Differential Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differential Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ f'(x) = 0 या व्युत्पन्न अस्तित्व नहीं होता है।
• लघुगणक वाले समीकरणों के वास्तविक हलों की संख्या प्रतिस्थापन द्वारा द्विघात रूप में कम करके पाई जा सकती है।
• जब कोई रेखा किसी वक्र को स्पर्श करती है, तो इसका अर्थ है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है और उस बिंदु पर ढलान समान होते हैं।
• यदि कोई फलन चर सीमाओं के साथ निश्चित समाकल का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, तो लेबनिज नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न को नियंत्रित किया जाता है।

गणना:

(I) क्रांतिक बिंदुओं की संख्या

दिया गया है,

f(x) = x^3/5 x ≤ 1 के लिए

    = −(x − 2)³ x > 1 के लिए

⇒ f″(x) = 0, x = 2 के लिए और x = 0 पर अस्तित्व नहीं है। 

⇒ कुल क्रांतिक बिंदु = 3 (A, B, C)

∴ (I) → Q

(II) वास्तविक हलों की संख्या

दिया गया है, log₂²x + (x − 1) log₂ x = 6 − 2x

⇒ माना y = log₂ x

⇒ y² + (x − 1)y = 6 − 2x

⇒ y में एक द्विघात बनाएँ और वास्तविक x के लिए हल करने पर,

⇒ हल: x = 1/4 और x = 2

उनका गुणनफल = 1/2

∴ (II) → S

(III) c के मानों की संख्या ऐसी है कि रेखा 3x + 4y = c वक्र x⁴/2 = x + y को स्पर्श करती है

दिया गया है, dy/dx = −1 + 2x³

⇒ dy/dx = −3/4 (रेखा का ढलान) सेट करने पर,

⇒ −1 + 2x₁³ = −3/4 ⇒ x₁ = 1/2

⇒ वक्र से: x⁴/2 = x + y

⇒ (1/2)⁴/2 = 1/2 + y₁

⇒ 1/32 = 1/2 + y₁

⇒ y₁ = −15/32

⇒ c = 3x + 4y = 3/2 + 4(−15/32) = −3/8

∴ (III) → P

(IV) f(x) = ∫_x^x²(t − 1) dt , 1 ≤ x ≤ 2

⇒ f′(x) = 2x(x² − 1) − (x − 1) = 2x³ − 3x + 1

⇒ f′(x) (1, 2) में हमेशा धनात्मक है। 

⇒ इसलिए, फलन [1, 2] में वर्धमान है। 

⇒ अधिकतम मान x = 2 पर है। 

∴ (IV) → T

अंतिम मिलान: (I) → Q, (II) → S, (III) → P, (IV) → T है। 

व्याख्या:

दिया गया है:

f(0) = -1 और f'(0) = 1 मान लीजिये h(x) = f(2f(x) +2) और g(x) = (h(x))2

⇒ g(x) = (h(x))²

⇒ g'(x) = 2(h(x)).h'(x)

⇒ g'(0) = 2(h(0)).h'(0)

= 2f(2f (0) + 2).2

= 2f(0).2 = (-2).2 = -4

∴ विकल्प (a) सही है

व्याख्या:

मान लीजिये कि f: (-1, 1)→ R एक अवकलनीय फलन है जहाँ f(0) = -1 और f'(0) = 1

⇒ h(x) = f(2f(x) + 2)

⇒ h'(x) = f'(2f(x) + 2)2f'(x)

⇒ h'(0) = f'(2f(0) + 2).2f'(0)

= f'(-2 + 2).2(1)

= f'(0).2 = (1).2 = 2

∴ विकल्प (d) सही है।

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) है और वे दोनों अवकलनीय हैं। ​

• गुणनफल नियम:\(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• Division rule: \(\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{v\times u'-u \times v'}{v^2}\)

सूत्र:

\(\rm \frac{d \cot^{-1} x}{dx} = \frac{-1}{1+x^2}\)

गणना:

\(\rm \frac {d^2 \cot^ {-1}x}{dx^2}\)

= \(\rm \frac{d}{dx} \times \frac {d\cot^{-1} x}{dx}\)

= \(\frac{d}{dx}(\frac{-1}{1+x^2})\)

= \(-\:\frac{d}{dx}(\frac{1}{1+x^2})\)

⇒ \(-[\frac{(1+x^2)\times 0-1 \times2x}{(1+x^2)^2}]\)

⇒\(-[\rm \frac{-2x}{(1+x^2)^2}] \)

= \(\rm \frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

संकल्पना:

एक बिंदु (a, b) पर वक्र y = f(x) की स्पर्शरेखा का समीकरण (y - b) = m(x - a) द्वारा दिया जाता है, जहाँ m = y'(b) = f'(a) [बिंदु (a, b) पर अवकलज का मूल्य]।

गणना:

y = f(x) = x3

गणना:

दिया हुआ, \(\rm f(x) = x- \dfrac{1}{x}\)

x के संबंध में अवकलन करके हमें मिलता है

⇒ f'(x) = 1 - \(\rm \left(\frac {-1}{x^2}\right)\)

= 1 + \(\rm\frac {1}{x^2}\)

x = -1 रखने पर

⇒ f'(-1) = 1 + \(\rm\frac {1}{(-1)^2}\) = 1 + 1 = 2

∴ f'(-1) = 2

संकल्पना:

अवकलज का प्रयोग करके निम्निष्ट ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरण है। 

• फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए। 
• 0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट कीजिए और हल कीजिए। यह अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का मान प्रदान करेगा। 
• अब हमें दूसरा अवकलज ज्ञात करना है: यदि f"(x), 0 से बड़ा है, तो फलन को निम्निष्ट कहा जाता है। 

गणना:

f(x) = x2 - x + 2

f'(x) = 2x - 1

0 के बराबर अवकलज निर्दिष्ट करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

f'(x) = 2x - 1 = 0

⇒ x = \(\frac12\)

अब, f''(x) = 2 > 0

इसलिए, हमें x = \(\frac12\) पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है 

f(\(\frac12\)) = (\(\frac12\))² - \(\frac12\) + 2 = \(\frac74\)

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)
• गुणनफल नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g}}\left( {\rm{x}} \right) + {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{\;g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm \Rightarrow \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx} = x \times \frac{\log x}{dx} + \log x \times \frac{dx}{dx}\)

\(\rm \Rightarrow \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx} = x \times \frac{1}{x} + \log x \times1\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = y \times [1 + \log x]\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = x^x \times [1 + \log x]\)

x = 1 रखने पर 

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1^1 \times [1 + \log 1]\)

\(\rm \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1 \times [1 + 0]\)                (∵ log 1 = 0)

\(\rm \therefore \frac{dy}{dx} = 1 \)

संकल्पना:

'x' के परिवर्तन की दर को \(\rm \frac {dx}{dt}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है कि, y = 2x – x² और \(\rm \frac {dx}{dt}\) = 3 इकाई/सेकेंड

तो, वक्र का ढलान, \(\rm \frac {dy}{dx}\) = 2 - 2x = m

⇒\(\rm \frac {dm}{dt}\)  = 0 - 2 × \(\rm \frac {dx}{dt}\)

= -2(3)

= प्रति सेकेंड -6 इकाई

इसलिए, जब x प्रति सेकेंड 3 इकाई की दर से बढ़ता है, तो वक्र का ढलान प्रति सेकेंड 6 इकाई की दर से बढ़ता है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं।

• श्रृंखला नियम: \(\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dx}}}}\left[ {{\rm{f}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right)} \right] = {\rm{\;f'}}\left( {{\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right){\rm{g'}}\left( {\rm{x}} \right)\)

गणना:

दिया हुआ:

y = sin x°

हम जानते हैं कि,

180° = π रेडियन

∴ 1° = \(\frac{\pi}{180}\) रेडियन

अब, x° = \(\frac{\pi x}{180}\) रेडियन

⇒ y = \(\sin \left( {\frac{{\rm{\pi \cdot x }}}{{180}}} \right){\rm{\;}}\)

x के संबंध में अवकलित करते हुए हम प्राप्त करते हैं

\(\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{\pi }}}{{180}}{\rm{\;}} \times \cos \left( {\frac{{\rm{\pi \cdot x}}}{{180}}} \right){\rm{\;}}\)

गणना:

दिया है: x = t² , y = t³

⇒ \(\frac{dx}{dt} =2t\)  \(\frac{dy}{dt}=3t^2\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t} =\frac{3}{2}t\)

पुनः x के सापेक्ष अवकलित करने पर :

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{dt}{dx}\)

⇒ \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2t}\)  (∵ \(\frac{dx}{dt} =2t\))

∴  \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3}{4t}\)

सही उत्तर \(\frac{3}{4t}\) है। 

संकल्पना:

अवकलजों का शृंखला नियम:

\(\rm \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\dfrac{d}{d\ g(x)}f(g(x))\times \dfrac{d}{dx}g(x)\)।

\(\rm \dfrac{d}{dx}e^x\) = e^x

गणना:

यह दिया गया है कि y = \(\rm e^{x+e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}}}\)।

∴ y = \(\rm e^{x+(e^{x+e^{x+^{\ ...\ \infty}}})}=e^{x+y}\)

x के संबंध में दोनों पक्षों को अवकलित करके और श्रृंखला नियम का उपयोग करना, हमें मिलता है:

\(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x+y}\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=e^{x+y}\dfrac{d}{dx}(x+y)\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y\left (1+\dfrac{dy}{dx} \right )\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=y+y\dfrac{dy}{dx}\)

⇒ \(\rm (1-y)\dfrac{dy}{dx}=y\)

⇒ \(\rm \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{1-y}\)

संकल्पना:

\(\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: \(\rm \frac{dy}{dx}\)

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\rm \frac{dy}{dx}=\rm \frac{d(\log x)}{dx} = \frac 1 x\)