సంభావ్యత MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Probability - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

1 నుండి 99 వరకున్న బేసి సంఖ్యల సమితిని \( A \) గా సూచిద్దాం: \[ A = \{1, 3, 5, \ldots, 99\} \]

\( A \) లోని మూలకాల సంఖ్యను కనుగొనండి

1 నుండి 99 వరకున్న బేసి సంఖ్యల అనుక్రమం అంకశ్రేఢి, దీనిలో మొదటి పదం \( a_1 = 1 \) మరియు సామాన్య భేదం \( d = 2 \). అనుక్రమంలోని \( n \)-వ పదం ఇలా ఇవ్వబడింది: \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \] \( a_n = 99 \): గా అనుకుంటే \[ 99 = 1 + (n - 1) \times 2 \\ 99 = 1 + 2n - 2 \\ 99 = 2n - 1 \\ 2n = 100 \\ n = 50 \] కాబట్టి, \( A \) సమితిలో \( 50 \) మూలకాలు ఉన్నాయి.

1 నుండి 99 వరకు ఉన్న పరిధిలోని పరిపూర్ణ వర్గాలను, అవి బేసి సంఖ్యలు కూడా అయ్యేలా కనుగొనాలి. ఈ పరిధిలోని పరిపూర్ణ వర్గాలు: \[ 1^2 = 1 \\ 3^2 = 9 \\ 5^2 = 25 \\ 7^2 = 49 \\ 9^2 = 81 \] కాబట్టి, \( A \) లోని పరిపూర్ణ వర్గాలు: \[ \{1, 9, 25, 49, 81\} \] \( A \) లో 5 పరిపూర్ణ వర్గాలు ఉన్నాయి.

\( A \) నుండి యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న మూలకం \( x \) ఒక పరిపూర్ణ వర్గం అయ్యే సంభావ్యత \( P \), పరిపూర్ణ వర్గాల సంఖ్యకు మరియు \( A \) లోని మొత్తం మూలకాల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తి: \[ P = \frac{\text{Number of perfect squares}}{\text{Total number of elements}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} \]

చివరి సమాధానం:

\( x \) ఒక పరిపూర్ణ వర్గం అయ్యే సంభావ్యత: \[ \boxed{\frac{1}{10}} \]

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. పిల్లల సంఖ్యను జాబితా చేయండి:
   ఇచ్చిన సమాచారం 15 ఎంచుకున్న కుటుంబాలలోని పిల్లల సంఖ్యను సూచిస్తుంది:
   \(1, 2, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 1\)
2. మొత్తం కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించండి:
   మొత్తం \(15\) కుటుంబాలు ఉన్నాయి.
3. అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలను గుర్తించండి:
   \(1\) లేదా \(2\) మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించాలి.
   • 1 మంది పిల్ల ఉన్న కుటుంబాలు: \(1, 1, 1, 1, 1\) → \(5\) కుటుంబాలు
   • 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలు: \(2, 2, 2, 2\) → \(4\) కుటుంబాలు
   అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న మొత్తం కుటుంబాలు: \(5 + 4 = 9\) కుటుంబాలు
4. సంభావ్యతను లెక్కించండి:
   సంభావ్యత \(P\) అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యకు మొత్తం సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంఖ్యకు ఉన్న నిష్పత్తి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.
   \[ P(\text{at most 2 children}) = \frac{\text{Number of families with at most 2 children}}{\text{Total number of families}} = \frac{9}{15} \]
   భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడం:
   \[ \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]

చివరి సమాధానం:

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యత:

\[ \boxed{\dfrac{3}{5}} \]

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

ఇస్పేటు కార్డుల మొత్తం సంఖ్య = 13

డైమండ్ కార్డుల మొత్తం సంఖ్య = 13

ఉపయోగించవలసిన సూత్రం:

P = అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య/మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 

గణన (లెక్కింపు):

మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య = ⁵²C₂ = \(52!\over{(52-2)!2!}\) = \(52 × 51\over 2\) = 1326

అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య = ¹³C₁ × 13C1

= 13 × 13 = 169

∴ కావలసిన సంభావ్యత = 169/1326 = 13/102

విసిరిన నాణేల సంఖ్య = 4

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఒక పాచిక 3 యొక్క గుణకాన్ని చూపుతుంది.

ఇతర పాచికలు సరి సంఖ్యను చూపుతాయి.

కాన్సెప్ట్:

రెండు పాచికలలో మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 36.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

P = అనుకూలమైన ఫలితాలు/మొత్తం ఫలితాలు

సాధన:

అవసరమైన 6 సందర్భాలు మాత్రమే ఉన్నాయి,

(3,2), (3,4) (3,6) (6,2) (6,4) (6,6)

∴ అవసరమైన సంభావ్యత = 6/36 = 1/6

∴ సంభావ్యత 1/6.

ఇవ్వబడింది:

మూడు నాణేలు ఒకేసారి విసిరివేయబడ్డాయి.

సూత్రం:

సంభావ్యత = అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య/ ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య.

గణన:

మూడు నాణేలను విసిరినప్పుడు ఫలితం ఈ కలయికలలో ఏదైనా ఒకటిగా ఉంటుంది. (TTT, THT, TTH, THH. HTT, HHT, HTH, HHH).

కాబట్టి, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 8.

ఇప్పుడు, సరిగ్గా రెండు బొమ్మలకు, అనుకూలమైన ఫలితం (THH, HHT, HTH).

అనుకూలమైన ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య 3 అని మనం చెప్పగలం.

మళ్ళీ, సూత్రం నుండి

సంభావ్యత = అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య/ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య

సంభావ్యత = 3/8

∴ ఖచ్చితంగా రెండు బొమ్మలను పొందే సంభావ్యత 3/8.

సాధన:

పాచికలలోని సంయుక్త  సంఖ్యల సంఖ్య (4 మరియు 6)

⇒ పాచికలలో సంయుక్త సంఖ్య సంభావ్యత = 2/6 = 1/3

⇒ పాచికలలోని ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య = 2, 3 మరియు 5

⇒ పాచికలలో ప్రధాన సంఖ్య సంభావ్యత = 3/6 = 1/2

∴మొదటి సారి సంయుక్త సంఖ్యను మరియు రెండవ సారి ప్రధాన సంఖ్యను పొందే సంభావ్యత = 1/2 × 1/3 = 1/6

ఇవ్వబడినది:

నిష్పాక్షిక పాచికల సంఖ్య = 2

కాన్సెప్ట్:

సంభావ్యత (ఘటన) = (అనుకూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య)

లెక్కింపు:

ఒక జత పాచికలు దొర్లించినప్పుడు వచ్చే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6 × 6 = 36

E = 5 కంటే ఎక్కువ మొత్తాన్ని పొందే ఘటన = {(1, 6), (1, 5), (2, 6),(2, 5), (2, 4), (3, 6),(3, 5), (3, 4), (3, 3),(4, 6), (4, 5),(4, 4), (4, 3), (4, 2),(5, 6), (5, 5),(5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1),(6, 6), (6, 5),(6, 4), (6, 3), (6, 2), (6,1)}

n(E) = 26

⇒ కావలసిన సంభావ్యత = 26/36 = 13/18

⇒ 5 కంటే ఎక్కువ మొత్తాన్ని పొందే సంభావ్యత = 13/18

ఇవ్వబడినది:

నిష్పాక్షిక పాచికల సంఖ్య = 2

కాన్సెప్ట్:

సంభావ్యత (ఘటన) = 1 - (ప్రతికూల పర్యవసానాల సంఖ్య / మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య)

5 కంటే ఎక్కువ మొత్తాన్ని పొందే సంభావ్యత = 1 - (5 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన మొత్తాన్ని పొందే సంభావ్యత)

లెక్కింపు:

ఒక జత పాచికలు దొర్లించినప్పుడు వచ్చే మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 6 × 6 = 36

F = 5 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన మొత్తాన్ని పొందే ఘటన = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),(1, 4), (2, 1), (2, 2),(2, 3), (3, 1), (3, 2),(4,1)}

n(F) = 10

⇒ కావలసిన సంభావ్యత = 1 - (10/36) = 1 - (5/18) = 13/18

∴ 5 కంటే ఎక్కువ మొత్తాన్ని పొందే సంభావ్యత = 13/18

అనుకూల పర్యవసానాలు ఎక్కువ మొత్తంలో (ఘటన (E) విషయంలో 26) ఉన్నప్పుడు, ప్రతికూల పర్యవసానాలను లెక్కించాలి (పూరక ఘటన సంభావ్యత అనగా 1 - అనుకూల ఘటన సంభావ్యత)

ఈ ప్రశ్నలో, అంకెల మొత్తం 5కు సమానమైన పర్యవసానాలను {(1, 4),(2, 3),(3, 2),(4,1)} అనుకూల పర్యవసానాలలో లెక్కించకూడదు.

రెండు పాచికలకు సంభావ్యత

ఇవ్వబడింది :

ఒక సంచిలో 2 ఎరుపు 3 ఆకుపచ్చ మరియు 2 నీలం బంతులు ఉన్నాయి, రెండు బంతులు యాదృచ్ఛికంగా డ్రా చేయబడతాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం :

సంభావ్యత = అనుకూలమైన ఫలితాలు/ ఫలితాల మొత్తం

గణన :

తీసిన బంతుల్లో ఏదీ నీలం రంగులో ఉండకూడదు, యాదృచ్ఛికంగా తీసిన రెండు బంతులు ఎరుపు మరియు ఆకుపచ్చ లేదా రెండూ అయినప్పుడు మాత్రమే ఇది జరుగుతుంది.

మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 2 + 3 + 2 = 7

⇒ 7లో 2 బంతులు తీయడానికి గల మార్గాల సంఖ్య = ⁷C₂ = (7 × 6) / (2 × 1) = 42/2 = 21

⇒ 2 నీలం బంతులు తీయడానికి గల మార్గాల సంఖ్య = ²C2= 1

కాబట్టి రెండు బంతుల సంభావ్యత నీలం = 1/21

మరియు ఒక బంతి నీలం రంగులో ఉండే సంభావ్యత = 5C1/7C2 = 10/21

అప్పుడు

⇒ బంతుల్లో ఏదీ నీలం రంగులో ఉండని సంభావ్యత = 1 - 1/21 - 10/21 = 10/21

∴ అవసరమైన సంభావ్యత = 10/21

ఇవ్వబడిన:

ఎర్ర బంతి సంభావ్యత = 1/3

తెల్ల బంతి సంభావ్యత = 1/2

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సంభావ్యత = (విజయవంతమైన ఫలితాల సంఖ్య/ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య)

P(E) = (nE)/(nS), ఇక్కడ nE = సంఘటనల సంఖ్య మరియు nS = నమూనా ఖాళీల సంఖ్య

లెక్కింపు:

ఆకుపచ్చ బంతిని పొందే సంభావ్యత = 1 - (1/3 + 1/2)

⇒ 1 - 5/6 = 1/6

ప్రశ్న ప్రకారం:

ఒక యూనిట్ 9 ఆకుపచ్చ బంతులకు అనుగుణంగా ఉంటే,

6 యూనిట్ = 6 × 9 = 54

మొత్తం సంఖ్య. బంతుల్లో = 54

∴ సంచిలోని మొత్తం బంతుల సంఖ్య 54.

సిద్ధాంతం:-

ప్రతి సబ్జెక్టులోనూ రెండు విధాలుగా పనితీరు ఉంటుంది, విద్యార్థి పాస్ అవుతాడు లేదా ఫెయిల్ అవుతాడు.

గణన:-

ఫలితం వచ్చే మొత్తం మార్గాలు = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ఫెయిల్ అయ్యే సందర్భాలు = 63 (అన్ని సబ్జెక్టులలోనూ పాస్ అయ్యే ఒక సందర్భం తప్ప)

ఇచ్చినది :

కార్డ్‌ల సంఖ్య = 52

ఉపయోగించిన సూత్రం:

nCr = n! / (n-r)! r!

గణన :

52 కార్డుల ప్యాక్ నుండి రెండు కార్డులను తీసినప్పుడు

⇒ 52C2  మార్గాలు

⇒ 52 x 51/2

⇒ 1326 మార్గాలు

ఒకసారి తీయడంలో 2 రాణి కనిపించే పరిస్థితి కనిపించవచ్చు

⇒  4C2 మార్గాలు

⇒ 6 మార్గాలు.

తీయబడిన రెండు కార్డుల సంభావ్యత రాణిలు

⇒ 6 / 1326

⇒ 1 / 221

కాబట్టి, సరైన సమాధానం "1/221".