Relations and Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations and Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

दशमलव को द्विआधारी में परिवर्तित करने पर

परावर्तन चरण:

• संख्या को 2 से विभाजित कीजिए। 
• अगले पुनरावृत्ति के लिए पूर्णाक भागफल प्राप्त कीजिए। 
• द्विआधारी अंक के लिए शेषफल प्राप्त कीजिए। 
• भागफल के 0 के बराबर होने तक चरणों को दोहराये। 

गणना:

∴ (45)₁₀ = 101101

संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि $\frac{2\pi }{3}$ है। 

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

गणना:

दिया गया: f(x) = x2 + 4x + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = (-x)2 + 4(-x) + 4

= x2 - 4x + 4                       (∵ (-x)2 = x2)

⇒ f(-x) ≠ ± f(x)

इसलिए फलन न तो विषम है और न ही सम।

संकल्पना:

• व्युत्क्रम फलन:

माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f^-1 मौजूद है जो एक फलन f^-1: B → A है, जो एक तत्व के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को प्रतिचित्रित करता है। 

a ∈ A इस प्रकार है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

• व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f: A → B एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I f(x) = y रखिए

चरण - II y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए x और y को परस्पर परिवर्तित कीजिए। 

गणना:

दिया गया है: $f(x)=\frac{1+2x}{x+7}$

माना कि y = f(x) = 2x + 1 / x + 7

⇒ xy + 7y = 2x + 1

⇒ 7y – 1 = 2x – xy

⇒ x(2 - y) = 7y – 1

⇒ x = (7y - 1) / (2 - y)

⇒ f^-1 (x) = $\frac{7x-1}{2-x}$

संकल्पना:

एक फलन की अवधि:

• यदि फलन एक स्थिर अवधि पर दोहराती है तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के रूप में दर्शाया गया है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है।
• sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है: 3sin x - 4sin3 x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 3sin x - 4sin3 x = sin 3x

 sin x की अवधि 2π है। 

अतः sin 3x की अवधि $\frac{2\pi }{3}$ है। 

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

${\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{m}\mathrm{n}\right)={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

${\log }_{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}-{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

${\log }_{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}$

लघुगणक का सूत्र:

यदि $\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}\mathrm{x}=\mathrm{b}$ तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: ${\log }_3({\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3)-{\log }_3(\mathrm{x}-1)=3$

$\Rightarrow {\log }_3\left[\frac{({\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3)}{(\mathrm{x}-1)}\right]=3$        (∵ ${\log }_{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}-{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$)

$\Rightarrow {\log }_3\left[\frac{{\mathrm{x}}^3(\mathrm{x}-1)}{(\mathrm{x}-1)}\right]=3$

$\Rightarrow {\log }_3{\mathrm{x}}^3=3$

$\Rightarrow 3{\log }_3\mathrm{x}=3$               (∵ ${\log }_{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}$) 

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\log }_3\mathrm{x}=1 \\ \therefore \mathrm{x}=3 \end{gathered}$$

संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) = $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-3}$ है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

⇒$\mathrm{x}=\frac{1+3\mathrm{y}}{\mathrm{y}-1}$

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संकल्पना:

• (x + y)(x - y) = x² - y²
• $\ln \frac{1}{a}=\ln 1-\ln a=0-\ln a=-\ln a$

गणना:

दिया गया है: f(x) = ln (x + $\sqrt{1+{\text{x}}^2}$),__(i)

(i) में x को (-x) से प्रतिस्थापित करने पर,

⇒  f(-x) = ln (-x + $\sqrt{1+(\text{-x}{)}^2}$),

⇒  f(-x) = ln (-x + $\sqrt{1+{\text{x}}^2}$),

ln फलन के अंदर (x + $\sqrt{1+{\text{x}}^2}$) से गुणा और भाग करने पर,

⇒  f(-x) =  $\ln (-x+\sqrt{1+{\text{x}}^2}.\frac{x+\sqrt{1+{\text{x}}^2}}{x+\sqrt{1+{\text{x}}^2}})$,

⇒  f(-x) =  $\ln (\frac{-x^2+1+{\text{x}}^2}{x+\sqrt{1+{\text{x}}^2}})$,

⇒  f(-x) =  $\ln (\frac{1}{x+\sqrt{1+{\text{x}}^2}})$,

⇒  f(-x) =  $-\ln (x+\sqrt{1+{\text{x}}^2})$,

(i) से,

⇒  f(-x) =  - f(x)\

⇒  f(-x) + f(x) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

f(x) = x²

गणना:

f(x) = x²

⇒ y = x² ⇒ x = $\pm \sqrt{y}$

⇒ y < 0 x का कोई वास्तविक मान नहीं है

⇒ y ≥ 0

⇒ f की सीमा = [0, ∞] 

∴ f की सीमा धनात्मक संख्या होंगी। 

संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

• एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए, $\mathrm{x}-2\ne 0$ का अर्थ है कि $\mathrm{x}\ne 2$.

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए, $\mathrm{x}-2>0$ का अर्थ है कि $\mathrm{x}>2.$

अतः दिए गए फलन का डोमेन $\left(2,\mathrm{\infty }\right).$है।