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2} & 1 & x+\omega \end{vmatrix}=0. \)

चरण 1 — स्तंभ संक्रिया: पहले स्तंभ को \(C_{1}-C_{2}\) से बदलें:

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1-\omega & \omega & \omega^{2}\\ \omega-\omega^{2}-x & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2}-1 & 1 & x+\omega \end{vmatrix} \)

चरण 2 — तीसरी पंक्ति के साथ प्रसार:
\( \Delta(x)= -3\! \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 1\\ k-1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 2k+1\\ k-1 & k+2 \end{vmatrix}, \)

जो सरलीकृत हो जाता है,

\( \Delta(x)=x(x^{2}-1)-x\bigl(\omega+\omega^{2}\bigr) =x(x^{2}-1)+x =x^{3}. \)

चरण 3 — शून्य के बराबर करें:

\( \Delta(x)=0 \;\Longrightarrow\; x^{3}=0 \;\Longrightarrow\; x=0. \)

∴ समीकरण का मूल \( x = 0 \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Determinants Question 4:

यदि A2+B2+C2=0, तो निम्नलिखित का मान क्या है?

\(\begin{vmatrix} 1& cosC& cosB\\ cosC&1&cosA \\ cosB&cosA&1 \end{vmatrix} \)

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0

Determinants Question 4 Detailed Solution

संप्रत्यय:

जब A2 + B2 + C2 = 0 है, इसका अर्थ A = B = C = 0 (चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्ग ऋणात्मक नहीं होते हैं) है। 

सारणिक की गणना के लिए आव्यूह में A, B और C के मान प्रतिस्थापित करें

गणना:

\(\begin{vmatrix} 1& cos0& cos0\\ cos0&1&cos0 \\ cos0&cos0&1 \end{vmatrix} \)

चूँकि, Cos0 =1

इस प्रकार आव्यूह बन जाता है

\(\begin{vmatrix} 1& 1& 1\\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{vmatrix} \)

अब सारणिक = 1[(1×1 - 1×1)] - 1[(1×1 - 1×1)] + 1[(1×1 - 1×1)]

= 1(0) - 1(0) + 1(0) = 0

∴ सारणिक का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Determinants Question 5:

यदि \( \begin{vmatrix} 2 & 3+i & -1 \\ 3-i & 0 & i \\ -1 & -i & 1 \end{vmatrix} = A + iB \)

जहाँ i= \(\sqrt{-1 }\)  है, तो A + B किसके बराबर है?

  1. -10
  2. -6
  3. 0
  4. 6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -6

Determinants Question 5 Detailed Solution

गणना:

सारणिक Δ = \(a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\)

अब, हमारे आव्यूह के लिए,

\(a=2,b=3+i,c=−1,d=3−i,e=0,f=i,g=−1,h=−i,i=1\)

उपसारणिकों की गणना करें

\( ei−fh=(0)(1)−(i)(−i)=0−(−1)=1\)

\(di−fg=(3−i)(1)−(i)(−1)=3−i+i=3\)

\(dh−eg=(3−i)(−i)−(0)(−1)=−3i+i 2=−3i−1=−1−3i\)

⇒ Δ = \(2(1)−(3+i)(3)+(−1)(−1−3i)\)

Δ = \(2−9−3i+1+3i\)

\(Δ=−6+0i\)

चूँकि हमें दिया गया है कि वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

A = -6 और B = 0

इस प्रकार A + B = -6 + 0 = - 6

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Top Determinants MCQ Objective Questions

यदि \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right|\) तो 2f(x) – f(2x) =

  1. 2a
  2. a + 4x
  3. a – 4x
  4. a

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : a

Determinants Question 6 Detailed Solution

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रखेंधारणा:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A का सारणिक निम्न दिया गया है:

|A| = (a­11 × a22) - (a12 - a21).

गणना:

दिया हुआ: \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right|\)

ज्ञात करना है: 2f(x) – f(2x) =?

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{\;}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ {\rm{x}}&{\rm{a}} \end{array}} \right| = \left( {1 \times {\rm{a}}} \right) - \left( {2 \times {\rm{x}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{a}} - 2{\rm{x\;\;}}\)

इसलिए, \({\rm{f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 2\left( {2{\rm{x}}} \right) = {\rm{a}} - 4{\rm{x}}\)                 (x = 2x रखें)

\(\therefore 2{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{\;f}}\left( {2{\rm{x}}} \right) = 2\left( {{\rm{a}} - 2{\rm{x}}} \right) - \left( {{\rm{a}} - 4{\rm{x}}} \right)\)

\(\Rightarrow 2{\rm{a}} - 4{\rm{x}} - {\rm{a}} + 4{\rm{x}} = {\rm{a}}\)

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

आव्यूह \(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\) की सारणिक ज्ञात कीजिए। 

  1. xyz
  2. x + y + x
  3. ax + by + cz
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Determinants Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

  • यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
  • किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
  • यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
  • यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\)

R3 → R3 - Rलागू करने पर

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c \end{vmatrix}\)

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

\(\begin{vmatrix} \rm x-a & \rm y-b & \rm z-c\\ \rm a & \rm b & \rm c \\ \rm x & \rm y & \rm z \end{vmatrix}\) = 0

सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) का मान क्या है, जहाँ \(\rm i = \sqrt {-1}\) है?

  1. 0
  2. -2
  3. 4i
  4. -4i

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -4i

Determinants Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i= -1 , i= - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i= 1 , i= i, i 12 = 1, और i15 = - i

 

गणना:

दी गयी सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i= -1 , i= - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i= 1 , i= i, i 12 = 1, और i15 = - i

=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{-i}}}}\\ {{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{1}}}}\\ {{{\rm{i}}}}&{{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-i}}}} \end{array}} \right|\)

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i- i - 2i - i - i2

= - 4i

k के किस मान के लिए समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2 का कोई हल नहीं है?

  1. 0
  2. 2
  3. -1
  4. -2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -2

Determinants Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k2 – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&2\\ 4&{\rm{x }} \end{array}} \right]\) और det (A2) = 64 है, तो x किसके बराबर है?

  1. ± 2
  2. ± 3
  3. ± 4
  4. ± 5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : ± 4

Determinants Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

|A| = a11 × a22 – a21 × a12

|An| = |A|n

गणना:

दिया गया है कि,

\({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&2\\ 4&{\rm{x }} \end{array}} \right]\) और  |A2​| = 64

⇒ |A| = x2 - 8          .... (1)

दिया गया है |A2| = 64

⇒ |A|2 = 64         [∵ |An| = |A|n]

⇒ |A| = (64)1/2 = 8         ....(2)

समीकरण 1 और 2 से 

⇒ x2 - 8 = 8

⇒ x2 = 16

x = ± 4

निम्नलिखित आव्यूह के लिए det(3A) का मान ज्ञात कीजिए।

\({\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&7&1\\ { - 1}&3&2\\ { - 2}&0&5 \end{array}} \right]\)

  1. 1458
  2. 81
  3. 27
  4. 1971

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1971

Determinants Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

1. एक 3 × 3 आव्यूह का सारणिक:

  • माना कि A एक 3 × 3 आव्यूह निम्न दिया गया है:

\({\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&{\rm{b}}&{\rm{c}}\\ {\rm{f}}&{\rm{e}}&{\rm{d}}\\ {\rm{g}}&{\rm{h}}&{\rm{i}} \end{array}} \right]\)

तो |A| के मान को det(A) के रूप में भी लिखा गया है:

det (A) = a (ei - dh) – b (fi - dg) + c (fh - eg)

2. एक आव्यूह की सारणिक का गुण:

  • माना कि A कोटि n × n और det(A) = k वाला एक आव्यूह है। तो एक सदिश c के लिए निम्नलिखित गुण हैं:

          det(cA) = cn det(A)

गणना:

सर्वप्रथम दिए गए आव्यूह की सारणिक का मूल्यांकन कीजिए:

det(A) = 4(15 - 0) – 7(-5 + 4) + 1(0 + 6)

= 4(15) -7(-1) + 1(6)

= 60 + 7 + 6

= 73

अब गुण का प्रयोग करने पर det(3A) का मान निम्न है:

det(3A) = 33 det(A)

= 27 × 73

= 1971

यदि शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है, तो k का मान क्या है?

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 12

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Determinants Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm x_1&\rm y_1 &1 \\ x_2& \rm y_2&1 \\ \rm\rm x_3 &\rm y_3&1 \end{vmatrix}\)

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm -3&\rm 0 &1 \\ 3& 0&1 \\ 0 &k&1 \end{vmatrix}\)

⇒ क्षेत्रफल = \(\dfrac 12\)[-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा a के बराबर होती है। यदि इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं तो सारणिक \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) का वर्ग किसके बराबर है?

  1. इनमें से कोई नहीं
  2. 4a2
  3. 3a4
  4. \(\dfrac{3a^4}{4}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\dfrac{3a^4}{4}\)

Determinants Question 13 Detailed Solution

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अवधारणा :

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ×a2

गणना:

दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) का वर्ग

(△ ABC ) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) = ( \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ) ×a2

दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ \(\dfrac{1}{4}\)\(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)\(\dfrac{3a^4}{16}\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)\(\dfrac{3a^4}{4}\)

x का वह मान क्या है जो समीकरण \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = 0\;?\) को संतुष्ट करता है?

  1. -2 ± √3
  2. -1 ± √3
  3. -1 ± √6
  4. -2 ± √6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -2 ± √6

Determinants Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है: |A| = (a­11 × a22) - (a12 - a21).

यदि  \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

|A| = a11 × {(a22 × a33) - (a23 × a32)} - a12 × {(a21 × a33) - (a23 × a31)} + a13 × {(a21 × a32) - (a22 × a31)}

गणना:

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| = x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {2x - 1} \right) + 2 \times \left( {2x - 2} \right) = 5x - 4\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = 3x \times \left( {2 - 1} \right) - 0 \times \left( {{x^2} - 0} \right) + 2 \times \left( {{x^2} - 0} \right) = 2{x^2} + 3x\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&2\\ {2x}&2&1\\ 1&1&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3x}&0&2\\ {{x^2}}&2&1\\ 0&1&1 \end{array}} \right| = \left( {5x - 4} \right) + \left( {2{x^2} + 3x} \right) = 2{x^2} + 8x - 4 = 0\)

⇒ 2x2 + 8x - 4 = 0

ax2 + bx + c = 0 के साथ समीकरण  2x2 + 8x - 4 = 0 की तुलना करने पर, हमें a = 2, b = 8 और c = - 4 प्राप्त होता है। 

\(\Rightarrow x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac\;} }}{{2a}} = \frac{{ - 8 \pm \sqrt {64 + 32} }}{4} = - 2 \pm \sqrt 6 \)

यदि A, 2 × 2 आव्यूह और |A| = 5 है, तो |5A| का मान क्या होगा? (| | सारणिक को दर्शाता है)

  1. 5
  2. 25
  3. 125
  4. 625

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 125

Determinants Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

सारणिक के गुण:

n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).

गणना:

दिया गया है कि:

|A| = 5

k = 5

सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है। 

यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है। 

|5A| = 52|A|

|5A| = 5× 5 = 125

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