Vector Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 14, 2025

पाईये Vector Algebra उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Vector Algebra MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Vector Algebra MCQ Objective Questions

Vector Algebra Question 1:

मान लीजिए कि \(\vec{a},\vec{b},(\vec{a}\times\vec{b})\) मात्रक सदिश हैं। \((\vec{a}.\vec{b})\) किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 1/2
  3. 1
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Vector Algebra Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

सदिश \(\vec{a},\vec{b} ,(\vec{a}\times\vec{b})\) मात्रक सदिश हैं।

चूँकि \(\vec a\) और \(\vec{b}\) मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

\( |\vec{a}| = 1 \quad \text{और} \quad |\vec{b}| = 1 \).

सदिश गुणनफल \(( \vec{a} \times \vec{b} )\) का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 1 \times 1 \times \sin \theta = \sin \theta \).

चूँकि \( ( |\vec{a} \times \vec{b}| = 1 \) है, हमारे पास है:

\( \sin \theta = 1 \), इसलिए \(\theta = 90^\circ \), जिसका अर्थ है कि \(\vec a \) और \( \vec{b} \) लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल \( ( \vec{a} \cdot \vec{b} )\) है:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos 90^\circ = 0 \).

 \(( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \) का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Vector Algebra Question 2:

तीन बिंदुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec{a} ,\vec{b} \) और \(\vec{c} \) हैं, जहाँ \(\vec{c} = (\cos^2 \theta)\vec{a}+(\sin^2 \theta)\vec{b}\). है। तो \((\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a})\)किसके बराबर है?

  1. \(\vec{0}\)
  2. \(\vec{2c}\)
  3. \(\vec{3c}\)
  4. मात्रक सदिश

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\vec{0}\)

Vector Algebra Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, और \( \vec{c} = \cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b} \) है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: \( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \).

सबसे पहले, समीकरण में \( \vec{c} \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b})) + (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b}) \times \vec{a} \).

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \left[ (\vec{b} \times \cos^2 \theta \, \vec{a}) + (\vec{b} \times \sin^2 \theta \, \vec{b}) \right] + \left[ (\cos^2 \theta \, \vec{a} \times \vec{a}) + (\sin^2 \theta \, \vec{b} \times \vec{a}) \right] \).

चूँकि \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \) और \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), हमारे पास निम्न शेष है:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (\vec{b} \times \vec{a}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

व्यंजक में \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

\( \vec{a} \times \vec{b} \) को बाहर निकालने पर:

\( \vec{a} \times \vec{b} \left[ 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right] \).

चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), व्यंजक बन जाता है:

\( \vec{a} \times \vec{b} [1 - 1] = 0 \).

अंतिम परिणाम \( \vec{0} \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

Vector Algebra Question 3:

तीन बिंदुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः a, b और c इस प्रकार हैं कि  है। तब AB:BC किसके बराबर है?

  1. 3:1
  2. 1:3
  3. 3:4
  4. 1:4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1:3

Vector Algebra Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

\( 3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c} = 0 \)

\( \vec{c} = 4\vec{b} - 3\vec{a} \)

सदिश \(\overrightarrow{AB} \) है:

\( \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} \)

सदिश \(\overrightarrow{BC} \) है:

\( \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} \)

\(\vec{c} = 4\vec{b} - 3\vec{a} \) प्रतिस्थापित करने पर:

\( \overrightarrow{BC} = (4\vec{b} - 3\vec{a}) - \vec{b} \)

\( \overrightarrow{BC} = 3\vec{b} - 3\vec{a} \)

चरण 4: अब, \(\overrightarrow{BC} = 3(\vec{b} - \vec{a}) \), जो निम्न देता है:

\( AB : BC = 1 : 3 \)

सही अनुपात AB : BC = 1 : 3 है,

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

Vector Algebra Question 4:

सदिश ××

a और b के साथ 

c पर

  1. केवल I
  2. केवल II
  3. I और II दोनों
  4. न तो I और न ही II

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : I और II दोनों

Vector Algebra Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

सदिश \( \vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \)

कथन I: \( \vec{d} \), \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के साथ समतलीय है।

हम इस सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \).

यह दर्शाता है कि \( \vec{d} \) \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) का एक रैखिक संयोजन है, इसलिए \( \vec{d} \), \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के साथ समतलीय है।

इसलिए, कथन I सही है।

कथन II: \( \vec{d} \)\( \vec{c} \) के लंबवत है।

इसे जाँचने के लिए, अदिश गुणनफल ​\( \vec{d} \cdot \vec{c} \) की गणना करें। सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करके, हम पाते हैं:

\( \vec{d} \cdot \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0 \),

जिसका अर्थ है कि \( \vec{d} \) \( \vec{c} \) के लंबवत है।

इसलिए, कथन II सही है।

∴ कथन I और कथन II दोनों सही हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Vector Algebra Question 5:

एक रेखा निर्देशक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ α, β और γ कोण बनाती है। यदि \(\vec{a}=(\sin^2 \alpha)\hat{i} + (\sin^2 \beta)\hat{j} + (\sin^2 \gamma)\hat{k} \text{ and } \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\) है, तो \(\vec{a}.\vec{b}\) किसके बराबर है?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 2

Vector Algebra Question 5 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

\( \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \)

सर्वसमिका \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

\( (1 - \sin^2(\alpha)) + (1 - \sin^2(\beta)) + (1 - \sin^2(\gamma)) = 1 \)

समीकरण को सरल करने पर:

\( 3 - (\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)) = 1 \)

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\( \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

∴  \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

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यदि सदिश \(\widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k\) , \(λ \widehat i + 4\widehat j + 7\widehat k\) , \(- 3\widehat i - 2\widehat j - 5\widehat k\) संरेखीय हैं, तो λ  किसके बराबर है?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Vector Algebra Question 6 Detailed Solution

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धारणा:

संरेखीय वेक्टर की स्थितियां:

  • स्थिति वेक्टर \(\vec a,\;\vec b\;and\;\vec c\) के साथ तीन बिंदु संरेखीय हैं यदि और केवल यदि वेक्टर \(\left( {\vec a - \vec b} \right)\) और \(\left( {\vec a\; - \vec c} \right)\) समानांतर हैं। ⇔\(\left( {\vec a - \vec b} \right) = \lambda \left( {\vec a\; - \vec c} \right)\)
  • यदि बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) संरेखीय हैं तो \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

समाधान:

हम जानते हैं कि, यदि  (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) अंक समरेख हो तो

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

 दिया हुआ  \(\widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k\)\(λ \widehat i + 4\widehat j + 7\widehat k\)\(- 3\widehat i - 2\widehat j - 5\widehat k\)  समरेख है

∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 1}&{ 2}&3\\ λ&4&7\\ -3&-2&-5 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1 (-20 + 14) – (2) (-5λ + 21) + 3 (-2λ + 12) = 0

⇒ -6 + 10λ – 42 - 6λ + 36  = 0

⇒ 4λ = 12

∴ λ = 3

p का वह मान क्या है जिसके लिए सदिश p(2î - ĵ + 2k̂)  का लम्बाई 3   है?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1

Vector Algebra Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि \(\rm {\rm{\vec a}} = {\rm{x\;\vec i}} + {\rm{y\;\vec j}} + {\rm{z\;\vec k}}\) है, तो a के सदिश का परिमाण =\(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = {\rm{\;}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2}} \)

गणना:

माना कि \(\rm \vec{a}\) = p(2î - ĵ + 2k̂) है। 

दिया गया है, \(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{4p^2 + p^2+4p^2} = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{9p^2} = 3\)

⇒ 3p = 3

∴ p = 1

\(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान ज्ञात कीजिए।

  1. 1
  2. 0
  3. \(\rm |\vec{a}|\)
  4. \(\rm |\vec{a}|^2\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0

Vector Algebra Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A}}{\rm{.\vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times cos}}\;{\rm{\theta }}\)

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A \times \vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm \hat{n}\)

जहां θ, \({\rm{\vec A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{\vec B}}\) बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: \(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

\({\rm{\vec a \times \vec a = }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{0 }} \times \rm \hat{n}=0\)

यदि A = \(\rm 5 \hat i-2\hat j +4\hat k\) और B = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k\) है, तो \(\rm |\vec{AB}|\) का मान क्या है?

  1. 6√2
  2. 7√2
  3. 8√2
  4. 9√2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 9√2

Vector Algebra Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि \(\rm \vec A = x \hat i-y\hat j +z\hat k\) है, तो \(\rm |\vec A| = \sqrt {x^2 +y^2+z^2}\) है। 

गणना:

दिया गया है A = \(\rm 5 \hat i-2\hat j +4\hat k\) और B = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k\)

\(\rm \vec{AB} = \vec B - \vec A\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k - (5 \hat i-2\hat j +4\hat k)\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm -4\hat i+5\hat j -11\hat k\)

अब \(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{(-4)^2 +5^2+(-11)^2}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{16 +25+121}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{162}\) = 9√2

a का मान क्या होने पर स्थान सदिश 5î - 2ĵ,  8î - 3ĵ,  aî - 12ĵ वाले बिंदु संरेखीय होते हैं?

  1. 31
  2. 51
  3. 42
  4. 35

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 35

Vector Algebra Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है, तो तीन या तीन से अधिक बिंदुओं को संरेखीय कहा जाता है। 

अलग-अलग बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान \(\rm \frac{y_2 -y_1 }{x_2-x_1}\) है। 

गणना:

यहाँ, \(\rm 5\hat i-2\hat j, 8\hat i-3\hat j, a\hat i-12\hat j \)

माना कि, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12) है। 

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान ....(∵ बिंदु संरेखीय हैं।)

 \(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

अतः विकल्प (4) सही है। 

यदि \(4\hat i + \hat j - 3\hat k\) और \(p\hat i + q\hat j - 2\hat k\) संरेखीय सदिश हैं, तो p और q के संभाव्य मान क्रमशः क्या हैं?

  1. 4, 1
  2. 1, 4
  3. \(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\)
  4. \(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\)

Vector Algebra Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) के संरेखीय होने के लिए​ \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है। 

गणना:

दिया गया है कि, सदिश\(4\hat i + \hat j - 3\hat k\) & \(p\hat i + q\hat j - 2\hat k\)संरेखीय हैं।

चूँकि दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) संरेखीय हैं, तो \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है।

⇒ \(4\hat i + \hat j - 3\hat k\;\ = λ × (\;p\hat i + q\hat j - 2\hat k)\)

⇒ \(4\hat i + 1\hat j - 3\hat k\;\ = λ p \hat i + λq \hat j - 2λ \hat k\)

⇒ λp = 4,  λq = 1 और -2λ = -3

⇒  λ = 3/2

इसलिए, λp = 4 और λq = 1 में λ = 3/2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (3/2)p = 4 और (3/2)q = 1

⇒ p = 8/3 और q  = 2/3

∴  \(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\) सही उत्तर है।

सदिशों \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\) के बीच के कोण का साइन (sine) है?

  1. \(\frac{1}{{\sqrt {26} }}\)
  2. \(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\)
  3. \(\frac{5}{{26}}\)
  4. \(\frac{1}{{26}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\)

Vector Algebra Question 12 Detailed Solution

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धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

\(\Rightarrow \;\sin \theta = \frac{5}{{\sqrt {26} }}\)

यदि \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0,\;|\vec a| = 3,\;|\vec b| = 5\) और \(|\vec c| = 7\) तो \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 

  1. π / 2
  2. π / 3
  3. π / 6
  4. π / 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : π / 3

Vector Algebra Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

\(\rm \vec a.\vec b = 2ab cos\;\theta\)

 

गणना:

माना कि, \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

दिया गया है, \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0 \)

\(\vec a + \vec b = - \vec c \)

\(\rm |\vec a + \vec b| = |- \vec c |\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm |\vec a + \vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

\(\rm |\vec a|^2 +2\;\vec a.\vec b+ |\vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

\(\rm |\vec a|^2 +|\vec b|^2+2\;ab\cos\;\theta = |- \vec c |^2\)

\(\rm (3)|^2 +(5)^2+2\;(3)(5)\cos\;\theta = (7)^2\)

\(\rm 30\cos\;\theta = 15\)

\(\rm \cos\;\theta = \dfrac 12\)

⇒ \(\rm \theta\) = π / 3

अतः यदि \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0,\;|\vec a| = 3,\;|\vec b| = 5\) और \(|\vec c| = 7\) तो \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण π / 3 है। 

यदि \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं, तो b किसके बराबर है?

  1. 5
  2. 10
  3. 15
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 15

Vector Algebra Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

माना \(\rm \vec a =\hat i +\hat j +\hat k,\; \vec b =\hat i -\hat j + \hat k\) और c = î - ĵ - k̂ तीन सदिश है। \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) के तल में एक सदिश \(\rm \vec v\) क्या है, जिसका \(\rm \frac {\vec c} {|\vec c|}\) पर प्रक्षेपण \(\frac 1 {\sqrt 3}\) है?

  1. 3î - ĵ + 3k̂
  2. î - 3ĵ + 3k̂
  3. 5î - 2ĵ + 5k̂
  4. 2î - ĵ + 3k̂

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3î - ĵ + 3k̂

Vector Algebra Question 15 Detailed Solution

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गणना:

\(\rm \vec a =\hat i +\hat j +\hat k,\; \vec b =\hat i -\hat j + \hat k\) और c = î - ĵ - k̂

दिया गया है:  \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) के तल में सदिश \(\rm \vec v\),

इसलिए, \(\rm \vec v = \vec a + λ \vec b\)

\(\rm \vec v =(\hat i +\hat j +\hat k ) \; + λ (\hat i -\hat j + \hat k)\)

= (1 + )î + (1 - λ)ĵ + (1 + λ)k̂ .... (1)

\(\rm \frac {\vec c} {|\vec c|}\) पर \(\rm \vec v\) का प्रक्षेपण = \(\frac 1 {\sqrt 3}\)

\(\rm \vec v=\rm \frac {\vec c} {|\vec c|}=\frac 1 {\sqrt 3}\)

\(\frac {(1 + λ) - (1 - λ) - (1 + λ)}{\sqrt3} = \frac {1}{\sqrt 3}\)

⇒ -(1 - λ) = 1

∴ λ = 2 

अब, λ का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है 

\(\rm \vec v\) = 3î - + 3k̂

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