Three Dimensional Geometry MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Three Dimensional Geometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 4, 2025

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Latest Three Dimensional Geometry MCQ Objective Questions

Three Dimensional Geometry Question 1:

उस समतल की समीकरण क्या है, जो बिंदु (1,1,1) से होकर गुजरता है और उस रेखा पर लंब है, जिसके दिक्-अनुपात (3,2,1) हैं?

  1. x+2y+3z=6
  2. 3x+2y+z=6
  3. x+y+z=3
  4. 3x+2y+z=0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3x+2y+z=6

Three Dimensional Geometry Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

समतल बिंदु P(1,1,1) से गुजरता है और दिक् अनुपात (3,2,1) वाली रेखा के लंबवत है।

समतल की सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

Ax+By+Cz=D, जहाँ (A,B,C) समतल के अभिलम्ब के दिशा अनुपात हैं।

चूँकि समतल रेखा के लंबवत है, इसलिए समतल का अभिलम्ब सदिश (3,2,1) है।

इस प्रकार, समतल की समीकरण बन जाता है:

3x+2y+z=D.

D ज्ञात करने के लिए, बिंदु (1,1,1) को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

3(1)+2(1)+1=D, जो सरल होकर निम्नवत हो जाता है:

3+2+1=D,

D=6.

इसलिए, समतल का समीकरण 3x+2y+z=6 है।

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

Three Dimensional Geometry Question 2:

यदि एक रेखा x+1p=y1q=z2r है, जहाँ , y-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ θ कोण बनाती है, तो cos2θ किसके बराबर है?

  1. -31/49
  2. -37/49
  3. 31/49
  4. 37/49

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -31/49

Three Dimensional Geometry Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

रेखा समीकरण है: x+1p=y1q=z2r, जहाँ p = 2q = 3r है।

रेखा y-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण θ बनाती है।

दिक् कोज्याओं के बीच निम्न संबंध का उपयोग करते हुए

l=pp2+q2+r2,m=qp2+q2+r2,n=rp2+q2+r2,

हम p = 3r और q = 3r2 प्रतिस्थापित करते हैं।

y-अक्ष के साथ दिशांक कोज्या m=qp2+q2+r2 द्वारा दी गई है।

m=3r2(3r)2+(3r2)2+r2=3r29r2+9r24+r2=3r249r24=37.

अब, कोज्या के द्वि-कोण सर्वसमिका cos2θ=2cos2θ1 का उपयोग करने पर:

cos2θ=2(37)21=2×9491=18491=3149.

इसलिए, cos2θ का मान 3149 है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

Three Dimensional Geometry Question 3:

यदि 3 आयामों में एक रेखा निर्देशक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ α, β और γ कोण बनाती है, तो किसके बराबर है?

  1. cos2γ
  2. cos2γ
  3. sin2γ
  4. sin2γ

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : cos2γ

Three Dimensional Geometry Question 3 Detailed Solution

गणना:

हम जानते हैं कि cos2α+cos2β+cos2γ=1 ... (i)

और cos(α+β)cos(αβ)=cos2αsin2β

प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर:

=cos2α+cos2β1=1cos2γcos2γ

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Three Dimensional Geometry Question 4:

यदि बिंदुओं (1, 2, 3) और (2, 3, 4) को मिलाने वाली रेखा और रेखा x12=y+11=z20 बीच न्यूनतम दूरी α है, तो 28α 2 बराबर ____ है।

Answer (Detailed Solution Below) 18

Three Dimensional Geometry Question 4 Detailed Solution

गणना:

r=(i^+2j^+3k^)+λ(i^+j^+k^)r=a+λp

r=(+i^j^+2k^)+μ(2i^j^)r=b+μq

p×q=|i^j^k^111210|=i^+2j^3k^

d=|(ba)(p×q)|p×q||

d=|(3j^k^)(i^+2j^3k^)14|

=|6+314|=314

α=314

अब, 28α 2 = 28× 914=18

अतः सही उत्तर 18 है।

Three Dimensional Geometry Question 5:

बिंदु (2, 0, 5) का रेखा x+12=y15=z+11 पर लम्बपाद (α, β, γ) है। तब, निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

  1. αβγ=415
  2. αβ=8
  3. βγ=5
  4. γα=58

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : βγ=5

Three Dimensional Geometry Question 5 Detailed Solution

गणना:

L:x+12=y15=z+11=λ (माना) 

qImage6835429020d36505318c0e2f

माना लम्बपाद है

P(2λ - 1, 5λ + 1, -λ - l)

PA=(32λ)i^(5λ+1)j^+(6+λ)k^

रेखा का दिक् अनुपात b=2i^+5j^k^

अब, PAb=0

⇒ 2(3 - 2λ) - 5(5λ + 1) - (6 + λ) = 0

λ=16

P(2λ - 1,5λ + 1,-λ - 1) ≡ P(α, β, γ)

α=2(16)1=43α=43

β=5(16)+1=16β=16

γ=λ1=161γ=56

अनुपातों की गणना करें।

αβγ=(43)(16)56=415,
αβ=4316=8,
βγ=1656=15,
γα=5643=58.

चरण 4: गलत कथन की पहचान करें।

विकल्प β/γ=5 सही नहीं है, क्योंकि β/γ=15

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Top Three Dimensional Geometry MCQ Objective Questions

z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग क्या है?

  1. 0
  2. 1/3
  3. 1
  4. 3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Three Dimensional Geometry Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

सदिश का दिशा कोसाइन कोणों का वह कोसाइन होता है जो निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश रूप बनाता है। 

गणना:

Z - अक्ष X - अक्ष के साथ एक कोण 90°, Y - अक्ष के साथ 90°, और Z - अक्ष के साथ 0° बनाता है। 

∴ Z - अक्ष का दिशा कोसाइन: cos 90, cos 90, cos 0

अर्थात् 0, 0, 1 

अब z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग = 0 +  0 + 1 = 1 

अतः विकल्प (3) सही है। 

एक रेखा x, y और z अक्षों के साथ कोण α, β, γ बनाती है। तो sin2 α + sin2 β + sin2 γ क्या है?

  1. 1
  2. 0
  3. 2
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Three Dimensional Geometry Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

  1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
  2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

F1 Amam K 28.4.20 Pallavi D4

  1. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

 l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

  1. दिशा अनुपात: कोई भी संख्याएँ जो किसी रेखा के दिशा कोसाइन के आनुपातिक होती है, उसे दिशा अनुपात कहा जाता है। इसे ’a’, 'b' और 'C' द्वारा दर्शाया जाता है।
  2. a ∝ l, b ∝ m और c ∝ n ⇔ a = kl, b = km और c = kn जहां k एक स्थिरांक है।

 

गणना:

हमें sin2 α + sin2 β + sin2 γ का मूल्य खोजना होगा

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

⇒ 1 - sin2 α + 1 - sin2 β + 1 - sin2 γ = 1 (∵ sin2 θ + cos2 θ = 1)

⇒ 3 – (sin2 α + sin2 β + sin2 γ) = 1

⇒ 3 – 1 = sin2 α + sin2 β + sin2 γ

∴ sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 2

तल x + 2y + z = 7 और 2x – y + z = 13 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 

  1. θ=cos1(16)
  2. θ=cos1(13)
  3. θ=cos1(23)
  4. θ=cos1(34)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : θ=cos1(16)

Three Dimensional Geometry Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • माना कि A1x + B1y + C1z + D1 = 0 और A2x + B2y + C2 z + D2 = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A1, B1, Cऔर A2, B2, C2 तल के लंब के दिशा अनुपात हैं, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22|

 

गणना:

दिए गए तल x + 2y + z = 7 और 2x – y + z = 13 हैं। 

cosθ=|1.22.1+1.112+22+1222+(1)2+12|=16

∴ θ=cos1(16)

रेखाओं x - 2 = 0 और √3x - y - 2 = 0 के बीच का न्यून कोण कितना है?

  1. 30°
  2. 45°
  3. 60°

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 30°

Three Dimensional Geometry Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

मान लीजिए θ ढलान वाली दो रेखाओं m1 और m2 के बीच का कोण है, तो रेखाओं के बीच का न्यून कोण निम्न द्वारा दिया जाता है:

tanθ=|m2m11+m1 m2|

गणना:

मान लीजिए, रेखा (x - 2 = 0) का ढलान mहै

तो,  m1 = ∞ 

और, रेखा  (√3x - y - 2 = 0) का ढलान m2  है

तो, m2 = √3.

अब, दी गई रेखाओं के बीच का कोण θ है।

tanθ=|m2m11+m1 m2|

tanθ=|m2m111m1+m2|

tan θ=13

⇒ θ = 30°

अत: सही विकल्प 2 है।

Alternate Method

रेखा 1 के लिए: x - 2 = 0 इसलिए, x = 2

चूंकि यह एक लंबवत रेखा है, ढलान अपरिभाषित है।

अत: θ1 = 90°

रेखा 2 के लिए:

√3x - y - 2 = 0

इस समीकरण की तुलना y = mx + c से करें

यह y = √3x + 2 हो जाता है,

इसलिए, m = √3 = tan θ2

अत: θ2 = tan13 = 60°

अब, दो रेखाओं के बीच प्रतिच्छेदन का आलेख इस प्रकार खींचा जा सकता है

F1 Amar Madhuri 17.01.2021 D2

अत: रेखाओं के बीच न्यून कोण θ1 – θ2 = 90° – 60° = 30°

 

जब x22k=y33=z+21 और x28=y36=z+22 समानांतर हैं तब k का मान ज्ञात कीजिए।

  1. -2
  2. 2
  3. 1/2
  4. 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Three Dimensional Geometry Question 10 Detailed Solution

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अवधारणा:

माना दो पंक्तियाँ क्रमशः a1, b1, cऔर a2, b2, c2 वाली।

लम्बवत्त रेखाओं के लिए शर्त: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त: a1a2=b1b2=c1c2

 

गणना:

दी गई पंक्तियाँ निम्न हैं x22k=y33=z+21 और x28=y36=z+22

पहली पंक्ति का दिशा अनुपात (2k, 3, -1) है और दूसरी पंक्ति का दिशा अनुपात (8, 6, -2) है

लाइनें समानांतर हैं;

इसलिए, 2k8=36=12

k4=12=12

∴ k = 2

रेखा 2x = 3y = 5 - 4z का दिशा अनुपात ज्ञात करें।

  1. <2, 3, 5>
  2. <6, 4, - 3>
  3. <2, 3, - 4>
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : <6, 4, - 3>

Three Dimensional Geometry Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

दिशा अनुपात के साथ एक रेखा का समीकरण जो बिंदु (x1, y1, z1) से होकर गुजरता है, जो निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

xx1a=yy1b=zz1c

गणना:

दिया गया है कि: रेखा का समीकरण 2x = 3y = 5 - 4z है

हम पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को तुलना के लिए मानक रूप में परिवर्तित करेंगे, अर्थात हमें क्रमशः x, y, और z, अर्थात् 2, 3 और 4 के गुणांक से समाप्त करने की आवश्यकता है।

2, 3, और 4 का LCM 12 

उपरोक्त समीकरण को 12 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

2x12=3y12=5  4z12

x6=y4=z543

उपरोक्त समीकरण के साथ xx1a=yy1b=zz1c की तुलना करने पर हमें मिलता है

⇒ a = 6, b = 4 और c = -3

तो, दी गई पंक्ति की दिशा अनुपात <6, 4, - 3> है

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

k का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे रेखा 2x22k=4y3=z+21 और x51=yk=z+64समकोण पर हैं?

  1. 0
  2. -2
  3. 2
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -2

Three Dimensional Geometry Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः  a1, b1, c1 और a2, b2, cहैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं 2x22k=4y3=z+21 और x51=yk=z+64  हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

2(x1)2k=(y4)3=z+21(x1)k=y43=z+21

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (k, -3, -1) है। 

x51=yk=z+64

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (1, k, 4) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (k × 1) + (-3 × k) + (-1 × 4) = 0

⇒ k – 3k – 4 = 0

⇒ -2k – 4 = 0

∴ k = -2

सीधी रेखा x+12=y25=z+34 और x11=y+22=z33 के बीच का कोण क्या है?

  1. 45°
  2. 30°
  3. 60°
  4. 90°

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 90°

Three Dimensional Geometry Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण:

 

F1 Aman 24.9.20 Pallavi D1.1

 

रेखाओं के बीच का कोण xx1a1=yy1b1=zz1c1andxx2a2=yy2b2=zz2c2 निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

cosθ=a1a2+b1b2+c1c2(a12+b12+c12)(a22+b22+c22), जहाँ a1, b1, c1, a2, b2 और c2 दिशा अनुपात हैं। 

गणना:

दिया गया है:  x+12=y25=z+34 और x11=y+22=z33

रेखाओं के दिशा अनुपात a1 = 2, b1 = 5, c1 = 4 और a2 = 1, b2 = 2 , c2 = -3 हैं। 

चूँकि हम जानते हैं, रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है cosθ=a1a2+b1b2+c1c2(a12+b12+c12)(a22+b22+c22)

cosθ=2×1+5×2+4×3(22+52+42)(12+22+(3)2)=0

∴ θ = 90° 

समतल x - 3y + 2z + 13 = 0 से बिंदु (1, 2, 3) की दूरी क्या है?

  1. √14
  2. √13
  3. √11
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : √14

Three Dimensional Geometry Question 14 Detailed Solution

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धारणा:

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल

और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब, दूरी = |Ax1+By1+Cz1dA2+B2+C2|

गणना:

हमें समतल x – 3y + 2z + 13 = 0 से बिंदु (1, 2, 3) की दूरी ज्ञात करनी है

दूरी =|1×1+(3)×2+2×3+1312+(3)2+(2)2|

=|16+6+131+9+4|

=|1414| = √14

समतल 5x + 2y + z - 13 = 0 द्वारा बनाए गए निर्देशांक अक्षों पर अन्तःखंडों की लंबाइयाँ क्या हैं?

  1. 5, 2, 1 इकाई
  2. 135,132,13 इकाई
  3. 513,213,113 इकाई
  4. 1, 2, 5 इकाई

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 135,132,13 इकाई

Three Dimensional Geometry Question 15 Detailed Solution

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धारणा:

  • समतल का अन्तःखंड रूप निम्न द्वारा दिया जाता है ⇔ xa+yb+zc=1

जहाँ ‘a’ x- अन्तःखंड है, 'b' y- अन्तःखंड है और 'c' z- अन्तःखंड है।

गणना:

दिया हुआ:

समतल का समीकरण 5x + 2y + z – 13 = 0

⇒ 5x + 2y + z = 13

5x+2y+z13=1

x135+y132+z131=1

∴ अन्तःखंडों की लंबाइयाँ 135,132,13 इकाई हैं
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