Differential Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
• लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
• जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
• यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x^3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫_x^x²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) है और वे दोनों अवकलनीय हैं। ​

• गुणनफल नियम:$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• Division rule: $\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{v\times u^{\prime }-u\times v^{\prime }}{v^2}$

सूत्र:

$\frac{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

गणना:

$\frac{{\mathrm{d}}^2{\cot }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}$

= $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\times \frac{\mathrm{d}{\cot }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

= $\frac{d}{dx}(\frac{-1}{1+x^2})$

= $-\frac{d}{dx}(\frac{1}{1+x^2})$

⇒ $-[\frac{(1+x^2)\times 0-1\times 2x}{(1+x^2{)}^2}]$

⇒$-[\frac{-2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2{)}^2}]$

= $\frac{2\mathrm{x}}{(1+{\mathrm{x}}^2{)}^2}$

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

गणना:

दिया हुआ, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{x}}}$

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - $\left(\frac{-1}{{\mathrm{x}}^2}\right)$

= 1 + $\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 + $\frac{1}{(-1{)}^2}$ = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = $\frac{1}{2}$

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = $\frac{1}{2}$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f($\frac{1}{2}$) = ($\frac{1}{2}$)² - $\frac{1}{2}$ + 2 = $\frac{7}{4}$

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• गुणनफल नियम: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}\times \frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\times 1$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}\times [1+\log \mathrm{x}]$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\times [1+\log \mathrm{x}]$

x = 1 रखने पर 

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1^1\times [1+\log 1]$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1\times [1+0]$                (∵ log 1 = 0)

$\therefore \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1$

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2 - 2x = m

⇒$\frac{\mathrm{d}\mathrm{m}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$  = 0 - 2 × $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं।

• श्रृंखला नियम: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

गणना:

दिया हुआ:

y = sin x°

हम जानते हैं कि,

180° = π रेडियन

∴ 1° = $\frac{\pi }{180}$ रेडियन

अब, x° = $\frac{\pi x}{180}$ रेडियन

⇒ y = $\sin \left(\frac{\pi \cdot \mathrm{x}}{180}\right)$

x के संबंध में अवकलित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\pi }{180}\times \cos \left(\frac{\pi \cdot \mathrm{x}}{180}\right)$

गणना:

दिया है: x = t² , y = t³

⇒ $\frac{dx}{dt}=2t$  $\frac{dy}{dt}=3t^2$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3}{2}t$

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{dt}{dx}$

⇒ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2t}$  (∵ $\frac{dx}{dt}=2t$)

∴  $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3}{4t}$

सही उत्तर $\frac{3}{4t}$ है। 

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}}\mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{x}))\times {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{g}(\mathrm{x})$।

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ = e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}{+}^{...\mathrm{\infty }}}}}$।

∴ y = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}{+}^{...\mathrm{\infty }}}})}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}(\mathrm{x}+\mathrm{y})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}(1+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}})$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}+\mathrm{y}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

⇒ $(1-\mathrm{y}){\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}=\mathrm{y}$

⇒ ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{1-\mathrm{y}}}$

संकल्पना:

$\frac{\mathrm{d}(\log \mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}(\log \mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$