Quadratic Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

पिछले परिणाम से, मूल समीकरण के मूल हैं

\( \alpha = 1 \) और \( \beta = -2 \)

हम उस द्विघात समीकरण ज्ञात कर रहे हैं जिसके मूल हैं

\( \alpha + 1 = 1 + 1 = 2\) और \( \beta + 1 = -2 + 1 = -1 \)

एक द्विघात समीकरण जिसके मूल \(r_1\) और \(r_2\) हैं, का एकघाती रूप है:

\( x^2 - (r_1 + r_2)\,x + (r_1\,r_2) = 0. \)

यहाँ,

\( r_1 + r_2 = 2 + (-1) = 1, \)

\( r_1\,r_2 = 2 \times (-1) = -2. \)

प्रतिस्थापित करने पर:

\( x^2 - 1\cdot x + (-2) = 0 \)

\( \boxed{x^2 - x - 2 = 0} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

α और β द्विघात समीकरण के मूल हैं

\(x^2 + \sqrt{\alpha}\,x + \beta = 0 \)

विआटा के संबंधों से,

मूलों का योग: \( \alpha + \beta = -\sqrt{\alpha} \),

मूलों का गुणनफल: \(\alpha\beta = \beta \)

\(\alpha\beta = \beta \) से, या तो \(\beta = 0 \) या \(\alpha = 1 \) 

चूँकि दिए गए विकल्पों में β≠0 है, इसलिए हम \(\alpha = 1 \) लेते हैं।

योग संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

\(1 + \beta = -\sqrt{1} = -1\) ⟹ \(\beta = -2 \)

इसलिए, \(\alpha = 1 \) और \(\beta = -2 \)

अतः सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

हमें दिया गया है कि k, $x{}^2-4x+1=0$ का एक मूल है।

द्विघात समीकरण को हल करना:

\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \)

⇒ \(x = 2 \pm \sqrt{3} \)

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं

⇒ \(k = 2 + \sqrt{3} \quad \text{or} \quad k = 2 - \sqrt{3} \)

हमें \(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) \) ज्ञात करने की आवश्यकता है।

व्युत्क्रम स्पर्शज्या के योग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करना

\(\tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \)

⇒ \(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{k}}{1 - k \cdot \frac{1}{k}}\right) \)

\(= \tan^{-1}\left(\frac{k + \frac{1}{k}}{1 - 1}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{k + \frac{1}{k}}{0}\right) \)

यह व्यंजक अपरिभाषित मान देता है, लेकिन हम व्युत्क्रम स्पर्शज्या के गुणों से जानते हैं कि

⇒ \(\tan^{-1}(k) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{k}\right) = \frac{\pi}{2}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) है,

हमें निम्नलिखित व्यंजक का मान ज्ञात करना है:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 \)

समीकरण \( x^2 - x + 1 = 0 \) को निम्न प्रकार हल किया जाता है:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = e^{i \pi / 3} \quad \text{or} \quad x = e^{-i \pi / 3} \)

अब, \( x \) के मान को व्यंजक \( x - \frac{1}{x} \): में प्रतिस्थापित करें।

\( x - \frac{1}{x} = i\sqrt{3} \)

\( x - \frac{1}{x} \) की घातों का मूल्यांकन करें

अब, व्यंजक में प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = (i \sqrt{3})^2 = -3 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 = (-3)^2 = 9 \)

\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^8 = 9^2 = 81 \)

अब, मानों को जोड़ें:

\( -3 + 9 + 81 = 87 \)

∴ व्यंजक का मान 87 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

द्विघात समीकरण x² - kx + k = 0 है।

एक मूल दूसरे मूल से 2√3 अधिक है।

⇒ α - β = 2√3.

साथ ही,

मूलों का योग: α + β = k

मूलों का गुणनफल: α × β = k

गणना:

हमें निम्नलिखित सर्वसमिका ज्ञात हैं

\((\alpha + \beta )^2 = (\alpha - \beta)^2 - 4\alpha\beta \)

⇒ k² = (2√3)² - 4k

⇒ k² - 12 - 4k = 0

⇒ k² - 6k + 2k -12 = 0

⇒ k(k - 6) + 2 ( k - 6) = 0

⇒ (k - 6) (k + 2) = 0

⇒ k = 6 और k = -2

इस प्रकार, k के संभावित मान 6 और -2 हैं। 

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिए, 

α + β = -b/a और αβ = c/a

गणना:

दिया गया समीकरण (5 + √2) x2 - (4 + √5) x + (8 + 2√5) = 0 है

ax2 + bx + c = 0 द्वारा इस समीकरण की तुलना करने पर , हम प्राप्त करते हैं

a = (5 + √2), b =  - (4 + √5) और c = (8 + 2√5)

अब, αβ = (8 + 2√5)/(5 + √2) और α + β = (4 + √5)/(5 + √2)

अब, हमें 2αβ/(α + β) का मान ज्ञात करना है 

⇒ 2[(8 + 2√5)/(5 + √2)] / [(4 + √5)/(5 + √2)]

⇒ 2 [(8 + 2√5) (4 - √5)] / [(4 + √5)/(4 - √5)]

⇒ 2(32 + 8√5 - 8√5 - 10)/11

⇒ 44/11 = 4

∴ 2αβ/ (α + β) का आवश्यक मान 4 है।

संकल्पना:

यदि α और β द्विघात समीकरण Ax2 + Bx + C = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{B}{A}\) और αβ = \(\rm \dfrac{C}{A}\) है।

​

गणना:

माना कि α और β द्विघातीय समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, तो α + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\) और αβ = \(\rm \dfrac{c}{a}\) है।

दिया गया है कि α = -β है।

∴ -β + β = \(\rm -\dfrac{b}{a}\)

⇒ \(\rm -\dfrac{b}{a}\) = 0

⇒ b = 0.

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया गया है: α और β समीकरण x² - q(1 + x) - r = 0 के मूल हैं। 

⇒ x² - q - qx - r = 0

⇒ x² - qx - (q + r) = 0

मूलों का योग =  α + β = q

मूलों का गुणनफल = αβ = - (q + r) = -q - r

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: (1 + α)(1 + β) 

(1 + α)(1 + β) = 1 + α + β + αβ 

= 1 + q - q - r 

= 1 - r

संकल्पना:

डिग्री एक दिए गए बहुपद में चर का उच्चतम घांत होता है। 

गणना:

यहाँ,

\(\rm\frac {1}{x-3} = \frac {1}{x + 2} - \frac 1 2\\ \Rightarrow \rm\frac {1}{x-3}= \frac{2-x-2}{2 x+4} \\ \Rightarrow\frac{-x}{2 x+4}=\frac{1}{x-3} \\ \Rightarrow\frac{1}{x-3}+\frac{x}{2 x+4}=0 \\ \Rightarrow\frac{2 x+4+x^{2}-3 x}{(x-3)(2 x+4)}=0 \\ \Rightarrow x^{2}-x+4=0 \)

∴ डिग्री = 2

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

एक द्विघात समीकरण के मानक रूप ax2 + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।

एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग निम्न है: \({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा दिया गया है: \({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया हुआ: α, β समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं

मूलों का योग = α + β = -p

मूलों का गुणनफल = αβ = q

हम जानते हैं कि (a + b)² = a² + b² + 2ab

तो (α + β)² = α² + β² + 2αβ

⇒ (-p)² = α² + β² + 2q

∴ α² + β² = p² - 2q

अवधारणा:

यदि p(x) एक फलन है और (x - a), p(x) का गुणनखंड है तो, p(a) = 0

गणना:

x + 4, 3x² + kx + 8 का गुणनखंड है, इसलिए x = -4 इस समीकरन का हल होगा

⇒ 3(-4)2 + k(-4) + 8 = 0

⇒ 4k = 48 + 8

⇒ k = 14

संकल्पना:

माना कि द्विघाती समीकरण का मानक रूप, ax² + bx + c =0 लेते हैं।

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

एक द्विघाती समीकरण के मूलों का योग निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α }} + {\rm{β }} = - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} = - \frac{{{\rm{coefficient\;of\;x}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\) 

मूलों का गुणनफल निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:\({\rm{α β }} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{{\rm{constant\;term}}}}{{{\rm{coefficient\;of\;}}{{\rm{x}}^2}}}\)

गणना:

दिया गया है: ax² + bx + c = 0 के मूलों के बीच का अंतर 1 है। 

माना कि α और β उपरोक्त द्विघाती समीकरण के दो मूल हैं। 

मूलों का योग = α + β = \( - \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \)

मूलों का गुणनफल = α β = \(\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}\)

अब,

α - β = 1

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ (α - β)² = 1²

⇒ (α + β)² - 4α β = 1

⇒ \(\rm (\frac{-b}{a})^{2} - \frac{4c}{a} = 1\)

⇒ b² - 4ac = a²

⇒ b² = a² + 4ac

∴ b² = a(a + 4c)

दिए गए समीकरण से, a = 1, b = k, c = k

पुनरावृत्त मूल के लिए, b² – 4ac = 0

⇒ k² – 4k = 0

⇒ k(k – 4) = 0

∴ k = 4 या k = 0

इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

माना कि एक द्विघाती समीकरण: ax2 + bx + c = 0.

माना कि, α और β मूल हैं। 

• मूलों का योग = α + β = -b/a
• मूलों का गुणनफल = α × β = c/a

गणना:

दिया गया द्विघाती समीकरण: 3x2 + 57x - 5 = 0

माना कि α और β मूल हैं, तो 

α + β = -57/3,  αβ = -5/3

अब,\(\frac{α ^3+β ^3}{α ^{-3}+β ^{-3}}\)= \(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {1}{α ^{3}}+\frac{1}{β ^{3}}}\)

= \(\frac{α ^3+β ^3}{\frac {(α ^3+β ^3)}{α^3 β^3 }}\)

= (α β)³

= (-5/3)³

= -125/27

अतः विकल्प (4) सही है।  

संकल्पना:

मापांक मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

tan^-1 (- x) = - tan^-1 (x)

गणना:

दिया गया है, समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 है। 

⇒|x²| + 5|x| - 6 = 0 

⇒|x²| + 6|x| - |x| - 6 = 0

⇒|x| (|x|+ 6) - 1 (|x| + 6) = 0

⇒ (|x| + 6) (|x| - 1)= 0

⇒(|x| + 6) = 0  और (|x| - 1) = 0

⇒ |x| = - 6  और |x| = 1

लेकिन |x| = - 6 है, जो संभव नहीं है क्योंकि मापांक का मान ऋणात्मक नहीं होता है। 

⇒ |x| = 1

⇒ x = 1 और x = -1

दिया गया है, α और β समीकरण x² + 5|x| - 6 = 0 के मूल हैं। 

इसलिए, α = 1 और β = -1 

अब, माना कि, |tan-1 α - tan-1 β| = |tan-1 (1) - tan-1 (- 1)|

⇒ |tan-1 (1) + tan-1 (1)|

⇒ |2 tan-1 (1)|

⇒ 2.\(\rm \dfrac{\pi}{4}\)

∴ \(\rm \dfrac{\pi}{2}\)