Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

सम्मिश्र संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या:

• सम्मिश्र संख्या का मापांक: एक सम्मिश्र संख्या z = x + i y के लिए, इसका मापांक |z| = √(x² + y²) है।
• एक रेखा का समीकरण: बिंदुपथ |z − a| = |z − b| बिंदुओं a और b को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है।
• दीर्घवृत्त: बिंदुपथ |z − z₁| + |z − z₂| = अचर, z₁ और z₂ पर नाभि वाले दीर्घवृत्त को निरूपित करता है यदि अचर नाभि के बीच की दूरी से अधिक है।
• सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज: तीन सम्मिश्र संख्याएँ z₁, z₂, z₃ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं यदि |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और किन्हीं दो भुजाओं के बीच का कोण ±π⁄3 है।
• ऊर्ध्वाधर रेखा: बिंदुपथ Re(z) = अचर, आर्गैंड समतल (सम्मिश्र समतल) में एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।

गणना:

दिया गया है,

(a) |z − 2| = |z + 2|

⇒ 2 और −2 को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक निरूपित करता है

⇒ यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा है

(b) समबाहु त्रिभुज की स्थिति:

⇒ |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁|

⇒ arg((z₂ − z₁)/(z₃ − z₂)) = ±π⁄3

⇒ सम्मिश्र समतल में समबाहु त्रिभुज के लिए मानक स्थिति

(c) |z − i| + |z + i| = 4

⇒ यह i और −i पर नाभि वाले दीर्घवृत्त की परिभाषा है ⇒ 4 > 2

⇒ केवल तभी संभव है जब 4 > नाभि के बीच की दूरी

⇒ दीर्घवृत्त निरूपित करता है

(d) Re(z) = अचर

∴ सही मिलान हैं:
(a) → (P) सरल रेखा
(b) → (Q) |z₁ − z₂| = |z₂ − z₃| = |z₃ − z₁| और अनुपात का कोण ±π⁄3 है
(c) → (R) दीर्घवृत्त जिसके नाभि ±i पर हैं
(d) → (S) ऊर्ध्वाधर रेखा

गणना:

\(\begin{array}{l} |z|^{3}+2 z^{2}+4 ̅{z}-8=0 \\ \frac{|z|^{3}+2 ̅{z}^{2}+4 z-8=0}{2\left(z^{2}-̅{z}^{2}\right)+4(̅{z}-z)=0} \\ (z-̅{z})[2(z+̅{z})-4]=0 \end{array}\)
∵ z = z̅ (संभव नहीं है) या 4x = 4 ⇒ x = 1 है। 
\(\begin{array}{l} z=1+\lambda i \Rightarrow|z|=\sqrt{1+\lambda^{2}} \Rightarrow \overline{\mathbf{z}}=1-\lambda i \\ \left(1+\lambda^{2}\right)^{3 / 2}+2\left(1-\lambda^{2}+2 \lambda i\right)+4(1-\lambda i)-8=0 \\ \Rightarrow\left(1+\lambda^{2}\right)^{3 / 2}+2\left(1-\lambda^{2}\right)=4 \\ \left(1+\lambda^{2}\right)^{3 / 2}=2\left(1+\lambda^{2}\right) \\ \left(1+\lambda^{2}\right)\left[\sqrt{1+\lambda^{2}}-2\right]=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}=3 \end{array}\)
अब
\(\begin{array}{l}\text{(P) } |z|^{2}=1+\lambda^{2}=1+3=4\\ \text{(Q) } |z-\bar{z}|^{2}=|1+\lambda i-(1-\lambda i)|^{2}=|2 \lambda i|^{2}=4 \lambda^{2}=12\\ \text{(R) } |z|^{2}+|z+\bar{z}|^{2}=4+|(1+\lambda i)+(1-\lambda i)|^{2}=4+4=8\\ \text{(S) } |z+1|^{2}=|1+\lambda i+1|^{2}=4+\lambda^{2}=4+3=7\\ \therefore \mathrm{P} \rightarrow \text{ (2), } \mathrm{Q} \rightarrow \text{ (1), } \mathrm{R} \rightarrow \text{ (3), } \mathrm{S} \rightarrow \text{ (5)}\end{array}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

(a + ib)² = a² - b² + 2abi

गणना:

दिया गया व्यंजक है: (3i - 2)2 + (5i + 6)2 = a + ib

⇒ (3i - 2)² = -5 - 12i

⇒ (5i + 6)² = 11 + 60i

⇒ (3i - 2)2 + (5i + 6)2 = (-5 - 12i) + (11 + 60i) = 6 + 48i

इसलिए a + ib = 6 + 48i, जहाँ a = 6 और b = 48

(a + b) का मान: 6 + 48 = 54

∴ सही उत्तर विकल्प 3) 54 है। 

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} + {\rm{\;i}}\sqrt 3 }}{2}\) और ω2 = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} - {\rm{\;i}}\sqrt 3 }}{2}\)

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z= x + iy = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

\(\rm = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

\(\rm= \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

\(\rm = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

\(\rm x + iy =\dfrac{10i}{5} = 0 + 2i\)

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} + {\rm{\;\;i}}\sqrt 3 }}{2}\) और ω² = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} - {\rm{\;\;i}}\sqrt 3 }}{2}\)

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω = \(\frac{{ - \;1\; + \;i\sqrt 3 }}{2}\) और ω2 = \(\frac{{ - \;1\; - \;i\sqrt 3 }}{2}\)

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या \(\rm \frac{1-i}{1+i}\) का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1^2-2i+i^2}{1^2-i^2}=\frac{-2i}{1+1}\) = -i

अब, \(\rm \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n}=-1\)

⇒ \(\rm (-i)^{n}=-1\)

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm 3i+4\over2-3i\) है। 

z = \(\rm {3i+4\over2-3i}\times{2+3i\over2+3i}\)

z = \(\rm 6i+8-9+12i\over2^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 18i-1\over13\)

z = \(\rm {-1\over13}+{18\over13}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over13}-{18\over13}i\)