Identities MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Identities - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

\(x = 3 + \sqrt{6}\) ഉം \(y = 3 - \sqrt{6}\) ഉം ആണെങ്കിൽ, x 2 + y 2 ന്റെ മൂല്യം ഇതായിരിക്കും:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x + y = (3 + √6) + (3 - √6)

x + y = 6

xy = \((3 + \sqrt{6})(3 - \sqrt{6})\)

xy = \(3^2 - (\sqrt{6})^2\)

xy = 9 - 6

xy = 3

\((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\)

\(6^2 = x^2 + y^2 + 2 \times 3\)

\(36 = x^2 + y^2 + 6\)

⇒ \(x^2 + y^2 = 30\)

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ (2) ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = 2 + √9 ഉം y = 2 - √9 ഉം ആണെങ്കിൽ

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

x ² + y ² = (x + y) ² - 2xy

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x = 2 + √9 = 2 + 3 = 5

y = 2 - √9 = 2 - 3 = -1

x + y = 5 - 1 = 4

xy = 5 × -1 = -5

x ² + y ² = (4) ² - 2(-5)

⇒ x ² + y ² = 16 + 10

⇒ x ² + y ² = 26

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 1 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = -1 ലെ x ² - 5 ന്റെ മൂല്യം ഇതാണ്:

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

x² - 5 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ x = -1 എന്നത് പകരം വയ്ക്കുക.

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x 2 - 5

⇒ (-1) ² - 5

⇒ 1 - 5

⇒ -4 

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ (4) ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമവാക്യം: \(a^2 + 9b^2 + c^2 - 6ab + 6bc - 2ac \)

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ ഒരു പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമായി  പ്രകടിപ്പിക്കാൻ:

\(a^2 + 9b^2 + c^2 - 6ab + 6bc - 2ac\)

= \(a^2 - 2a(3b) + 9b^2 - 2a(c) + 6bc + c^2 = (a - 3b - c)^2\)

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ പൂർണ്ണ വർഗ്ഗമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 3 ആണ്: \((a - 3b - c)^2\)

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x - 1/x = 3

ഉപയോഗിക്കുന്ന ആശയം:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3 x x x 1/x x (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)³ + 3 x (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ ന്റെ മൂല്യം 36 ആണ്.

Alternate  x - 1/x = a ആണെങ്കിൽ, x³ - 1/x³ = a³ + 3a

ഇവിടെ a = 3

x - 1/x³ = 3³ + 3 x 3

= 27 + 9

= 36

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = √10 + 3

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{{√ 10{\rm{\;}} + {\rm{\;}}3}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3}}{{\left( {√ 10 + {\rm{\;}}3} \right)\left( {√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3} \right)}}\\ = {\rm{\;}}\frac{{√ 10 {\rm{\;}} - {\rm{\;}}3 }}{{{{\left( {√ 10 } \right)}^2} - {{\left( {3} \right)}^2}}} \end{array}\)

⇒ 1/x = √10 - 3

\( \Rightarrow x - \;\frac{1}{x} = \;\sqrt 10 + 3\; -\sqrt10 + 3 = 6\)     ----(1)

(1) ന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും വർഗ്ഗമാക്കുമ്പോൾ, 

\( \Rightarrow (x - \;\frac{1}{x})^2 = \;(6\;)^2\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} - 2 + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 36\)

\(\Rightarrow {x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} = 38\)    -----(2)

\(∴ \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + x\frac{1}{x} + \;\frac{1}{{{x^2}}}\;} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = \left( {\;x - \;\frac{1}{x}\;} \right)\left( {\;{x^2} + \;\frac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)\)

\(\Rightarrow \;{x^3} - \;\frac{1}{{{x^3}}}\; = 6 \times (38 + 1)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ ആവശ്യമായ മൂല്യം 234 ആണ്.

 Shortcut Trickനൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x = √10 + 3

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം: 

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\) 

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ ആവശ്യമായ മൂല്യം 234 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x - (1/x) = (- 6)

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

x - (1/x) = P ആണെങ്കിൽ,

x + (1/x) = √(P2 + 4) 

x + (1/x) = P ആണെങ്കിൽ,

x 3 + (1/x 3 ) = (P ³ - 3P)

x ⁵ - (1/x ⁵ ) = {x ³ + (1/x ³ )} × {x ² - 1/x ² } + {x - (1/x)}

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6) 2 + 4} = √40 = 2√10

അതിനാൽ , x ² - 1/x ² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 2 √10 × (-6) = -12√10

കൂടാതെ x 3 + (1/x 3 ) = (√40) ³ - 3 √40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

ഇപ്പോൾ,

x 5 - (1/x 5 ) = {x 3 + (1/x3 )} × {x 2 - 1/x 2 } + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × (-12√10) } + (- 6)

⇒ - 74 × 12 × ( √10 × √10) - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ ശരിയായ ഉത്തരം - 8886 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

p – 1/p = √7

സൂത്രവാക്യം:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

എളുപ്പ വഴി 

x - 1/x = a ആണെങ്കിൽ  x3 - 1/x3 = a3 + 3a

ഇവിടെ, a = √5

അതിനാൽ,

p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7.

a + b + c = 0 ആണെങ്കിൽ, (a³ + b³ + c³) = 3abc,

തന്നിരിക്കുന്നത്:

(a – b) = 3, ab = 70

സമവാക്യം:

a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

⇒ a3 – b3 = 33 + 3 × 70 × 3

⇒ a3 – b3 = 27 + 630

∴ a3 – b3 = 657

എളുപ്പ വഴി 

 a = 10 ഉം b = 7 ഉം [പോലെ (a – b) = 10 – 7 = 3 ഉം ab = 10 × 7 = 70] എന്ന്  കരുതിയാൽ  

∴ a3 – b3 = 103 – 73 = 1000 – 343 = 657.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

x + 1/x = 1

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x + 1/x = 1

ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് -

⇒ x2 + 1/x2 + 2 = 1

ഇരുവശത്തും 4 ചേർത്ത ശേഷം

⇒ x2 + 1/x2 + 2 + 4 = 1 + 4

⇒ x2 + 1/x2 + 6 = 5

തന്നിരിക്കുന്നത്:

(a + b)2 = 36 ഉം ab = 8 ഉം

സമവാക്യം:

(a + b)2 - (a – b)2 = 4ab

കണക്കുകൂട്ടൽ:

(a + b)2 - (a – b)2 = 4ab

⇒ 36 – (a – b)2 = 4ab

⇒ (a – b)2 = 36 – 32

⇒ (a – b)2 = 4.

മാർഗം 2

(a + b)2 = 36

⇒ a2 + b2 + 2ab = 36

⇒ a2 + b2 + 2 × 8 = 36

⇒ a2 + b2 = 20      ---- (1)

ഇപ്പോൾ, (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab = 20 - 2 × 8 = 20 - 16 = 4.

എളുപ്പ വഴി

a = 4, b = 2 എന്നും എടുക്കുക, [അപ്പോൾ (a + b)2 = (4 + 2)2 = 62 = 36, ab = 4 × 2 = 8]

∴ (a – b)2 = (4 – 2)2 = 22 = 4.

∴ ശരിയായ ഉത്തരം 4 ആണ്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം: 

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

കണക്കുകൂട്ടൽ:

x - 1/x = 10

ഇരുവശത്തും വർഗ്ഗമാക്കുമ്പോൾ,

(x - 1/x)2 = 100

⇒ x2 + 1/x2 - 2 = 100

⇒ x2 + 1/x2 = 102

ഇപ്പോൾ, (x + 1/x)2 = x2 + 1/x2 + 2 

⇒ (x + 1/x)2 = 102 + 2

⇒ (x + 1/x) = √104

⇒ (x + 1/x) = 2√26

നൽകിയിരിക്കുന്നത്, a - 1/a = 1

\(\Rightarrow {\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^2} = {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} - 2 \times a \times \frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow {\left( 1 \right)^2} = {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} - 2\)