द्विघात समीकरण MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

इसे क्रमशः हल करते हैं। एक धनात्मक संख्या R लेते हैं, जब इसे 8 से गुणा किया जाता है, तब यह 8R हो जाता है, वर्ग करने पर 64R² हो जाता है, जब इसे 4 से विभाजित किया जाता है, तब यह 16R² हो जाता है, और दिया हुआ है कि

√16R² = 4R = Q

दिया गया है:

समीकरण है (x + 1/x)² - 4 = 3/2(x - 1/x), x ≠ 0

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

(a - b)² = a² + b² - 2ab

हम जानते हैं कि (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

और (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2

इसके अलावा, (x + 1/x)² - (x - 1/x)² = 4

गणना:

माना, y = x - 1/x.

तब (x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 = y² + 4.

इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

(y² + 4) - 4 = 3/2 y

⇒ y² = 3/2 y

⇒ 2y² = 3y

⇒ 2y² - 3y = 0

⇒ y(2y - 3) = 0

यह y के लिए दो संभावित मान देता है:

1. y = 0

2. 2y - 3 = 0 ⇒ y = 3/2

स्थिति 1: x - 1/x = 0

⇒ (x² - 1)/x = 0

⇒ x² - 1 = 0

⇒ x² = 1

⇒ x = ± 1

इसलिए, मूल 1 और -1 हैं।

स्थिति 2: x - 1/x = 3/2

⇒ (x² - 1)/x = 3/2

⇒ 2(x² - 1) = 3x

⇒ 2x² - 2 = 3x

⇒ 2x² - 3x - 2 = 0

⇒ 2x² - 4x + x - 2 = 0

⇒ 2x(x - 2) + 1(x - 2) = 0

⇒ (2x + 1)(x - 2) = 0

⇒ x - 2 = 0 ⇒ x = 2

⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2

समीकरण के मूल 1, -1, 2 और -1/2 हैं।

अब, सभी मूलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए:

वर्गों का योग = (1)² + (-1)² + (2)² + (-1/2)²

= 1 + 1 + 4 + 1/4

= 6 + 1/4

= (24 + 1)/4

= 25/4 = \(6\frac{1}{4}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

ax2 + bx + c = 0 एक द्विघात समीकरण है

मूल c : 1 के अनुपात में हैं

अर्थात α : β = c : 1 या β : α = c : 1

प्रयुक्त अवधारणा:

मूलों का योग (α + β) = -b/a

मूलों का गुणनफल (α.β) = c/a

गणना:

दिया गया है α : β = c : 1     ----(i)

प्रश्न के अनुसार

(α + β) = -b/a      ----(ii)

(α.β) = c/a      ----(iii)

समीकरण (i) को वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है  

α² + β² + 2α.β = \(\frac{b^2}{a^2}\)

उपरोक्त समीकरण को α.β से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है  

⇒ \(\frac{\alpha^2}{\alpha .\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha .\beta} + 2 = \frac{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{c}{a}}\)

⇒ \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} + 2 = \frac{b^2}{ac}\)

अब, समीकरण (i) से

⇒ \(c + \frac{1}{c} + 2 = \frac{b^2}{ac}\) 

उपरोक्त समीकरण को दोनों ओर से ac से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है  

⇒ ac² + a + 2ac = b²

⇒ a (c2 + 1 + 2c) = b2

⇒ a (c + 1)2 = b2

∴ सही संबंध b2 = a(c + 1)2 है। 

दिया गया है:

104, 78 और 260 विभाजक हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

लघुतम समापवर्त्य (LCM) और द्विघात समीकरण;

हल:

104, 78 और 260 से विभाज्य सबसे छोटी संख्या, इन्हीं तीन संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य होगी।

104, 78 और 260 का लघुत्तम समापवर्त्य 1560 है।

इसलिए, P = 1560

प्रश्नानुसार, P + 40 = Q2 है, इस समीकरण में P को प्रतिस्थापित करने पर 1560 + 40 = Q2 प्राप्त होता है, इसलिए Q2 = 1600 होगा।

Q के लिए हल करने पर, Q = 40 प्राप्त होता है (हम केवल धनात्मक मूल लेंगे, क्योंकि Q इस संदर्भ में वास्तविक संख्या को दर्शाता है)।

अतः Q का धनात्मक मान 40 है।

दिया गया है:

(1 + t2)x2 +2tcx + (c2 − a2) = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि किसी समीकरण के मूल बराबर हों, तो 

D = 0

गणना:

दिए गए समीकरण में,

a = (1 + t²)

b = 2tc

c = (c2 − a2)

⇒ b² - 4ac = 0

⇒ 4t²c² - 4(1 + t2)(c2 − a2) = 0

⇒ t²c² - t²c² + a² - c² + a²t² = 0

⇒ a²(1 + t²) = c² 

∴ a2(1 + t2) = c2 सत्य है।

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

दिया हुआ:

x² - x - 1 = 0

उपयोग किया गया सूत्र:

यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है

फिर मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,

⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)

⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ

⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ

⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1

अब, समीकरण है,

⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

दिया गया है:

2 + √5 और 2 - √5 दो मूल हैं

अवधारणा:: 

x2 - (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

गणना

माना दो मूल A और B हैं।

⇒ A = 2 + √5 और B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

तो समीकरण है,

∴ x2 - 4x - 1 = 0

द्विघात समीकरण, ax2 + bx + c = 0, के लिए

मूलों का योग = (-b/a) = 4/1

मूलों का गुणनफल = c/a = -1/1

तो, b = -4

अत: x के गुणांक का चिह्न ऋणात्मक है।  

Given our polynomial is (3x2 + ax + 4) and it is perfectly divisible by (x - 5), the remainder is (0) when (x = 5).

So, let's substitute (x = 5) into (3x2 + ax + 4) and set it equal to (0):

[3(5)2 + a(5) + 4 = 0]

[3(25) + 5a + 4 = 0]

[75 + 5a + 4 = 0]

[79 + 5a = 0]

Solving for (a), we get:

[5a = -79]

[a = -79/5

[a = -15.8]

∴ The value of (a) is (-15.8).

Alternate Method 3x² + ax + 4, x – 5 से पूर्णतया विभाज्य है,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

दिया गया है:

5x2 + 2x + Q = 2

दिया गया है α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

अवधारणा:

द्विघात समीकरण के मानक रूप ax² + bx + c =0 पर विचार करते हैं।

माना उपरोक्त द्विघात समीकरण के दो मूल α और β हैं।

मूलों का योग निम्न प्रकार दिया जाता है:

α + β = − b/a = −(x का गुणांक/x² का गुणांक)

मूलों का गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है:

α × β = c/a = (नियतांक पद/x² का गुणांक)

गणना:

माना 5x² + 2x + Q -2 = 0 के मूल α और β हैं।

प्रश्न के अनुसार,

α = 1/β 

⇒  α.β = 1 

सामान्य समीकरण से तुलना करें ax² + bx + c = 0

a = 5, b = 2, c = Q - 2

⇒  (Q – 2)/5 = 1

⇒ Q - 2 = 5

⇒ Q = 7

अतः, Q² = 72 = 49.

दिया गया:
6x2 + 3x2 – 5x + 1

गणना:

6x2 + 3x2 – 5x + 1

⇒ 9x2 – 5x + 1

माना a और b समीकरण के दो मूल हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि,

मूलों का योगफल (α + β) = (-b)/a = 5/9

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 1/9

प्रश्नानुसार,

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

⇒ [5/9] / [1/9] = 5

दिया गया है:

द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0 

प्रयुक्त सूत्र:

b² = 4ac

गणना:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx² – 2kx + 6 = 0

चूंकि मूल बराबर हैं

⇒ b² = 4ac

⇒ (-2k)² = 4 × k × 6

⇒ 4k² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k का मान 6 है।

दिया हुआ:

दिए गए समीकरण ax2 + x + b = 0 है

उपयोग की गई अवधारणा:

द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax2 + x + b = 0 है

मूल के लिए स्थिति,

समान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac = 0 

असमान और वास्तविक मूल के लिए, b2 – 4ac > 0 

काल्पनिक मूल के लिए, b2 – 4ac < 0 

गणना:

समान और वास्तविक जड़ों के लिए, b2 – 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

द्विघात समीकरण के सामान्य रूप की तुलना करने के बाद हम प्राप्त करेंगे

b = 1, a = a and c = b

Then, b2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ सही संबंध ab = 1/4 है

दिया गया:

x4 + y4 + z4 = 3(14 + 9.8xyz);

P = x2 + y2 - z2; Q = - x2 + y2 + z2; R = x2 - y2 + z2

y = z = 0 रखें

x4 = 42

⇒ P = x2

⇒ Q = - x2

⇒ R = x2

अब,

(P - Q + R)2 - (P2 + Q2 + R2)

⇒ (x2 - (-x2) + x2)2 - [(x2)2 + (-x2)2 + (x2)2]

⇒ (x2 + x2 + x2)2 - [x4 + x4 + x4]

⇒ (3x2)2 - (3x4)

⇒ 9x4 - 3x4

⇒ 6x4 = 6 × 42 = 252

∴ सही उत्तर 252 है।

दिया गया है:

समीकरण का एक मूल \(5 - 2\sqrt 5 \) है

संकल्पना: 

यदि द्विघात समीकरण का एक मूल \(\left( {a + \sqrt b }\right)\)के स्वरुप में है तब अन्य मूल संयुग्मी \(\left( {a - \sqrt b }\right)\) होंगे और इसके विपरीत।

द्विघात समीकरण: x² - (मूलों का योगफल) + (मूलों का गुणनफल) = 0

गणना: 

माना α = \(5 - 2\sqrt 5 \) और β = \(5 + 2\sqrt 5 \) 

मूलों का योगफल = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

मूलों का गुणनफल = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 }\right)\) = 25 - 20 = 5

अब, द्विघात समीकरण = x² - 10x + 5 = 0 

अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² - 10x + 5 = 0 है।