प्रायिकता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

द्विपद बंटन का माध्य, $\mu =200$

द्विपद बंटन का प्रसरण, ${\sigma }^2=160$

एक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए,

$\mu =np\text{और}{\sigma }^2=np(1-p).$

माध्य से,

$np=200⟹p={\displaystyle \frac{200}{n}}.$

प्रसरण का उपयोग करने पर,

$np(1-p)=160⟹n(\frac{200}{n})(1-\frac{200}{n})=160⟹200(1-\frac{200}{n})=160.$

सरलीकरण करने पर,

$1-\frac{200}{n}=0.8⟹\frac{200}{n}=0.2⟹n={\displaystyle \frac{200}{0.2}}=1000.$

∴ परीक्षणों की संख्या $n=1000$ है।

गणना:

दिया गया,

प्रति शॉट लक्ष्य भेदने की प्रायिकता, $p=\frac{1}{5}$

दागे गए शॉट की संख्या, $n=7$

हिट की संख्या द्विपद बंटन का अनुसरण करती है:

$X\sim \mathrm{Binomial}(n=7,p=\frac{1}{5})$

शून्य लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

$P(X=0)={\left(\frac{4}{5}\right)}^7$

ठीक एक लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

$P(X=1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})\left(\frac{1}{5}\right){\left(\frac{4}{5}\right)}^6=\frac{7}{5}{\left(\frac{4}{5}\right)}^6$

कम से कम दो लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

$P(X\ge 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-\frac{11}{5}{\left(\frac{4}{5}\right)}^6$

∴ लक्ष्य पर कम से कम दो बार भेदने की प्रायिकता $1-{\displaystyle \frac{11}{5}}{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^6$ है।

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

दो अनभिनत छह-पक्षीय पासों को लुढ़काया जाता है।

प्रत्येक पासे के फलकों पर 1 से 6 तक की संख्याएँ हैं।

परिणामों की कुल संख्या:

चूँकि प्रत्येक पासे में 6 फलक हैं, प्रतिदर्श समष्टि का आकार है

$N=6\times 6=36$.

अनुकूल परिणाम (योग > 7):

हम सभी क्रमित युग्मों ((i, j)) को सूचीबद्ध करते हैं जहाँ (i + j > 7) है:

योग = 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 परिणाम

योग = 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 परिणाम

योग = 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 परिणाम

योग = 11: (5,6), (6,5) → 2 परिणाम

योग = 12: (6,6) → 1 परिणाम

कुल अनुकूल परिणाम = (5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15).

प्रायिकता गणना:

यह प्रायिकता कि योग 7 से निरंतर अधिक है

$P(\text{sum}>7)=\frac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

$P(A)=\frac{1}{3}$

$P(B)=\frac{1}{2}$

$P(A\cap B)=\frac{1}{4}$

हमें $P(A^C\cap B^C)$ की गणना करने की आवश्यकता है, जिसकी प्रायिकता न तो A और न ही B घटित होती है।

पूरक नियम का उपयोग करने पर:

$P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)$

अब, $(P(A\cup B)$ ज्ञात करने के लिए समावेश-अपवर्जन सूत्र लागू करें:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

सरल करने पर:

$P(A\cup B)=\frac{4}{12}+\frac{6}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

अब, $P(A^C\cap B^C)$ की गणना करने पर:

$P(A^C\cap B^C)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

• n = p + q + r + …वस्तुओं के एक संग्रह से प्रकार 'p के k वस्तुओं' को निकालने की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\mathrm{P}(\mathrm{k})={\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}{{}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{k}}}}$

• एक संयुक्त घटना [(A और B) या (B और C)] की प्रायिकता की गणना निम्न रूप में की गयी है:

  P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]

  ('और' का अर्थ '×' तथा 'या' का अर्थ '+' है।)

गणना:

कुल 7 लाल + 4 नीली = 11 गेंदे हैं।

1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{{}^7{\mathrm{C}}_1}{{}^{11}{\mathrm{C}}_1}}={\displaystyle \frac{7}{11}}$.

1 नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{{}^4{\mathrm{C}}_1}{{}^{11}{\mathrm{C}}_1}}={\displaystyle \frac{4}{11}}$.

(1 लाल) और (1 नीला) गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{7}{11}}\times {\displaystyle \frac{4}{11}}={\displaystyle \frac{28}{121}}$.

उसी प्रकार, (1 नीला) और (1 लाल ) गेंद निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{4}{11}}\times {\displaystyle \frac{7}{11}}={\displaystyle \frac{28}{121}}$

अलग-अलग रंगों वाली गेंदों को निकालने की प्रायिकता = ${\displaystyle \frac{28}{121}}$ + ${\displaystyle \frac{28}{121}}$ = ${\displaystyle \frac{56}{121}}$ 

संकल्पना:

स्वतंत्र घटनाएँ:

दो घटनाएं स्वतंत्र तब होती हैं यदि एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। 

यदि A और B दो स्वतंत्र घटनाएं हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B) है। 

गणना:

दिया गया है: P(B) = 0.4 और P(A ∪ B) = 0.6 

P(A ∪ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.6

⇒ P(A) + P(B) - P(A) × P(B) = 0.6               (∵ A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं।)

⇒ P(B) + P(A) [1 - P(B)] = 0.6

⇒ 0.4 + P(A) [1 - 0.4] = 0.6

⇒ P(A) × 0.6 = 0.2 

संकल्पना:

• दो घटनाओं, A और B, के लिए: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) है।
• यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

गणना:

उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करना क्योंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, हम लिख सकते हैं:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)

⇒ 0.7 = 0.4 + P - 0.4 × P

⇒ 0.6P =0.3

⇒ P = 0.5

धारणा:

1) संयोजन: दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं का चयन करना।

• दिए गए n वस्तुओं से r वस्तुओं के चयनों की संख्या को ${}^n{C}_r$ द्वारा निरूपित किया जाता है

• ${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}$

2) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = $\frac{\mathrm{N}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}}{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}}$

टिप्पणी: संयोजन का उपयोग करें यदि कोई समस्या वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या के लिए कहती है।

गणना:

दिया हुआ:

एक कमरे में आठ जोड़े हैं।

⇒ आठ जोड़े = 16 लोग

हमें 16 लोगों में से चार लोगों का चयन करना है

⇒ कुल संभव स्थितियां = ¹⁶C₄

अब हमें चार लोगों का चयन करना होगा, वे युगल हो सकते हैं

इसलिए हमें आठ जोड़ों में से दो जोड़ों का चयन करना होगा

⇒ अनुकूल स्थितियां = ⁸C₂

इसलिए आवश्यक प्रायिकता = $\frac{{}^8{\mathrm{c}}_2}{{}^{16}{\mathrm{c}}_4}$

संकल्पना:

यदि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और E अनुकूल घटना है, तो E की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

$\mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{E})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}$

गणना:

कुल फल = 3 + 3 = 6

कुल संभव तरीके = ⁶C₂ = 15 = n(S)

अनुकूल तरीके = ³C₁ × ³C₁ = 9 = n(E)

संकल्पना:

• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• A ⊂ B = उचित उपसमुच्चय: A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
• ϕ = रिक्त समुच्चय = {}

गणना:

दिया गया है: P(B/A) = 1

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1$

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

इसलिए A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।

∴ A ⊂ B

संकल्पना:

• n (n > r) के एक समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 
• विशिष्ट स्थिति की प्रायिकता = $\frac{\text{Number of ways for the case can be executed}}{\text{Total number of ways for selection}}$

गणना:

यदि यह ज्ञात है कि तीसरे उछाल में चित प्राप्त होता है, तो संभव स्थितियां:

(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H)

∴ कुल संभव स्थितियां = 4

कुल अनुकूल स्थितियां = 3 [(H, H, H), (H, T, H), (T, H, H)]

 इसलिए, आवश्यक प्रायिकता  P = $\frac{\text{Total favorable cases}}{\text{Total possible cases}}$

P = $\frac{3}{4}$

संकल्पना:

पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय = nr

जहां n पुनरावृत्ति की अनुमति होने पर r विभिन्न वस्तुओं में से चुनने के लिए वस्तुओं की संख्या है, और आदेश मायने रखता है।

अनुकूल स्थितियाँ   = कुल स्थितियाँ   - प्रतिकूल स्थितियाँ   

गणना​:

प्रश्न के अनुसार

चार पासे लुढ़काएं जाते हैं

अतः, परिणामों की कुल संभावित संख्या = 64

अब, कुल परिणाम जब कोई 2 दिखाई नहीं देता है = 54

अब, प्रयुक्त अवधारणा से

अनुकूल स्थितियाँ  = 64 - 54

⇒ 1296 - 625

⇒  671

∴ संभावित परिणामों की संख्या जिसमें कम से कम एक पासा 2, 671 दर्शाता है।

अवधारणा:

P(A) = $\frac{n(A)}{n(S)}$

जहाँ n(A) = घटना A के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और n(S) = प्रतिदर्श समष्टि की गणन-संख्या।

हल:

यदि एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं:

S = {HHH, HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT, TTT}

एक या दो हेड (चित) आने की प्रायिकता:

A = {HHT, HTH, THH, THT, TTH, HTT}

$P(A)=\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

संकल्पना:

नमूना स्थान और कुछ नहीं बल्कि प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक समुच्चय है।

यदि हम एक सिक्का n बार उछालते हैं तो संभावित परिणाम या नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या = 2n तत्व

गणना:

जब सिक्का उछाला जाता है तो परिणामों की संख्या = 2 (हेड या टेल)

∴ जब एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है तो संभावित परिणाम = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2: 64