Relations and Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations and Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:

• व्यंजक संयोजन ⁿC_r और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
• x² के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ... माना जाता है।
• इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e^1+x / (1 + x)
• इस प्रसार में x² का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
• b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

गणना:

माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ...

⇒ f(x) = e^(1+x) / (1 + x)

RHS का प्रसार:

= (1 + x + x²/2! + ...) / (1 + x)

⇒ (1 + x + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + (1 + x)⁴/4! + ...)

इसलिए, RHS में x² का गुणांक है:

²C₂/3! + ³C₂/4! + ⁴C₂/5! + ... = a - 1

RHS में x² का गुणांक:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

e- e+ e/2! =a है,

अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e 

इसलिए, x² का गुणांक = e x e = e²

इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

a = e/2!

⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32

∴ 8b / a² = 32

संप्रत्यय:

• माना f(x) = 3 + 2x, जो f(x) = ax + b के रूप का एक रैखिक फलन है।
• माना g_n(x) वह फलन है जो f को स्वयं के साथ n बार संयोजित करके प्राप्त होता है: g_n(x) = f ∘ f ∘ ... ∘ f (n बार)(x)
• यदि g_n(x) सभी n ∈ ℕ के लिए एक स्थिर बिंदु (α, β) से गुजरता है, तो बिंदु समीकरण g_n(α) = β को सभी n के लिए संतुष्ट करता है।
• इसका अर्थ है कि बिंदु (α, β) सभी फलनों g_n का एक स्थिर बिंदु है।
• हम इसे स्थिर बिंदु के लिए हल करके ज्ञात करते हैं जो f(α) = α को संतुष्ट करता है, जो गारंटी देता है कि बिंदु पुनरावृत्त फलन संयोजन के तहत स्थिर रहता है।

गणना:

माना f(x) = 3 + 2x

हमें एक बिंदु (α, β) चाहिए जो इस प्रकार हो कि g_n(α) = β, सभी n ∈ ℕ के लिए

⇒ fⁿ(α) = β, सभी n के लिए

आइए कुछ मानों की गणना करें:

g₁(x) = f(x) = 3 + 2x

g₂(x) = f(f(x)) = f(3 + 2x) = 3 + 2(3 + 2x) = 3 + 6 + 4x = 9 + 4x

g₃(x) = f(g₂(x)) = f(9 + 4x) = 3 + 2(9 + 4x) = 3 + 18 + 8x = 21 + 8x

इसलिए पैटर्न है: g_n(x) = A_n + B_nx

आइए पुनरावृत्ति संबंधों को निकालें:

प्रारंभिक: A₁ = 3, B₁ = 2

⇒ A_n = 3 + 2A_n-1

⇒ B_n = 2B_n-1

B_n = 2ⁿ

आइए स्थिर बिंदु ज्ञात करें: f(α) = α

⇒ 3 + 2α = α

⇒ α = -3

माना β = g_n(α) = g_n(-3)

g_n(x) = A_n + B_nx = A_n - 3 × B_n

इसलिए β = A_n - 3 × B_n

हम सभी n के लिए यह स्थिरांक चाहते हैं

आइए छोटे मानों के लिए जाँच करें:

g₁(x) = 3 + 2x ⇒ g₁(-3) = 3 - 6 = -3

g₂(x) = 9 + 4x ⇒ g₂(-3) = 9 - 12 = -3

g₃(x) = 21 + 8x ⇒ g₃(-3) = 21 - 24 = -3

इसलिए, सदैव β = -3 है। 

∴ 2α + 3β = -3× 2 + (-3)× 3 = -15

संकल्पना:

दशमलव को द्विआधारी में परिवर्तित करने पर

परावर्तन चरण:

• संख्या को 2 से विभाजित कीजिए। 
• अगले पुनरावृत्ति के लिए पूर्णाक भागफल प्राप्त कीजिए। 
• द्विआधारी अंक के लिए शेषफल प्राप्त कीजिए। 
• भागफल के 0 के बराबर होने तक चरणों को दोहराये। 

गणना:

∴ (45)₁₀ = 101101

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(xy) = f(x + y) \) है, जहाँ x और y के सभी वास्तविक मान हैं, और f(5) = 10 है।

हमें ज्ञात करना है:

\( f(20) + f(-20) \)

दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है:

\( f(0 \cdot 5) = f(0 + 5) \) के लिए, हमें मिलता है:

\( f(0) = f(5) = 10 \)

\( f(0 \cdot 20) = f(0 + 20) \) के लिए, हमें मिलता है:

\( f(0) = f(20) = 10 \)

\( f(0 \cdot -20) = f(0 + (-20)) \) के लिए, हमें मिलता है:

\( f(0) = f(-20) = 10 \)

इस प्रकार,

\( f(20) + f(-20) = 10 + 10 = 20 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार है कि: x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए, \( f(xy) = f(x + y) \) और \( f(5) = 10 \) है। 

हमें \( f(0) \) का मान ज्ञात करना है।

दिए गए फलन समीकरण \( f(xy) = f(x + y) \) में \( x = 5 \) और \( y = 0 \) प्रतिस्थापित करने पर:

\( f(5 \cdot 0) = f(5 + 0) \)

\( f(0) = f(5) \)

चूँकि \( f(5) = 10 \), हम निष्कर्ष निकालते हैं:

\( f(0) = 10 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि \(\rm \frac {2\pi}{3}\) है। 

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

गणना:

दिया गया: f(x) = x2 + 4x + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = (-x)2 + 4(-x) + 4

= x2 - 4x + 4                       (∵ (-x)2 = x2)

⇒ f(-x) ≠ ± f(x)

इसलिए फलन न तो विषम है और न ही सम।

संकल्पना:

• व्युत्क्रम फलन:

माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f^-1 मौजूद है जो एक फलन f^-1: B → A है, जो एक तत्व के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को प्रतिचित्रित करता है। 

a ∈ A इस प्रकार है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

• व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f: A → B एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I f(x) = y रखिए

चरण - II y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए x और y को परस्पर परिवर्तित कीजिए। 

गणना:

दिया गया है: \(f(x) = \frac{1 + 2x}{x + 7}\)

माना कि y = f(x) = 2x + 1 / x + 7

⇒ xy + 7y = 2x + 1

⇒ 7y – 1 = 2x – xy

⇒ x(2 - y) = 7y – 1

⇒ x = (7y - 1) / (2 - y)

⇒ f^-1 (x) = \(\frac{7x - 1}{2 - x}\)

संकल्पना:

एक फलन की अवधि:

• यदि फलन एक स्थिर अवधि पर दोहराती है तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के रूप में दर्शाया गया है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है।
• sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है: 3sin x - 4sin3 x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 3sin x - 4sin3 x = sin 3x

 sin x की अवधि 2π है। 

अतः sin 3x की अवधि \(\rm \frac {2\pi}{3}\) है। 

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

लघुगणक का सूत्र:

यदि \(\rm lo{g_a}x = b \) तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{3}{(x^{4} - x^3)} - \log_{3} (x - 1) = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{(x^{4} - x^3)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)        (∵ \(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\))

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{x^3(x-1)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} x^3 = 3\)

\(\Rightarrow \rm 3\log_3 x = 3\)               (∵ \(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)) 

\(\Rightarrow \rm \log_3 x = 1 \\\therefore x=3\)

संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) = \(\rm \frac{x+1}{x-3}\) है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

⇒\(\rm x = \frac{1+3y}{y-1}\)

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संकल्पना:

• (x + y)(x - y) = x² - y²
• \(\ln { 1\over a} = \ln 1 - \ln a = 0 - \ln a = -\ln a\)

गणना:

दिया गया है: f(x) = ln (x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)),__(i)

(i) में x को (-x) से प्रतिस्थापित करने पर,

⇒  f(-x) = ln (-x + \(\sqrt{1+(\text{-x})^2}\)),

⇒  f(-x) = ln (-x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)),

ln फलन के अंदर (x + \(\sqrt{1+\text{x}^2}\)) से गुणा और भाग करने पर,

⇒  f(-x) =  \(\ln (-x + \sqrt{1+\text{x}^2}.{ x + \sqrt{1+\text{x}^2}\over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(\ln ({- x^2 + {1+\text{x}^2}\over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(\ln ({1 \over x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

⇒  f(-x) =  \(-\ln ({ x + \sqrt{1+\text{x}^2}})\),

(i) से,

⇒  f(-x) =  - f(x)\

⇒  f(-x) + f(x) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

• एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए, \({\rm{x}} - 2{\rm{\;}} \ne 0\) का अर्थ है कि \({\rm{x\;}} \ne 2\).

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए, \({\rm{x}} - 2 > 0\) का अर्थ है कि \({\rm{x}} > 2.\)

अतः दिए गए फलन का डोमेन \(\left( {2,{\rm{\;}}\infty } \right).\)है।