অভেদ MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Identities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

a = (√2 - 1)1/3

ব্যবহৃত সূত্র:

x3 - y3 = (x - y)³ + 3xy (x - y)

গণনা:

(a - \(1\over a\))³ + 3(a - \(1\over a\))

⇒ (a - \(1\over a\))3 + 3 × a × \(1\over a\) (a - \(1\over a\)) (যেহেতু a × \(1\over a\) = 1)

⇒ (a³ - \(1\over a^3\))

এখন,

a = (√2 - 1)1/3

সুতরাং, a³ = ((√2 - 1)1/3)³ = (√2 - 1)

\(1\over a^3\) = 1/(√2 - 1) = 1/(√2 - 1) × (√2 + 1)/(√2 + 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / {(√2)² - (1)²}

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1) / (2 - 1)

⇒ \(1\over a^3\) = (√2 + 1)

সুতরাং,

(a3 - \(1\over a^3\)) = {√2 - 1 - (√2 + 1)} = √2 - 1 - √2 - 1 = - 1 - 1 = - 2

∴ সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প (3).

প্রদত্ত:

\(\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=18 \)

ব্যবহৃত সূত্র:

x - 1/x = √[(x+1/x)2 - 4]

\(\rm \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)\)= (x - 1/x)3 + 3 (x - 1/x)

গণনা:

\(\rm \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=18\)

⇒ \(\rm \left(x-\frac{1}{x}\right)^2= 18 - 2\)

⇒ x - 1/x = 4

⇒ \(\rm \left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)\) = (x - 1/x)³ + 3 (x - 1/x)

⇒ 4³ + 3 x 4 = 64 + 12 = 76

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2

প্রদত্ত:

a + b + c = 6, (a 2 + b 2 + c 2 ) = 14 এবং \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

ব্যবহৃত ধারণা:

(a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2 (ab + bc + ca)

গণনা:

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 (ab + bc + ca)

⇒ 36 = 14 + 2 (ab + bc + ca)

⇒ (ab + bc + ca) = 11 -----(1)

আমাদের আছে, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

⇒ (ab + bc + ca)/abc = 11/6 ----(2)

সমীকরণ (1) এর মান সমীকরণ (2) এ রাখুন

⇒ 11/abc = 11/6

⇒ abc = 6।

সুতরাং, abc এর মান 6।

প্রদত্ত:

x2 + 1/x2 = 4

অনুসৃত যুক্তি:

(x2 + 1/x2 )² = x⁴ + 1/x⁴ + 2

গণনা:

(x2 + 1/x2 )2 = x4 + 1/x4 + 2

(4)2 = x4 + 1/x4 + 2

16 = x4 + 1/x4 + 2

x4 + 1/x4 = 14

∴ সঠিক উত্তর "বিকল্প 2".

প্রদত্ত:

(প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা - দ্বিতীয় স্বাভাবিক সংখ্যা)³ = 1728

প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা × দ্বিতীয় স্বাভাবিক সংখ্যা = 108

অনুসৃত সূত্র:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

গণনা:

ধরি, প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা = A

দ্বিতীয় স্বাভাবিক সংখ্যা = B

(A - B)3 = 1728

⇒ (A - B) = 3√1728 = 12

উভয় পক্ষকে বর্গ করার পর 

⇒ (A - B)² = 144

⇒ A² + B² - 2AB = 144

⇒ A2 + B2 = 144 + 216 = 360

এখন,

(A + B) = √(A2 + B2 + 2AB)

⇒ √(360 + 216) = √576 = 24

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

⇒ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB × (A + B)

⇒ (24)³ - 3 × 108 × 24

⇒ 13824 - 7776

⇒ 6048 

∴ সঠিক উত্তর হল 6048

প্রদত্ত:

x - 1/x = 3

অনুসৃত ধারণা:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

গণনা:

প্রদত্ত পরিচয় প্রয়োগ করে: 
  
⇒ x³ - (1/x)³ = (x - 1/x)³ + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x³ - (1/x)³ = (3)³ + 3(1)(3)

⇒ x³ - (1/x)³ = 27 + 9

⇒ x³ - (1/x)³ = 36

∴ x³ - (1/x)³ এর মান হল 36 

প্রদত্ত:

x - (1/x) = (- 6)

অনুসৃত​ সূত্র:

যদি x - (1/x) = P হয়, তাহলে

x + (1/x) = √(P² + 4) 

যদি x + (1/x) = P হয়, তাহলে

x3 + (1/x3) = (P³ - 3P)

x⁵ - (1/x⁵) = {x³ + (1/x³)} × {x² - 1/x²} + {x - (1/x)}

গণনা:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)2 + 4} = √40 = 2√10

x3 + (1/x3) =  (√40)³ - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

অতএব,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × x + (1/x) × x - (1/x)} + (- 6)

⇒ {74√10 × 2√10  × (-6)} - 6

⇒ 74√10 × { (- 12√10)} - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ নির্ণেয় উত্তর হল  - 8886

প্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

গণনা:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{√ 10{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {√ 10 + {\rm{\;}}3} \right)\left( {√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {√ 10 } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1)-এর উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

 Shortcut Trickপ্রদত্ত:

x = √10 + 3

অনুসৃত সূত্র: 

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

গণনা:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ নির্ণেয় মান 234

দেওয়া :

p – 1/p = √7

সূত্র:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

গণনা:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

Shortcut Trick x - 1/x = a, তারপর x³ - 1/x³ = a³ + 3a

এখানে, a = √7 ( মানটি প্রয়োজনীয় eqⁿ এ রাখুন)

⇒p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7

⇒p3 – 1/p3 = 10√7 ।

তাই; বিকল্প 4) সঠিক।

প্রদত্ত:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 এবং abc = 15

অনুসৃত ধারণা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = a + b + c × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

গণনা:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ সঠিক পছন্দ হল বিকল্প 1

প্রদত্ত:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

অনুসৃত সূত্র:

(a + 1/a) = P ; then

(a² + 1/a²) = P² - 2

(a3 + 1/a3) = P³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a² + 1/a²) × (a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

গণনা:

a + (1/a) = 7

⇒ (a2 + 1/a2) = (7)2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a3 + 1/a3) = (7)³ - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a⁵ + (1/a⁵) = (a2 + 1/a2) × (a3 + 1/a3) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

 ∴ সঠিক উত্তর হল 15127

⇒ x2/3 + x1/3 = 2

⇒ (x2/3 + x1/3)3 = 23

⇒ x2 + x + 3x(x2/3 + x1/3) = 8

⇒ x2 + 7x - 8 = 0

⇒ x2 + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 বা x = 1

যখন a + b + c = 0, তখন (a³ + b³ + c³) = 3abc,

প্রদত্ত:

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

অনুসৃত সূত্র:

a² + b² + c² - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

গণনা:

a + b + c = 19

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

⇒ (a + b + c)² = (19)²

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

অতএব,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ সঠিক উত্তর হল 104

প্রদত্ত:

x2 + (1/x2) = 7

অনুসৃত​ সূত্র:

x² + (1/x²) = P

তাহলে, x + (1/x) = √(P + 2)

এবং, x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

গণনা:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ সঠিক উত্তর হল - 3√5

Mistake Pointsমনে রাখবেন,

0 < x < 1

অতএব,

1/x > 1

সুতরাং,

x + 1/x > 1

এবং,

x - 1/x < 0 (কারণ, 0 < x < 1, এবং 1/x > 1, সুতরাং x - 1/x < 0)

সুতরাং,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0