सर्वसमिकाएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

$x-\frac{1}{x}=10$

प्रयुक्त सूत्र:

$x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x}{)}^3+3(x-\frac{1}{x})$

गणना:

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}={10}^3+3\times 10=1000+30=1030$

∴ $x^3-\frac{1}{x^3}$ का मान 1030 है।

दिया गया है:

(2x - 5y)² + (5x + 2y)² + (2x + 5y)(2x - 5y) को सरल करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

गणना:

(2x - 5y)² + (5x + 2y)² + (2x + 5y)(2x - 5y)

⇒ 4x² - 20xy + 25y² + 25x² + 20xy + 4y² + 4x² - 25y²

⇒ 33x² + 4y²

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।

दिया गया:

a = (√2 - 1)1/3

प्रयुक्त सूत्र:

x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy (x - y)

गणना:

(a - $\frac{1}{a}$)3 + 3(a - $\frac{1}{a}$)

⇒ (a - $\frac{1}{a}$)3 + 3 × a × $\frac{1}{a}$ (a - $\frac{1}{a}$) (चूंकि a × $\frac{1}{a}$ = 1)

⇒ (a3 - $\frac{1}{a^3}$)

अब,

a = (√2 - 1) 1/3

तो, a³ = ((√2 - 1)1/3)³ = (√2 - 1)

$\frac{1}{a^3}$ = 1/ (√2 - 1) = 1/(√2 - 1) × (√2 + 1)/(√2 + 1)

⇒ $\frac{1}{a^3}$ = (√2 + 1) / {(√2)² - (1)²}

⇒ $\frac{1}{a^3}$ = (√2 + 1) / (2 - 1)

⇒ $\frac{1}{a^3}$ = (√2 + 1)

इसलिए,

(a3 - $\frac{1}{a^3}$ ) = {√2 - 1 - (√2 + 1)} = √2 - 1 - √2 - 1 = - 1 - 1 = - 2

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया:

(a + b)2

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

स्पष्टीकरण:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

⇒ (a + b) × (a + b)

⇒ a2 + ab + ba + b2

⇒ a2 + 2ab + b2

∴ (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

दिया गया है:

$({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2})=18$

प्रयुक्त सूत्र:

x - 1/x = √[(x+1/x)2 - 4]

$({\mathrm{x}}^3-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3})$= (x - 1/x)3 + 3 (x - 1/x)

गणना:

$({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2})=18$

⇒ ${(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}})}^2=18-2$

⇒ x - 1/x = 4

⇒ $({\mathrm{x}}^3-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3})$ = (x - 1/x)³ + 3 (x - 1/x)

⇒ 4³ + 3 × 4 =  64 + 12 = 76

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है। 

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x - (1/x) = (- 6)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x - (1/x) = P है, तो

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

यदि x + (1/x) = P है, तो

x3 + (1/x3) = (P3 - 3P)

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

गणना:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

इसलिए, x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2√10 × (-6) = -12√10

और x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

अब,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10)} + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × (√10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ सही उत्तर - 8886 है।  

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

$\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{10}+3}\\ =\frac{\sqrt{10}-3}{\left(\sqrt{10}+3\right)\left(\sqrt{10}-3\right)}\\ =\frac{\sqrt{10}-3}{{\left(\sqrt{10}\right)}^2-{\left(3\right)}^2}\end{array}$

⇒ 1/x = √10 - 3

$\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\sqrt{1}0+3-\sqrt{1}0+3=6$     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$\Rightarrow (x-\frac{1}{x}{)}^2=(6{)}^2$

$\Rightarrow x^2-2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=36$

$\Rightarrow x^2-2+\frac{1}{x^2}=36$

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=38$    -----(2)

$\therefore x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$

$\Rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1\right)$

$\Rightarrow x^3-\frac{1}{x^3}=6\times (38+1)$

$x^3-\frac{1}{x^3}=234$

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=a^3+3a$

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ $x-\frac{1}{x}=6$ 

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=6^3+3\times 6$

⇒ $x^3-\frac{1}{x^3}=234$

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

दिया गया है:

$a+\frac{1}{a}=7$

प्रयुक्त सूत्र:

(a + 1/a) = P ; तब

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

$a^5+\frac{1}{a^5}$ = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

गणना:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)3 - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a5 + (1/a5) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ सही उत्तर 15127 है। 

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

प्रयुक्त सूत्र:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

गणना:

a + b + c = 19

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

अब,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ सही उत्तर 104 है।

दिया गया है:

x2 + (1/x2) = 7

प्रयुक्त सूत्र:

x² + (1/x²) = P

तब x + (1/x) = √(P + 2)

और x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

गणना:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = -√(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5  {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ सही उत्तर - 3√5 है।

Mistake Point

कृपया ध्यान दीजिए कि

0 < x < 1

इसलिए,

1/x > 1

इसलिए,

x + 1/x > 1

और

x - 1/x < 0 (क्योंकि 0 < x < 1 और 1/x > 1 इसलिए x - 1/x < 0)

इसलिए,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0