Complex Numbers MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Numbers - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा​:

• इकाई का n^वाँ मूल: सम्मिश्र संख्याएँ जो αⁿ = 1 को संतुष्ट करती हैं, इकाई के n^वें मूल कहलाती हैं।
• n = 5 के लिए, इकाई के पाँचवें मूल हैं: 1, α, α², α³, α⁴, जहाँ α = e^2πi/5
• इकाई के सभी पाँच मूलों का योग हमेशा शून्य होता है: 1 + α + α² + α³ + α⁴ = 0
• हम सम्मिश्र समतल में इकाई वृत्त पर इन मूलों की सममिति का उपयोग इनसे जुड़े मापांक व्यंजकों का मूल्यांकन करने के लिए कर सकते हैं।

गणना:

दिया गया है कि α इकाई का पाँचवाँ मूल है,

⇒ α⁵ = 1

5 मूल हैं: 1, α, α², α³, α⁴

सभी मूलों का योग: 1 + α + α² + α³ + α⁴ = 0

⇒ 1 + α + α² + α³ = −α⁴

दोनों ओर मापांक लेते हैं:

|1 + α + α² + α³| = |−α⁴|

चूँकि α⁴ इकाई वृत्त पर स्थित है, |α⁴| = 1

⇒ |1 + α + α² + α³| = 1

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है: |1 + α + α² + α³| = 1

संप्रत्यय:

1. एक सम्मिश्र संख्या \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) का आयाम (या कोणांक) \( \text{amp}(z) = \theta \) द्वारा दिया जाता है।

2. \( z \) के संयुग्मी, जिसे \( \overline{z} \) द्वारा दर्शाया गया है, का आयाम \( \text{amp}(\overline{z}) = -\theta \) होता है, क्योंकि सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने पर आर्गैंड समतल में इसे वास्तविक अक्ष के परितः परावर्तित किया जाता है।

प्रयुक्त सूत्र:

\( \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = \theta + (-\theta) = 0 \).

गणना:

\( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)

\( \overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) \)

\( \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = \theta + (-\theta) = 0 \)

निष्कर्ष:

\( \therefore \text{amp}(z) + \text{amp}(\overline{z}) = 0 \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒ \(\left( \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \right)^3 \)

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒ \(\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \times \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i} \)

⇒ \(\frac{(\sqrt{3} + i)^2}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} \)

\(\frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \)

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

\(r = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \)

कोणांक θ है:

\(\theta = \tan^{-1}\left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

\(1 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

\(\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^3 = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1 \)

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम \(\boxed{-1} \) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

दूरियों के वर्गों के अंतर द्वारा परिभाषित बिंदुओं का बिंदुपथ:

• जटिल ज्यामिति में, एक बिंदु \( z \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 \) अचर है, एक ज्यामितीय बिंदुपथ को निरूपित करता है।
• यदि अंतर अचर है, तो यह एक सरल रेखा को निरूपित कर सकता है।
• समीकरण \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = c \) कई मामलों में रैखिक रूप में सरलीकृत होता है।
• यहाँ, यह एक सरल रेखा समीकरण में सरलीकृत होता है।

जटिल संख्या:

• परिभाषा: एक जटिल संख्या \( z = x + iy \) के रूप की होती है, जहाँ \( x \) वास्तविक भाग है और \( y \) काल्पनिक भाग है।
• SI इकाई: विमाहीन
• मापांक: \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

जटिल समतल में दूरी:

• परिभाषा: दो जटिल संख्याओं \( z_1 \) और \( z_2 \) के बीच की दूरी \( |z_1 - z_2| \) है।
• सूत्र: \( |z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \)

गणना:

दिया गया है,

\( z_1 = 2 + 3i,\quad z_2 = 3 + 4i \)

\( z \in \mathbb{C} \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2 \)

मान लीजिये \( z = x + iy \)

⇒ \( |z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \)

⇒ \( |z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 \)

⇒ \( |z_1 - z_2|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \)

⇒ \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - (x - 3)^2 - (y - 4)^2 = 2 \)

⇒ \( [x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9] - [x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16] = 2 \)

⇒ \( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - x^2 + 6x - 9 - y^2 + 8y - 16 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y - 12 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7 \)

⇒ रेखा का समीकरण: \( x + y = 7 \)

⇒ x-अंतःखंड = 7 (जब y = 0), y-अंतःखंड = 7 (जब x = 0)

∴ बिंदुपथ एक सरल रेखा को निरूपित करता है जिसके अंतःखंडों का योग = 14 है।

गणना:

\( \frac{2 + k^2 z}{k + \bar{z}} = kz \)

\( |z|^2 = 1 \)

\( k = 2 \)

बिंदु P = (2, 4), वृत्त का केंद्र C = (1, 2)

वृत्त का समीकरण: \( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 \)

बिंदु P से वृत्त तक अधिकतम दूरी दी जाती है:

\( OP + r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 2)^2} + 1 = \sqrt{1 + 4} + 1 = \sqrt{5} + 1 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

धारणा:

माना कि z = x + iy एक जटिल संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्मन = = x – iy

गणना:

माना कि z = (1 + i) ³

(a + b) ³ = a³ + b³ + 3a²b + 3ab² का उपयोग करके

⇒ z = 1³ + i³ + 3 × 1² × i + 3 × 1 × i²

= 1 – i + 3i – 3

= -2 + 2i

इसलिए, (1 + i) ³ का संयुग्मन -2 – 2i है

NOTE:

एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म समान वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के विपरीत चिन्ह वाला अन्य संयुग्म संख्या है। 

संकल्पना:

i² = -1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁴ⁿ = 1

गणना:

हमें (i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) का मान ज्ञात करना है

(i² + i⁴ + i⁶ +... + i²ⁿ) = (i² + i⁴) + (i⁶ + i⁸) + …. + (i^2n-2 + i²ⁿ)

= (-1 + 1) + (-1 + 1) + …. (-1 + 1)

= 0 + 0 + …. + 0

= 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता। 

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂ बराबर होते हैं यदि केवल x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होते हैं।

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: (1 + i) (x + iy) = 2 + 4i

⇒ x + iy + ix + i²y = 2 + 4i

⇒ (x – y) + i(x + y) = 2 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

x - y = 2         …. (1)

x + y = 4        …. (2)

समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 3

अब,

5x = 5 × 3 = 15

संकल्पना:

एकल के घनमूल 1, ω और ω2 हैं। 

यहाँ, ω = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} + {\rm{\;i}}\sqrt 3 }}{2}\) और ω2 = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} - {\rm{\;i}}\sqrt 3 }}{2}\)

एकल के घनमूल का गुण

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω3n = 1

गणना:

ω6 +  ω7 + ω⁵

= ω⁵ (ω + ω² + 1)

= ω⁵ × (1 + ω + ω2)

= ω5 × 0

= 0

संकल्पना:

z का मापांक = |z| = \(\rm \sqrt {x^2+y^2} = \sqrt {Re (z)^2+Im (z)^2}\)

गणना:

माना कि \(\rm z= x + iy = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

\(\rm = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

\(\rm= \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1

\(\rm = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

\(\rm x + iy =\dfrac{10i}{5} = 0 + 2i\)

चूँकि हम जानते हैं कि यदि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, तो इसके मापांक को |z| = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

∴ |z| = \(\rm \sqrt{0^2+2^2} = 2\)

संकल्पना:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।
• z का संयुग्म = x – iy

गणना:

माना z = (i - i2)3

⇒ z = i3 (1 - i) 3  = - i (1 - i)³

संयुग्म की गणना के लिए, i को -i से बदलें।

⇒ z̅  =  -(- i) (1 - (- i))³

⇒ z̅  =  i(1 + i)³

(a + b) 3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 का उपयोग करना

⇒ z̅  =  i(1 + i3 +3 ×12 × i + 3 × i2 × 1 ) 

⇒ z̅  =  i(1 - i + 3i - 3) 

⇒ z̅  =  i(-2 + 2i)

⇒ z̅  = -2i + 2i2

⇒ z̅  = -2 - 2 i

इसलिए,  (i - i2)3 का संयुग्म -2 - 2i है

धारणा:

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} + {\rm{\;\;i}}\sqrt 3 }}{2}\) और ω² = \(\frac{{ - {\rm{\;}}1{\rm{\;}} - {\rm{\;\;i}}\sqrt 3 }}{2}\)

एकता के घन मूलों का गुण

• ω³ = 1
• 1 + ω + ω² = 0
• ω = 1 / ω ² और ω² = 1 / ω
• ω³ⁿ = 1

गणना:

हमें ω3n + ω3n+1 + ω3n+2 का मूल्य खोजना होगा

⇒ ω3n + ω3n+1 + ω³ⁿ⁺² 

= ω3n (1 + ω + ω²)           (∵ 1 + ω + ω2 = 0)

= 1 × 0 = 0

अवधारणा 

एकत्व के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ ω = \(\frac{{ - \;1\; + \;i\sqrt 3 }}{2}\) और ω2 = \(\frac{{ - \;1\; - \;i\sqrt 3 }}{2}\)

एकत्व के घन मूलों के गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना:

दिया गया है,

(x - 1)3 + 8 = 0

⇒ (x - 1)3 = (-2)3

⇒ (x - 1) = -2(1)1/3

(x - 1) = -2(1, ω,  ω2)

⇒ x = -1, 1 - 2ω, 1 - 2ω2 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या \(\rm \frac{1-i}{1+i}\) का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1^2-2i+i^2}{1^2-i^2}=\frac{-2i}{1+1}\) = -i

अब, \(\rm \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n}=-1\)

⇒ \(\rm (-i)^{n}=-1\)

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

माना कि z = x + iy सम्मिश्र संख्या है। 

• z का मापांक = \(\left| {\rm{z}} \right| = {\rm{}}\sqrt {{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2}} = {\rm{}}\sqrt {{\rm{Re}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2} + {\rm{Im\;}}{{\left( {\rm{z}} \right)}^2}}\)
• arg (z) = arg (x + iy) = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\)
• z का संयुग्म = z̅ = x – iy

गणना:

दी गयी सम्मिश्र संख्या z = \(\rm 3i+4\over2-3i\) है। 

z = \(\rm {3i+4\over2-3i}\times{2+3i\over2+3i}\)

z = \(\rm 6i+8-9+12i\over2^2-(3i)^2\)

z = \(\rm 18i-1\over13\)

z = \(\rm {-1\over13}+{18\over13}i\)

z का संयुग्म = (z̅) = \(\rm {-1\over13}-{18\over13}i\)