Vector Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Vector Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सदिश \(\vec{a},\vec{b} ,(\vec{a}\times\vec{b})\) मात्रक सदिश हैं।

चूँकि \(\vec a\) और \(\vec{b}\) मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

\( |\vec{a}| = 1 \quad \text{और} \quad |\vec{b}| = 1 \).

सदिश गुणनफल \(( \vec{a} \times \vec{b} )\) का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

\( |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 1 \times 1 \times \sin \theta = \sin \theta \).

चूँकि \( ( |\vec{a} \times \vec{b}| = 1 \) है, हमारे पास है:

\( \sin \theta = 1 \), इसलिए \(\theta = 90^\circ \), जिसका अर्थ है कि \(\vec a \) और \( \vec{b} \) लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल \( ( \vec{a} \cdot \vec{b} )\) है:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos 90^\circ = 0 \).

∴ \(( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \) का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

बिंदु A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) और \( \vec{c} \) हैं, और \( \vec{c} = \cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b} \) है। 

जिसका मान ज्ञात करना है वह व्यंजक है: \( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \).

सबसे पहले, समीकरण में \( \vec{c} \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b})) + (\cos^2 \theta \, \vec{a} + \sin^2 \theta \, \vec{b}) \times \vec{a} \).

सदिश गुणनफल के वितरण गुण का उपयोग करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \left[ (\vec{b} \times \cos^2 \theta \, \vec{a}) + (\vec{b} \times \sin^2 \theta \, \vec{b}) \right] + \left[ (\cos^2 \theta \, \vec{a} \times \vec{a}) + (\sin^2 \theta \, \vec{b} \times \vec{a}) \right] \).

चूँकि \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \) और \( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), हमारे पास निम्न शेष है:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (\vec{b} \times \vec{a}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

व्यंजक में \( \vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b}) \) को प्रतिस्थापित करने पर:

\( (\vec{a} \times \vec{b}) + \cos^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) + \sin^2 \theta \, (- \vec{a} \times \vec{b}) \).

\( \vec{a} \times \vec{b} \) को बाहर निकालने पर:

\( \vec{a} \times \vec{b} \left[ 1 - \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right] \).

चूँकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), व्यंजक बन जाता है:

\( \vec{a} \times \vec{b} [1 - 1] = 0 \).

∴ अंतिम परिणाम \( \vec{0} \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

\( 3\vec{a} - 4\vec{b} + \vec{c} = 0 \)

\( \vec{c} = 4\vec{b} - 3\vec{a} \)

सदिश \(\overrightarrow{AB} \) है:

\( \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} \)

सदिश \(\overrightarrow{BC} \) है:

\( \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} \)

\(\vec{c} = 4\vec{b} - 3\vec{a} \) प्रतिस्थापित करने पर:

\( \overrightarrow{BC} = (4\vec{b} - 3\vec{a}) - \vec{b} \)

\( \overrightarrow{BC} = 3\vec{b} - 3\vec{a} \)

चरण 4: अब, \(\overrightarrow{BC} = 3(\vec{b} - \vec{a}) \), जो निम्न देता है:

\( AB : BC = 1 : 3 \)

∴ सही अनुपात AB : BC = 1 : 3 है,

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

सदिश \( \vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \)

कथन I: \( \vec{d} \), \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के साथ समतलीय है।

हम इस सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: \( (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \).

यह दर्शाता है कि \( \vec{d} \) \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) का एक रैखिक संयोजन है, इसलिए \( \vec{d} \), \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के साथ समतलीय है।

इसलिए, कथन I सही है।

कथन II: \( \vec{d} \), \( \vec{c} \) के लंबवत है।

इसे जाँचने के लिए, अदिश गुणनफल ​\( \vec{d} \cdot \vec{c} \) की गणना करें। सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करके, हम पाते हैं:

\( \vec{d} \cdot \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0 \),

जिसका अर्थ है कि \( \vec{d} \) \( \vec{c} \) के लंबवत है।

इसलिए, कथन II सही है।

∴ कथन I और कथन II दोनों सही हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

\( \cos^2(\alpha) + \cos^2(\beta) + \cos^2(\gamma) = 1 \)

सर्वसमिका \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) का उपयोग करते हुए, हम प्रतिस्थापित करते हैं:

\( (1 - \sin^2(\alpha)) + (1 - \sin^2(\beta)) + (1 - \sin^2(\gamma)) = 1 \)

समीकरण को सरल करने पर:

\( 3 - (\sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma)) = 1 \)

साइन पदों को अलग करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\( \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

अब, अदिश गुणनफल की गणना करने पर:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\beta) + \sin^2(\gamma) = 2 \)

∴  \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) का मान 2 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

धारणा:

संरेखीय वेक्टर की स्थितियां:

• स्थिति वेक्टर \(\vec a,\;\vec b\;and\;\vec c\) के साथ तीन बिंदु संरेखीय हैं यदि और केवल यदि वेक्टर \(\left( {\vec a - \vec b} \right)\) और \(\left( {\vec a\; - \vec c} \right)\) समानांतर हैं। ⇔\(\left( {\vec a - \vec b} \right) = \lambda \left( {\vec a\; - \vec c} \right)\)
• यदि बिंदु (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) संरेखीय हैं तो \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

समाधान:

हम जानते हैं कि, यदि  (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) और (x3, y3, z3) अंक समरेख हो तो

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\\ {{x_3}}&{{y_3}}&{{z_3}} \end{array}} \right| = 0\)

 दिया हुआ  \(\widehat i + 2\widehat j + 3\widehat k\), \(λ \widehat i + 4\widehat j + 7\widehat k\), \(- 3\widehat i - 2\widehat j - 5\widehat k\)  समरेख है

∴ \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 1}&{ 2}&3\\ λ&4&7\\ -3&-2&-5 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1 (-20 + 14) – (2) (-5λ + 21) + 3 (-2λ + 12) = 0

⇒ -6 + 10λ – 42 - 6λ + 36  = 0

⇒ 4λ = 12

∴ λ = 3

संकल्पना:

माना कि \(\rm {\rm{\vec a}} = {\rm{x\;\vec i}} + {\rm{y\;\vec j}} + {\rm{z\;\vec k}}\) है, तो a के सदिश का परिमाण =\(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = {\rm{\;}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {\rm{\;}}{{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2}} \)

गणना:

माना कि \(\rm \vec{a}\) = p(2î - ĵ + 2k̂) है। 

दिया गया है, \(\left| {{\rm{\vec a}}} \right| = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{4p^2 + p^2+4p^2} = 3\)

⇒ \(\rm \sqrt{9p^2} = 3\)

⇒ 3p = 3

∴ p = 1

संकल्पना:

दो सदिशों के बिंदु गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A}}{\rm{.\vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times cos}}\;{\rm{\theta }}\)

दो सदिशों के अन्योन्य/सदिश गुणनफल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\({\rm{\vec A \times \vec B = }}\left| {\rm{A}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{B}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{\theta }} \times \rm \hat{n}\)

जहां θ, \({\rm{\vec A}}\;{\rm{and}}\;{\rm{\vec B}}\) बीच का कोण है

गणना:

ज्ञात करना है: \(\rm \vec{a} \times \vec{a}\) का मान

यहाँ उनके बीच का कोण 0° है

\({\rm{\vec a \times \vec a = }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times }}\left| {\rm{a}} \right|{\rm{ \times sin}}\;{\rm{0 }} \times \rm \hat{n}=0\)

संकल्पना:

यदि \(\rm \vec A = x \hat i-y\hat j +z\hat k\) है, तो \(\rm |\vec A| = \sqrt {x^2 +y^2+z^2}\) है। 

गणना:

दिया गया है A = \(\rm 5 \hat i-2\hat j +4\hat k\) और B = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k\)

\(\rm \vec{AB} = \vec B - \vec A\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm \hat i+3\hat j -7\hat k - (5 \hat i-2\hat j +4\hat k)\)

\(\rm \vec{AB}\) = \(\rm -4\hat i+5\hat j -11\hat k\)

अब \(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{(-4)^2 +5^2+(-11)^2}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{16 +25+121}\)

\(\rm |\vec {AB}| = \sqrt{162}\) = 9√2

संकल्पना:

यदि बिंदुओं के किसी दो युग्मों का ढलान समान है, तो तीन या तीन से अधिक बिंदुओं को संरेखीय कहा जाता है। 

यहाँ, \(\rm 5\hat i-2\hat j, 8\hat i-3\hat j, a\hat i-12\hat j \)

माना कि, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12) है। 

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान ....(∵ बिंदु संरेखीय हैं।)

 \(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) के संरेखीय होने के लिए​ \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है। 

गणना:

दिया गया है कि, सदिश\(4\hat i + \hat j - 3\hat k\) & \(p\hat i + q\hat j - 2\hat k\)संरेखीय हैं।

चूँकि दो सदिश \(\vec m \ and \ \vec n \) संरेखीय हैं, तो \(\vec m\; = \;λ \vec n\) है, जहाँ λ अदिश है।

⇒ \(4\hat i + \hat j - 3\hat k\;\ = λ × (\;p\hat i + q\hat j - 2\hat k)\)

⇒ \(4\hat i + 1\hat j - 3\hat k\;\ = λ p \hat i + λq \hat j - 2λ \hat k\)

⇒ λp = 4,  λq = 1 और -2λ = -3

⇒  λ = 3/2

इसलिए, λp = 4 और λq = 1 में λ = 3/2 रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ (3/2)p = 4 और (3/2)q = 1

⇒ p = 8/3 और q  = 2/3

∴  \(\frac{8}{3}, \frac{2}{3}\) सही उत्तर है।

धारणा:

यदि \(\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\;and\;\vec b = {b_1}\hat i + {b_2}\hat j + {b_3}\hat k\) तो \(\vec a \cdot \;\vec b = \left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|\cos \theta\)

गणना:

दिया हुआ: \(\vec a = 2\hat i - 6\hat j - 3\hat k\) और \(\vec b = 4\hat i + 3\hat j - \hat k\)

\(\left| {\vec a} \right| = 7,\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {26} \;and\;\vec a \cdot \;\vec b = - 7\)

\(\Rightarrow \;\cos \theta = \frac{{\vec a \cdot \;\vec b}}{{\left| {\vec a} \right| \times \left| {\vec b} \right|}} = \frac{{ - \;7}}{{7 \times \sqrt {26} }} = - \frac{1}{{\sqrt {26} }}\)

\( \Rightarrow \;{\sin ^2}\theta = 1 - {\cos ^2}\theta = 1 - \frac{1}{{26}} = \frac{{25}}{{26}}\)

संकल्पना:

माना कि \(\vec a\) और \(\vec b\) के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

\(\rm \vec a.\vec b = 2ab cos\;\theta\)

गणना:

माना कि, \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण \(\rm \theta\) है। 

दिया गया है, \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0 \)

⇒\(\vec a + \vec b = - \vec c \)

⇒\(\rm |\vec a + \vec b| = |- \vec c |\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒\(\rm |\vec a + \vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm |\vec a|^2 +2\;\vec a.\vec b+ |\vec b|^2 = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm |\vec a|^2 +|\vec b|^2+2\;ab\cos\;\theta = |- \vec c |^2\)

⇒\(\rm (3)|^2 +(5)^2+2\;(3)(5)\cos\;\theta = (7)^2\)

⇒\(\rm 30\cos\;\theta = 15\)

⇒\(\rm \cos\;\theta = \dfrac 12\)

⇒ \(\rm \theta\) = π / 3

अतः यदि \(\vec a + \vec b + \vec c = \vec 0,\;|\vec a| = 3,\;|\vec b| = 5\) और \(|\vec c| = 7\) तो \(\vec a\) और \(\vec b\)के बीच का कोण π / 3 है। 

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

गणना:

\(\rm \vec a =\hat i +\hat j +\hat k,\; \vec b =\hat i -\hat j + \hat k\) और c = î - ĵ - k̂

दिया गया है:  \(\rm \vec a\) और \(\rm \vec b\) के तल में सदिश \(\rm \vec v\),

इसलिए, \(\rm \vec v = \vec a + λ \vec b\)

\(\rm \vec v =(\hat i +\hat j +\hat k ) \; + λ (\hat i -\hat j + \hat k)\)

= (1 + )î + (1 - λ)ĵ + (1 + λ)k̂ .... (1)

\(\rm \frac {\vec c} {|\vec c|}\) पर \(\rm \vec v\) का प्रक्षेपण = \(\frac 1 {\sqrt 3}\)

\(\rm \vec v=\rm \frac {\vec c} {|\vec c|}=\frac 1 {\sqrt 3}\)

⇒ \(\frac {(1 + λ) - (1 - λ) - (1 + λ)}{\sqrt3} = \frac {1}{\sqrt 3}\)

⇒ -(1 - λ) = 1

∴ λ = 2 

अब, λ का मान समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है 

\(\rm \vec v\) = 3î - + 3k̂