Integral Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integral Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\lfloor x^2\rfloor$ है। 

हमें ${\int }_{\sqrt{2}}^{2}f(x)dx$ का मान ज्ञात करना है।

हम समाकल को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:

${\int }_{\sqrt{2}}^{2}f(x)dx={\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx+{\int }_{\sqrt{3}}^{2}3dx$

परिसर $\sqrt{2}\le x\le \sqrt{3}$ के लिए, $\lfloor x^2\rfloor =2$ है। 

इसलिए, समाकल का पहला भाग है:

${\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx=2\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})$

परिसर $\sqrt{3}\le x\le 2$ के लिए, $\lfloor x^2\rfloor =3$ है। 

इसलिए, समाकल का दूसरा भाग है:

${\int }_{\sqrt{3}}^{2}3dx=3\times (2-\sqrt{3})$

अब, हम मानों की गणना करते हैं:

$2\times (\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}$

$3\times (2-\sqrt{3})=6-3\sqrt{3}$

दोनों भागों को मिलाने पर:

$2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+6-3\sqrt{3}=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\lfloor x^2\rfloor$ है, जहाँ $\lfloor x^2\rfloor$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}}\lfloor x^2\rfloor dx$

फलन के आधार पर समाकल को वियोजित करने पर:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\le x<1$ के लिए, x², $\frac{3}{4}$ और 1 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =0$ है। इसलिए,

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}0dx=0$

$1\le x<\sqrt{2}$ के लिए, x²,1 और 2 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =1.$ है। इसलिए,

${\int }_1^{\sqrt{2}}1dx=\sqrt{2}-1$

$\sqrt{2}\le x<\sqrt{3}$ के लिए, x², 2 और 3 के बीच है, इसलिए $\lfloor x^2\rfloor =2$ है। इसलिए,

${\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}2dx=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

सभी परिणामों को जोड़ने पर:

${\int }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}}\lfloor x^2\rfloor dx=0+(\sqrt{2}-1)+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

= $2(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

वक्र का समीकरण y = 4x है, और रेखा x = 4 वक्र को बिंदु (4, 16) पर प्रतिच्छेद करती है। हमें वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

ध्यान का क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार x-अक्ष के साथ x = 0 से x = 4 तक है और ऊँचाई 16 इकाई है, जो बिंदु (4, 16) के संगत है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

$\text{Area}=\frac{1}{2}\times \text{base}\times \text{height}$

आधार (4 इकाई) और ऊँचाई (16 इकाई) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$\text{Area}=\frac{1}{2}\times 4\times 16=32\text{square units}$

∴ क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

(x, f(x)) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा का ढाल प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए 4 है, और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

स्पर्श रेखा का ढाल फलन का अवकलज है, इसलिए हमारे पास है:

$f^{\prime }(x)=4$

x के सापेक्ष f'(x) = 4 का समाकलन करने पर:

$f(x)=4x+C$

वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए जब x = 0, y = 0 है। इन मानों को समीकरण f(x) = 4x + C में प्रतिस्थापित करने पर:

$0=4(0)+C\Rightarrow C=0$

इसलिए, वक्र का समीकरण है:

$f(x)=4x$

यह मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली, 4 के ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है।

∴ वक्र एक सरल रेखा है जिसका ढाल 4 है और जो मूलबिंदु से होकर गुजरती है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

निश्चित समाकल गुण:

$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$
गणना:

माना कि f(x) = x(1 – x)⁹

अब गुण का प्रयोग करने पर, $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

${\int }_0^1\mathrm{x}(1-\mathrm{x}{)}^9\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right){\left\{1-\left(1-\mathrm{x}\right)\right\}}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right){\mathrm{x}}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{x}}^9-{\mathrm{x}}^{10}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

$={\left[\frac{{\mathrm{x}}^{10}}{10}-\frac{{\mathrm{x}}^{11}}{11}\right]}_0^1$

= 1/10 – 1/11

= 1/110

∴ समाकलन ${\int }_0^1\mathrm{x}(1-\mathrm{x}{)}^9\mathrm{d}\mathrm{x}$ का मान 1/110 है।

संकल्पना:

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{a}}^2}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}})+\mathrm{c}$

गणना:

माना कि I = ${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+4}}}$ है। 

= ${\displaystyle {\int }_0^2{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+2^2}}}$

$=[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}(\frac{\mathrm{x}}{2}){]}_0^2$

$=[\frac{1}{2}{\tan }^{-1}1-\frac{1}{2}{\tan }^{-1}0]$

$=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{4}-0$

= ${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{y}\mathrm{d}\mathrm{x}$

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{y}$

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

$\text{Area =}{\int }_{-1}^{1}ydx$

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

$\text{Area }-1={\int }_0^{1}ydx$

${\text{Area}}_1={\int }_0^1{x}^{2}dx$

$={\left[\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

$(1\times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$TotalArea=2\times \frac{2}{3}=\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई I

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = ${\int }_0^1\mathrm{x}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि x² + 4 = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2xdx = dt

⇒ xdx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{2}$

अब,

I = $\frac{1}{2}{\int }_4^5\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{2}{\left[\frac{{\mathrm{t}}^{3/2}}{\frac{3}{2}}\right]}_4^5$

= $\frac{1}{3}[5^{3/2}-4^{3/2}]$

= $\frac{1}{3}[5\sqrt{5}-8]$

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos² x

1 - cos 2x = 2sin² x

$\int \cos \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}=\sin \mathrm{x}+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1+\cos 2\mathrm{x}}{2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int (1+\cos 2\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}[\mathrm{x}+\frac{\sin 2\mathrm{x}}{2}]+\mathrm{c}$

= $\frac{\mathrm{x}}{2}+\frac{\sin 2\mathrm{x}}{4}+\mathrm{c}$

संकल्पना:

${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

गणना:

माना कि I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin 2\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos \mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$  है।        ----(1)

गुण f(a + b – x) का प्रयोग करने पर,

I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin 2(2\pi -\mathrm{x})}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos (2\pi -\mathrm{x})}\mathrm{d}\mathrm{x}$   

चूँकि हम जानते हैं, sin (2π - x) = - sin x और cos (2π - x) = cos x

I = ${\int }_0^{2\pi }\frac{-\sin 2\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}\cos \mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$         ----(2)       

I = -I

2I = 0

∴ I = 0

संकल्पना:

$\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}+\mathrm{c}$

गणना:

I = ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{{\mathrm{x}}^4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}4{\mathrm{x}}^{-4}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ${\left[\frac{4{\mathrm{x}}^{-3}}{-3}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}$

= $\frac{-4}{3}{\left[\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}$

= $\frac{-4}{3}[\frac{1}{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{1}]$

= $\frac{-4}{3}[0-1]$

= $\frac{4}{3}$

अवधारणा:

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}={\displaystyle {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

गणना:

मान लीजिए कि, I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\sin \mathrm{x}}}{\sqrt{\sin \mathrm{x}}+\sqrt{\cos \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$             ....(1)

I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}}{\sqrt{\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}+\sqrt{\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\mathrm{x})}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\cos \mathrm{x}}}{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\sin \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$                           ....(2)

(1) और (2) जोड़कर हमारे पास है

2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}{\displaystyle \frac{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{\cos \mathrm{x}}+\sqrt{\sin \mathrm{x}}}}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

2I = ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

2I = $[\mathrm{x}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}$

I = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

अवधारणा:

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}si{n}^{-1}\frac{x}{a}+c$

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$ और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$

⇒ 0 = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y = $\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}$ है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A $={\int }_{-4}^4\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$

हम जानते हैं कि,

$\int \surd a^2-x^{2}dx=\frac{x}{2}\surd x^2-a^2+\frac{a^2}{2}si{n}^{-1}\frac{x}{a}+c$

= $[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-{\mathrm{x}}^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}}{4}{]}_{-4}^4$ 

= $[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-4^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{4}{4}]-[\frac{\mathrm{x}}{2}\sqrt{(4^2-(-4{)}^2)}+\frac{16}{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{4}{-4})]$

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

संकल्पना:

$\int \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$

गणना:

I = $\int \frac{1}{\sqrt{16-25{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1}{\sqrt{16-(5\mathrm{x}{)}^2}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

माना कि 5x = t है। 

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 5dx = dt

⇒ dx = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{t}}{5}$

अब, 

I = $\frac{1}{5}\int \frac{1}{\sqrt{4^2-{\mathrm{t}}^2}}\mathrm{d}\mathrm{t}$

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{\mathrm{t}}{4}\right)$ + c

= $\frac{1}{5}{\sin }^{-1}\left(\frac{5\mathrm{x}}{4}\right)$ + c