Identities MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Identities - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

a + b + c = 6, (a2 + b2 + c2) = 14 மற்றும் \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

கருத்து:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

கணக்கீடு:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

⇒ 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)

⇒ (ab + bc + ca) = 11 -----(1)

நமக்கு, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{11}{6}\)

⇒ (ab + bc + ca)/abc = 11/6 ----(2)

சமன்பாடு (1) இன் மதிப்பை சமன்பாடு (2)ல் பிரதியிடவும்

⇒ 11/abc = 11/6

⇒ abc = 6.

எனவே, abc இன் மதிப்பு 6.

கொடுக்கப்பட்டது:

x 2 + 1/x 2 = 4

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

(x 2 + 1/x 2 ) ² = x ⁴ + 1/x ⁴ + 2

கணக்கீடு:

(x 2 + 1/x 2 ) 2 = x 4 + 1/x 4 + 2

(4 ) 2 = x 4 + 1/x 4 + 2

16 = x 4 + 1/x 4 + 2

x 4 + 1/x 4 = 14

∴ விருப்பம் 2 சரியான பதில்.

விடை:

(1ஆவது இயல் எண்  - 2ஆவது இயல் எண்)3 = 1728

1ஆவது இயல் எண் × 2ஆவது இயல் எண் = 108

பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள சூத்திரம்:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

கணக்கீடு:

1ஆவது இயல் எண் = A

2ஆவது இயல் எண் = B

(A - B)3 = 1728

⇒ (A - B) = 3√1728 = 12

squaring both sides

⇒ (A - B)2 = 144

⇒ A2 + B2 - 2AB = 144

⇒ A2 + B2 = 144 + 216 = 360

தற்போது,

(A + B) = √(A2 + B2 + 2AB)

⇒ √(360 + 216) = √576 = 24

(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB × (A + B)

⇒ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB × (A + B)

⇒ (24)3 - 3 × 108 × 24

⇒ 13824 - 7776

⇒ 6048 

∴  6048 என்பதே சரியான விடை

கணக்கீடு:

a = 0 மற்றும் b = 1 ஆக இருக்கட்டும்

\(x=a+b+\frac{(a-b)^2}{4 a+4 b}\)

⇒ \(x=0+1+\frac{(0-1)^2}{0+4 \times1}\)

⇒ \(x=\frac{5}{4}\)

மீண்டும்,

\(y=\frac{a+b}{4}+\frac{a b}{a+b}\)

⇒ \(y=\frac{0+1}{4}+0\)

⇒ \(y=\frac{1}{4}\)

இப்போது,

(x - a)2 - (y - b)2 = \((\frac{5}{4}-0)^2 - (\frac{1}{4}-1)^2\)

⇒ \((\frac{25}{16})-(\frac{9}{16}) =\frac{25-9}{16} = 1\)

மேலும், b² = (1)² = 1

∴ தேவையான மதிப்பு b2.

கொடுக்கப்பட்டது:

x - 1/x = 3

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b) 

கணக்கீடு:

அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துதல்:  

⇒ x3 - (1/x)3 = (x - 1/x)3 + 3(x × 1/x)(x - 1/x)

⇒ x3 - (1/x)3 = (3)3 + 3(1)(3)

⇒ x3 - (1/x)3 = 27 + 9

⇒ x3 - (1/x)3 = 36

∴  x3 - (1/x)3 இன் மதிப்பு 36.

கொடுக்கப்பட்டது:

x = √10 + 3

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

\(\rm If ~x -\frac{1}{x} = a \)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = a^3 + 3a\)

கணக்கீடு:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒ \(x -\frac{1}{x} = 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 6^3 + 3\times 6\)

⇒ \(x^3 - \frac{1}{x^3} = 234\)

∴ தேவையான மதிப்பு 234

கொடுக்கப்பட்டது:

x - (1/x) = (- 6)

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

x - (1/x) = P என்றால்

x + (1/x) = √(P² + 4)

x + (1/x) = P என்றால்

x³ + (1/x³) = (P³ - 3P)

x⁵ - (1/x⁵) = {x³ + (1/x³)} × {x² - 1/x²} + {x - (1/x)}

கணக்கீடு:

x - (1/x) = (- 6)

x + (1/x) = √{(- 6)² + 4} = √40 = 2√10

x3 + (1/x3) =  (√40)3 - 3√40

⇒ 40√40 - 3√40 = 37 × 2√10 = 74√10

இப்போது,

x5 - (1/x5) = {x3 + (1/x3)} × {x2 - 1/x2} + {x - (1/x)}

⇒ {74√10 × x + (1/x) × x - (1/x)} + (- 6)

⇒ {74√10 × 2√10 × (-6)} - 6

⇒ 74√10 × { (- 12√10)} - 6

⇒ (- 8880) - 6 = - 8886

∴ சரியான பதில் - 8886.

கொடுக்கப்பட்டது:

p – 1/p = √7

சூத்திரம்: 

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3(p – 1/p)

கணக்கீடு:

P3 – 1/p3 = (p – 1/p)3 + 3 (p – 1/p)

⇒ p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 7√7 + 3√7

⇒ p3 – 1/p3 = 10√7

 Shortcut Trick

x - 1/x = a, பின்னர் x³ - 1/x³ = a³ + 3a

இங்கே, a = √7                        (மதிப்பை தேவையான eqⁿ இல் வைக்கவும்)

⇒p3 – 1/p3 = (√7)3 + 3 × √7 = 7√7 + 3√7

 ⇒p3 – 1/p3  = 10√7.

எனவே; விருப்பம் 4) சரியானது.

கொடுக்கப்பட்டது:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 மற்றும் abc = 15

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² -3(ab + bc + ca)]

கணக்கீடுகள்:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ சரியான தேர்வு விருப்பம் 1.

கொடுக்கப்பட்டது:

\(a + \frac{1}{a} = 7\)

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

(a + 1/a) = P ; பிறகு

(a ² + 1/a ² ) = P ² - 2

(a 3 + 1/a 3 ) = P ³ - 3P

\(a^5 + \frac{1}{a^5} \) = (a ² + 1/a ² ) × (a ³ + 1/a ³ ) - (a + 1/a)

கணக்கீடு:

a + (1/a) = 7

⇒ (a 2 + 1/a 2 ) = (7) 2 - 2 = 49 - 2 = 47

⇒ (a 3 + 1/a 3 ) = (7) ³ - (3 × 7) = 343 - 21 = 322

a ⁵ + (1/a ⁵ ) = (a 2 + 1/a 2 ) × (a 3 + 1/a3 ) - (a + 1/a)

⇒ 47 × 322 - 7

⇒ 15134 - 7 = 15127

  ∴ சரியான பதில் 15127.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

கணக்கீடு:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 or x = 1

a + b + c = 0 ஆக இருக்கும்போது (a³ + b³ + c³) = 3abc,

விடை :

(a + b + c) = 19

(a2 + b2 + c2) = 155

பயன்படுத்தப்பட்டுள்ள சூத்திரம்:

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

கணக்கீடு:

a + b + c = 19

⇒ (a + b + c)2 = (19)2

⇒ a2 + b2 + c2 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 155 + 2 × (ab + bc + ca) = 361

⇒ 2 × (ab + bc + ca) = (361 - 155)

⇒ (ab + bc + ca) = 206/2 = 103

எனவே ,

a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca) = (1/2) × [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

⇒ 2 × (155 - 103) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2

⇒ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 104

∴ எனவே சரியான விடை 104.

கொடுக்கப்பட்டது:

x2 + (1/x2) = 7

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

x2 + (1/x2) = P

பிறகு x + (1/x) = √(P + 2)

மற்றும் x - (1/x) = √(P - 2)

⇒ x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

கணக்கீடு:

x2 + (1/x2) = 7

⇒ x + (1/x) = √(7 + 2) = √9

⇒ x + (1/x) = 3

⇒ x - (1/x) = √(7 - 2)

⇒ x - (1/x) = - √5 {0 < x < 1}

x2 - (1/x2) = {x + (1/x)} × {x - (1/x)}

⇒ 3 × (- √5)

∴ சரியான பதில் - 3√5.

Mistake Points 
தயவுசெய்து குறிப்பிடவும்

0 < x < 1

அதனால்

1/x > 1

அதனால்

x + 1/x > 1

மற்றும்

x - 1/x < 0 (ஏனென்றால் 0 < x < 1 மற்றும் 1/x > 1 எனவே x - 1/x < 0)

அதனால்,

(x - 1/x)(x + 1/x) < 0.