Mathematical Reasoning MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mathematical Reasoning - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

किसी कथन का प्रतिधनात्मक:

• किसी सप्रतिबंध कथन "यदि P, तो Q" का प्रतिधनात्मक "यदि Q नहीं, तो P नहीं" होता है।
• प्रतिधनात्मक हमेशा मूल कथन के साथ तार्किक रूप से समतुल्य होता है।
• प्रतिधनात्मक बनाने के लिए:
  • परिकल्पना और निष्कर्ष दोनों का निषेध करें
  • उनके क्रम को उलट दें
• मूल कथन: "यदि दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो वे समांतर होती हैं।"
• P: दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं
• Q: वे समांतर हैं
• प्रतिधनात्मक: यदि वे समांतर नहीं हैं, तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं

गणना:

दिया गया है,

मूल कथन: यदि दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो वे समांतर होती हैं

माना P: रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं

माना Q: रेखाएँ समांतर हैं

प्रतिधनात्मक = यदि Q नहीं, तो P नहीं

⇒ यदि रेखाएँ समांतर नहीं हैं, तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं

∴ प्रतिधनात्मक है: यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं

दिया गया है:

p: अमरूद एक फल है।

q: गुलाब एक फूल है।

तर्क में, एक संयोजन एक यौगिक कथन है जो तार्किक संयोजक और का उपयोग करके दो सरल कथनों को जोड़ता है।

तार्किक संयोजन तभी सत्य होता है जब दोनों व्यक्तिगत कथन सत्य हों।

दो कथनों p और q के लिए संयोजन को इस प्रकार दर्शाया जाता है

$p\wedge q$

तार्किक संयोजन $p\wedge q$ को इस प्रकार पढ़ा जाता है

"अमरूद एक फल है और गुलाब एक फूल है।"

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

14 से छोटे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक हैं: $(1,3,5,7,9,11,13)$

क्रमागत विषम युग्म हैं: $(1,3)(3,5)(5,7)(7,9)(9,11)(11,13)$

प्रत्येक युग्म का योग इस प्रकार परिकलित किया जाता है:

(1, 3) का योग = 1 + 3 = 4 (20 से अधिक नहीं है)

(3, 5) का योग = 3 + 5 = 8 (20 से अधिक नहीं है)

(5, 7) का योग = 5 + 7 = 12 (20 से अधिक नहीं है)

(7, 9) का योग = 7 + 9 = 16 (20 से अधिक नहीं है)

(9, 11) का योग = 9 + 11 = 20 (20 से अधिक नहीं है)

(11, 13) का योग = 11 + 13 = 24 (20 से अधिक है)

∴ सही उत्तर (11, 13) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय

किसी कथन का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, हम परिकल्पना और निष्कर्ष दोनों का निषेध करते हैं।

P → Q है, तब इसका प्रतिलोम ∼P → ∼Q है। 

व्याख्या

दिया गया है

'यदि दो रेखाएँ समांतर हैं तो उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है'

p = 'यदि दो रेखाएँ समांतर हैं'

q = 'उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है'

∼p = 'यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं'

∼q = 'उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु है'

कथन का प्रतिलोम 'यदि दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं, तो उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु है' है। 

∴ विकल्प 1 सही है। 

अवधारणा:

कथन p ⇒ q का प्रतिधनात्मक ~q ⇒ ~p है

जहाँ ~ निषेधन को दर्शाता है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया कथन,

‘यदि मुंबई महाराष्ट्र की राजधानी है, तो मुंबई भारत में है'

यदि p, तो q

जहाँ p: मुंबई महाराष्ट्र की राजधानी है

और q: मुंबई भारत में है

इसलिए, ~p: मुंबई महाराष्ट्र की राजधानी नहीं है

~q: मुंबई भारत में नहीं है

प्रतिधनात्मक कथन यदि ~q तो ~p

इसलिए प्रतिधनात्मक कथन होगा

'यदि मुंबई भारत में नहीं है, तो मुंबई महाराष्ट्र की राजधानी नहीं है.

∴ सही विकल्प (4) है।

दिया गया है:

ट्रेन 1 सुबह 5 बजे आगरा स्टेशन से रवाना है और सुबह 9 बजे दिल्ली पहुंचती है।

ट्रेन 2 सुबह 7 बजे दिल्ली स्टेशन से रवाना है और सुबह 10.30 बजे आगरा पहुंचती है।

प्रयुक्त सूत्र:

गति = दूरी/समय

यदि दो वस्तुएँ u और v गति से विपरीत दिशा में गति करती हैं, तो

सापेक्ष गति = u + v

गणना:

ट्रेन 1 की यात्रा का समय = 4 घंटे

ट्रेन 2 की यात्रा का समय 3.5 = $\frac{7}{2}$ घंटे है

हम जानते हैं, गति = दूरी/समय

माना आगरा और दिल्ली के बीच की दूरी 28 किमी है (4 और $\frac{7}{2}$ का लघुत्तम समापवर्त्य)

तो, पहली ट्रेन की गति = 28/4 = 7 किमी/घंटा

⇒ दूसरी ट्रेन की गति = 28/3.5 = 8 किमी/घंटा

सापेक्ष गति = ट्रेन 1 की गति + ट्रेन 2 की गति

⇒ सापेक्ष गति = 7 + 8 =  15 किमी/घंटा

ट्रेन 1, ट्रेन 2 शुरू होने से पहले 2 घंटे की यात्रा करती है।

शेष दूरी = 28 - 28/2 = 14 किमी

एक दूसरे को पार करने में लगा समय है

समय = 14/15 घंटे या 56 मिनट

लिया गया कुल समय = 2 घंटे + 56 मिनट

∴ वे सुबह 7:56 बजे एक दूसरे को पार करती हैं।

दिया गया है:

संख्या a और b का अनुपात = 3 : 7 है

गणना:

माना अनुपात x है

तो, संख्या a और b क्रमशः 3x और 7x हैं।

प्रश्नानुसार,

⇒ (3x + 9)/(7x + 9) = 9/17

⇒ 17 × (3x + 9) = 9 × (7x + 9)

⇒ 51x + 153 = 63x + 81 

⇒ 51x - 63x = 81 - 153 

⇒ -12x = -72

⇒ x = 6 

इसलिए, a = 3x = 3 × 6 = 18 

⇒ b = 7x = 7 × 6 = 42 

∴ संख्या a और b 18 और 42 हैं

वर्णन:

कथन: एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी होती है। 

कथन का निषेध: एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है। 

चूँकि हम जानते हैं कि प्राकृतिक संख्या 1 से प्रारंभ होती है। 

अतः यह असत्य है कि एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है। 

दिया गया है:

a α 1/b      ----(i)

b α 1/c      ----(ii)

गणना:

यदि b α 1/c

⇒ b = k/c 

यहाँ k एक स्थिरांक है

B का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है,

a α 1/(k/c)

⇒ a α c/k

⇒ a α c

∴ a, c के समानुपाती है

दिया गया है:

400 छात्रों ने मॉक टेस्ट दिया: 60% लड़कों और 80% लड़कियों ने परीक्षा में कट-ऑफ में स्थान प्राप्त किया।

परीक्षा में कट-ऑफ में स्थान प्राप्त करने वाले छात्रों का कुल प्रतिशत 65% है। 

गणना:

मान लेते हैं कि टेस्ट में b लड़के और g लड़कियाँ थीं।

प्रश्न के अनुसार:

कट-ऑफ में स्थान प्राप्त करने वाले छात्रों की कुल संख्या = (60/100)b + (80/100)g = 0.65 * 400

परीक्षा देने वाले छात्रों की कुल संख्या = b + g = 400

⇒ b = 400 - g

b के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(60/100) (400 - g) + (80/100) g = 0.65 * 400

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर:

240 - 0.6g + 0.8g = 260

0.2 g = 20

g = 100

अतः परीक्षा में 100 लड़कियाँ उपस्थित हुईं।

गणना:

सभी अवकलनीय फलन सदैव निरंतर होते हैं। लेकिन सभी निरंतर फलन अवकलनीय नहीं होते हैं। 

इसलिए, दिए गए कथन का खंडन कुछ निरंतर फलन अवकलनीय नहीं हैं, है। 

अतः विकल्प (3) सही है। 

 स्पष्टीकरण:

एक पुनरुक्ति एक सूत्र या कथन है जो हर संभव व्याख्या में सत्य है। इसलिए, सत्य तालिका के अनुसार (p ∨ q) → (p ∨ (~q)) कथन एक पुनरुक्ति नहीं है।

पुनरुक्ति एक कथन है जो हमेशा सत्य होता है, चाहे कुछ भी हो। यदि आप किसी कथन के लिए सत्य तालिका बनाते हैं और कथन के सभी स्तंभ मान सत्य (T) हैं, तो कथन एक पुनरुक्ति है क्योंकि यह हमेशा सत्य होता है!

प्रश्न से, दिया गया बूलियन व्यंजक है:

~(p ⇒ (~q))

उपरोक्त व्यंजक के लिए सत्यता सारणी नीचे दी गई है:

अब हमें निम्नलिखित विकल्पों पर विचार करना होगा:
विकल्प (a) p ∧ q:

विकल्प (b) q ⇒ ~p:

विकल्प (c) p ∨ q:

विकल्प (d) (~p) ⇒ q:

दिया गया है :

बेलन का व्यास = ऊंचाई/3

कुल लंबाई = 56 सेमी

सूत्र:

बेलन का सतह क्षेत्रफल= 2πrh

गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल= 2πr² 

गणना​:

मान लीजिए, व्यास 2x है 

बेलन की ऊंचाई = 6x

अर्धगोला किनारों सहित ठोस की कुल लंबाई = 56 सेमी

⇒ 6x + 2x = 56

⇒ x = 7 सेमी

बेलन का सतह क्षेत्रफल = 2π × 7 × 42

बेलन का सतह क्षेत्रफल = 1848 सेमी²

एक अर्धगोले का सतह क्षेत्रफल = 2π × 49 = 308 सेमी2

दो अर्धगोले का सतह क्षेत्रफल= 308 × 2 = 616 सेमी2

∴ ठोस का सतह क्षेत्रफल= 1848 + 616 = 2464 सेमी2

दिया गया है 

कुल छात्र = 35

राजन को नीचे से सातवें स्थान पर रखा गया है, वहीं करण को शीर्ष से नौवें स्थान पर रखा गया है। दिव्या को दोनों के बीच में रखा गया है।

प्रयोग की गयी अवधारणा 

नीचे से n स्थान = (कुल + 1 - n) शीर्ष से स्थान 

गणना

राजन = नीचे से 7वां = (35 + 1 - 7) शीर्ष से = शीर्ष से 29वां 

करण = शीर्ष से 9वां 

दिव्या को राजन और करण के बीच में रखा गया है।

करण और राजन के बीच छात्रों की संख्या = 35 - (9 + 7) = 35 - 16 = 19

इस प्रकार, करण से दिव्या का स्थान = $\frac{19+1}{2}=\frac{20}{2}=10$

ऊपर से दिव्या का स्थान = 9 + 10 = 19,

अतः, राजन और दिव्या के स्थान में अंतर  = 29 - 19 = 10 अर्थात कुल 10 सीटें