Limit and Continuity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया फलन $f(x)=x^2+9$ है। 

कथन I: f(x) एक वर्धमान फलन है।

f(x) का अवकलज है:

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2+9)=2x$

जब $(x>0)$, $(f^{\prime }(x)>0)$ है, इसलिए (f(x) वर्धमान है।

जब (x < 0), f'(x) < 0 ) है, इसलिए f(x) ह्रासमान है।

(x = 0) पर, ( f'(x) = 0 ), जिसका अर्थ है कि फलन इस बिंदु पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।

इसलिए, f(x) पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह (x > 0) के लिए वर्धमान है और ( x < 0) के लिए ह्रासमान है।

कथन II: f(x) का स्थानीय उच्चिष्ठ x = 0 पर है। 

चूँकि फलन $f(x)=x^2+9$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है (क्योंकि x² का गुणांक धनात्मक है), इसका x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

निष्कर्ष:

- कथन I गलत है क्योंकि फलन पूर्णतः वर्धमान नहीं है। यह x > 0 के लिए वर्धमान है और x < 0 के लिए ह्रासमान है।

- कथन II गलत है क्योंकि फलन का x = 0 पर एक वैश्विक निम्निष्ठ है, स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(x)=\sqrt{x^2+9}-3$ और $g(x)=\sqrt{x^2+16}-4$.है,

हमें यह ज्ञात करना है:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$

अंश और हर दोनों को उनके संगत संयुग्मों से गुणा करने पर:

$\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{\sqrt{x^2+16}-4}\times \frac{\sqrt{x^2+9}+3}{\sqrt{x^2+9}+3}\times \frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+16}+4}$

अंश को सरल करने पर:

$(\sqrt{x^2+9}-3)(\sqrt{x^2+9}+3)=x^2$

हर को सरल करने पर:

$(\sqrt{x^2+16}-4)(\sqrt{x^2+16}+4)=x^2$

अब, व्यंजक बन जाता है:

$\frac{x^2}{x^2}\times \frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+9}+3}$

सरल करने पर और सीमा का मूल्यांकन करने पर:

$\frac{\sqrt{x^2+16}+4}{\sqrt{x^2+9}+3}$ यह बन जाता है:

$\frac{\sqrt{16}+4}{\sqrt{9}+3}=\frac{4+4}{3+3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार परिभाषित है:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& \text{if}|x|<1\\ x^2,& \text{if}|x|\ge 1\end{array}$

हमें यह ज्ञात करना है:

$\underset{x\to -1}{lim}{f}^{\prime }(x)$

x = -1 पर सांतत्य के लिए बाएँ पक्ष की सीमा की जाँच करें:

$\underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)=(-1{)}^2=1$

x = -1 पर सांतत्य के लिए दाएँ पक्ष की सीमा की जाँच करें:

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)=(-1{)}^3=-1$

चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा (L.H.S) और दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.S) बराबर नहीं हैं, इसलिए फलन x = -1 पर असांतत्य है।

x = 1 पर अवकलनीयता की जाँच करें:

x = 1 पर बाएँ-पक्ष के अवकलज $\text{L.H.D}=3$ है और x = 1 पर दाएँ-पक्ष के अवकलज $\text{R.H.D}=2$ है, जिसका अर्थ है कि फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

∴ फलन x = -1 पर न तो सांतत्य है और न ही x = 1 पर अवकलनीय है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार परिभाषित है:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3,& \text{if}|x|<1\\ x^2,& \text{if}|x|\ge 1\end{array}$

हमें यह ज्ञात करना है:

$\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)$

|x| < 1 के लिए, फलन f(x) = x³ है, इसलिए अवकलज है:

$f^{\prime }(x)=3x^2$

अब, x के 0 तक पहुँचने पर अवकलज की सीमा की गणना करें:

$\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{lim}3x^2=0$

∴  $\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)$ का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (c) है

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि $\underset{x\to a^{-}}{lim}$ f(x) = $\underset{x\to a^{+}}{lim}$f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = $\{\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{x}+1,\text{ if }\mathrm{x}\le \frac{\pi }{2}\\ \sin \mathrm{x}+\mathrm{n},\text{ if }\mathrm{x}>\frac{\pi }{2}\end{array}$

f($\frac{\pi }{2}$) = m × $\frac{\pi }{2}$ + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = $\underset{h\to 0}{lim}f(\frac{\pi }{2}-h)$

$=\underset{h\to 0}{lim}m\times (\frac{\pi }{2}-h)+1$

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m × $\frac{\pi }{2}$ + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = $\underset{h\to 0}{lim}f(\frac{\pi }{2}+h)$

$=\underset{h\to 0}{lim}\sin (\frac{\pi }{2}+h)+n$

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

 $=\sin \frac{\pi }{2}+n$

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x = $\frac{\pi }{2}$ पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m× $\frac{\pi }{2}$ + 1 = 1 + n

⇒ n = $\frac{m\pi }{2}$

सही उत्तर n = = $\frac{m\pi }{2}$ है। 

संकल्पना:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1}$

गणना:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}2\mathrm{x}\sin \left(\frac{4}{\mathrm{x}}\right)}$

= $2\times {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \infty }{lim}\frac{\sin \left(\frac{4}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}}$

= $2\times {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \infty }{lim}\frac{\sin \left(\frac{4}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\frac{4}{\mathrm{x}}\right)}\times 4}$

माना कि $\frac{4}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}$ है। 

यदि x → ∞ है, तो t → 0 है। 

= $8\times {\displaystyle \underset{\mathrm{t}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{t}}{\mathrm{t}}}$

= 8 × 1 

= 8 

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ
• $\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\sin x}{x}=1$

गणना:

$\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\left(1-\cos 2x\right)}^2}{x^4}$

= $\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\left(2{\sin }^{2}x\right)}^2}{x^4}$          (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= $\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{4{\sin }^{4}x}{x^4}$

= $\underset{x\to 0}{lim}4\times {\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^4$

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\left[\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right]=\frac{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0$

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+\mathrm{x})}{\mathrm{x}}=1$

गणना:

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+2\mathrm{x})}{\tan 2\mathrm{x}}$

$$\begin{gathered} =\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\frac{\log (1+2\mathrm{x})}{2\mathrm{x}}\times 2\mathrm{x}}{\frac{\tan 2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}\times 2\mathrm{x}} \\ =\frac{\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+2\mathrm{x})}{2\mathrm{x}}}{\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan 2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}} \end{gathered}$$

चूँकि हम जानते हैं कि $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$ और  $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+\mathrm{x})}{\mathrm{x}}=1$

इसलिए, $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan 2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}=1$ और $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+2\mathrm{x})}{2\mathrm{x}}=1$

अतः $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\log (1+2\mathrm{x})}{\tan 2\mathrm{x}}=\frac{1}{1}=1$

गणना:

हमें $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1+2{\mathrm{x}}^2}}$ का मान ज्ञात करना है। 

$\underset{\mathrm{x}\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1+2{\mathrm{x}}^2}}$       [रूप $\frac{\infty }{\infty }$]

यह सीमा $\frac{\infty }{\infty }$ रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

$\underset{\mathrm{x}\to \infty }{lim}\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1+2{\mathrm{x}}^2}}$

= $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+2}}$

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+2}}$

= $\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{\infty }}^2}+2}}=\frac{1}{\sqrt{0+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

गणना:

हमें $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^2}$ का मान ज्ञात करना है। 

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^2}$       [रूप $\frac{\infty }{\infty }$]

यह सीमा $\frac{\infty }{\infty }$ रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{x}}^2}{1+{\mathrm{x}}^2}$

= $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+1\right)}$

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}+1\right)}$

= $\frac{1}{\frac{1}{{\mathrm{\infty }}^2}+1}=\frac{1}{0+1}=1$

संकल्पना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

गणना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

|x| के दो मूल्य हो सकते हैं

|x | = - x जब x है ऋणात्मक हो

|x| = x जब x धनात्मक हो।

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}}}$ = ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=-1}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}}}$ = ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=1}$

यहाँ, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}}\ne {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}}}}$

इसलिए, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}}}$ मौजूद नहीं है ।

संकल्पना:

• माना कि f(x), x = c पर संतत है यदि 

बायां पक्ष = दायां पक्ष = f(c) का मान 

अर्थात्, $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{c}}^{-}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{c}}^{+}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{c}\right)$

गणना:

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)$            (a ϵ वास्तविक संख्याएँ)

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-2\mathrm{x}+6$

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6$

$={\mathrm{a}}^2-5\mathrm{a}+6$

∴ f(x) = f(a), इसलिए सभी स्थान पर संतत है

महत्वपूर्ण सुझाव:

द्विघात और बहुपद फलन उनके डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर संतत है। 

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$.

सूत्र:

• ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=1}$
• ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}}=1}$

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$  है।

साथ ही, ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ है, क्योंकि f(x), x > 0 और x < 0 के लिए समान है।

 $\therefore {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin 3\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}}=\mathrm{k}-2}$

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\sin 3\mathrm{x}}{3\mathrm{x}}}\times 3\mathrm{x}}{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{2\mathrm{x}}}\times 2\mathrm{x}}}=\mathrm{k}-2}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{2}}=\mathrm{k}-2$

$\Rightarrow \mathrm{k}={\displaystyle \frac{7}{2}}$.

संकल्पना:

• ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=1}$.
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\tan \mathrm{x}={\sec }^2\mathrm{x}$.
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\sec \mathrm{x}=\tan \mathrm{x}\sec \mathrm{x}$.
• ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})\times \mathrm{g}(\mathrm{x})]=\mathrm{f}(\mathrm{x}){\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x}){\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$.

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान ${\displaystyle \frac{0}{0}}$, $\pm {\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$, 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})}}}$ है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{c}}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{x})}}}$ के बराबर है। 

गणना:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2\tan \mathrm{x}}}={\displaystyle \frac{0}{0}}}$ एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2\tan \mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}[{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\tan \mathrm{x}}}]}$.

हम जानते हैं कि ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{\tan \mathrm{x}}}=1}$ है, लेकिन ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}}}$ फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

${\displaystyle {\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sec }^2\mathrm{x}-1}{3{\mathrm{x}}^2}}}}$, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sec }^2\mathrm{x}-1}{3{\mathrm{x}}^2}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2\sec \mathrm{x}(\sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x})}{6\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sec }^2\mathrm{x}\tan \mathrm{x}}{3\mathrm{x}}}}$, जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sec }^2\mathrm{x}\tan \mathrm{x}}{3\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\sec }^2\mathrm{x}{\sec }^2\mathrm{x}+\tan \mathrm{x}[2\sec \mathrm{x}(\sec \mathrm{x}\tan \mathrm{x})]}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$.

∴ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan \mathrm{x}-\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2\tan \mathrm{x}}}=1\times {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$.

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})}$ मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{a})}$.

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\{\begin{array}{cc}\frac{2\mathrm{x}-{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{x}};& \mathrm{x}\ne 0\\ \mathrm{K};& \mathrm{x}=0\end{array}$

चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2\mathrm{x}-{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{2\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{x}}}$

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2-\frac{{\sin }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}{2+\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}}$

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)}$

⇒ K = ${\displaystyle \frac{1}{3}}$