गोला MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sphere - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

गोले का व्यास = 98 सेमी

त्रिज्या (r) = व्यास ÷ 2 = 98 ÷ 2 = 49 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × π × r²

जहाँ, r = त्रिज्या

गणना:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × π × r²

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × 22/7 × 49²

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × 22/7 × 2401

⇒ पृष्ठीय क्षेत्रफल = 30,184 सेमी2

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

एक गोले की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है।

प्रयुक्त अवधारणा: 

आयतन = \(\dfrac{4}{3}\)πr³

गणना: 

माना, वास्तविक त्रिज्या = r

⇒ नयी त्रिज्या = 2r

⇒ वास्तविक आयतन =  \(\dfrac{4}{3}\)πr³

⇒ नया आयतन = \(\dfrac{4}{3}\)π(2r)³

⇒ अभीष्ट अनुपात = \(\dfrac{{4\over3} \pi r^3 }{{4\over3} \pi (2r)^3}\) 

⇒ 1 : 8

∴ वास्तविक गोले के आयतन का नए गोले के आयतन से अनुपात 1 : 8 है।

दिया गया है:

खोखले गोले की आंतरिक त्रिज्या (R) = 20 सेमी

बर्तन की ऊँचाई (h) = 30 सेमी

पिछली गणना से, वृत्ताकार छिद्र की त्रिज्या (r) = 10\(\sqrt{3}\) सेमी

पिछली गणना से, गोले के केंद्र से वृत्ताकार छिद्र के तल तक लंबवत दूरी (d) = 10 सेमी

गणना:

गोले के केंद्र से वृत्ताकार छिद्र के तल तक लंबवत दूरी (d) कोण θ के लिए आसन्न भुजा के रूप में (यह केंद्र से उद्घाटन के केंद्र तक लंबवत रेखा खंड है).

वृत्ताकार छिद्र की आंतरिक त्रिज्या (r) कोण θ के लिए सम्मुख भुजा के रूप में.

हम त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग कर सकते हैं:

cos(θ) = आसन्न / कर्ण = d / R

cos(θ) = d / R = 10 सेमी / 20 सेमी = 1/2

वह कोण जिसका कोसाइन 1/2 है, 60° है।

⇒ θ = 60° = π/3

∴ गोले के केंद्र से होकर गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा और वृत्ताकार छिद्र के किनारे पर स्थित किसी बिंदु को मिलाने वाली रेखा द्वारा बनाया गया कोण 60° है।

दिया गया है:

खोखले गोले की आंतरिक त्रिज्या (R) = 20 सेमी

बर्तन की ऊँचाई (h) = 30 सेमी

गणना:

मान लीजिए 'r' बर्तन के वृत्ताकार छिद्र की आंतरिक त्रिज्या है।

गोले के केन्द्र से वृत्ताकार छिद्र के केन्द्र तक एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचिए। यह रेखाखंड वृत्ताकार छिद्र के तल पर लंबवत होगा।

मान लीजिए कि गोले का केंद्र O है। मान लीजिए कि वृत्ताकार छिद्र का केंद्र C' है।

गोले की त्रिज्या (R) O से गोले की सतह पर किसी भी बिंदु तक जाती है, जिसमें वृत्ताकार छिद्र का किनारा भी शामिल है।

निम्नलिखित द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करें:

गोले के केन्द्र से वृत्ताकार छिद्र के किनारे पर स्थित किसी भी बिन्दु तक, गोले की त्रिज्या (R) को कर्ण के रूप में लिया जाता है।

d = |R - h| = |20 - 30| = |-10| = 10 सेमी

अब, मानों को पाइथागोरस प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं:

R² = r² + d²

20² = r² + 10²

400 = r² + 100

r² = 400 - 100

r² = 300

r = \(\sqrt{300}\)

r = \(\sqrt{100 \times 3}\)

r = 10\(\sqrt{3}\) सेमी

इसलिए, बर्तन के वृत्ताकार छिद्र की आंतरिक त्रिज्या 10\(\sqrt{3}\) सेमी है।

दिया गया है:

गोले का आयतन (V) = 36π घन सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

V = (4/3)πr³

जहाँ, r = गोले की त्रिज्या

गणना:

36π = (4/3)πr³

⇒ r³ = (36π × 3) / 4π

⇒ r³ = 108 / 4

⇒ r³ = 27

⇒ r = ∛27

⇒ r = 3

इसलिए सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 \(cm^2\) 

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2 जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

गणना:

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2 = 1386 

⇒ 4 × (22/7) × r² = 1386  --- (\(\pi\) का मान \(\frac{22}{7}\) है)

⇒ r2 =   110.25 

⇒ r2 = \(\frac{11025}{100}\)  

⇒ r = \(\sqrt\frac{11025}{100}\) = \(\frac{105}{10}\) = 10.5 सेंटीमीटर 

∴ गोले की त्रिज्या 10.5 सेंटीमीटर है।

दिया गया है:

एक ठोस गोले का आयतन = 36π m3

छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π m2

प्रयुक्त सूत्र:

(1.) ठोस गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³

(2.) ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

गणना:

प्रश्न के अनुसार,

ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

इसलिए,

⇒ 4πr2 = 4π

⇒ r2 = 1

⇒ r = 1 m

एक छोटे गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr3 = \(\frac{4}{3}\)π m³

मान लीजिए, छोटी गोलाकार गेंदों की संख्या N है, जिन्हें बड़े ठोस गोले से पिघलाकर बनाया जा सकता है।

⇒ N = \(\frac{36\pi}{\frac{4}{3}\pi}\)

⇒ N = 27

इसलिए, अभीष्ट उत्तर '27' है।

Additional Information(1.) ठोस गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

(2.) ठोस गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

Shortcut Trickहम गोले के आयतन और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को विभाजित नहीं कर सकते हैं

प्रयुक्त अवधारणा:

• छोटी बूंदों के आयतन का योग = बड़ी बूंद का आयतन

• गोले का आयतन = 4/3 × π × r3

गणना:

छोटी बूंदों की कुल संख्या 0.1% of 1.728 × 10⁶ = 1728

मान लेते है कि बड़े बुलबुले का दायरा R मिमी है

⇒ 1728 × 4/3 × π × (2/2)3 = 4/3 × π × R3

⇒ R³ = 1728

⇒ R = 12 मिमी or 1.2 सेमी

व्यास  2 × 1.2 = 2.4 सेमी

∴ सही उत्तर है 2.4 सेमी

दिया है:

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 64πcm2  

प्रयुक्त सूत्र:

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

गोले का आयतन = \(\frac{4\pi r^3}{3}\) 

गणना:

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 64π

⇒ 4πr2 = 64π

⇒ r² = 16 

⇒ r = 4 सेंटीमीटर 

अब, आयतन = 4/3 \(\pi\)\(r^3\)  = 4/3 × \(\pi\)× 4 × 4 × 4 = \(256 \pi\over3\) \(cm^3\) 

∴ गोले का आयतन \(256 \pi\over3\) \(cm^3\) है।

दिया गया है:

गोले की त्रिज्या, r = 15√3 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (किनारे की लंबाई)2

घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई = (किनारे की लंबाई)√3

हल:

गोले का व्यास = घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई।

2 ×  = a√3 

a = 30 सेमी

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (किनारे की लंबाई)2 

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (30)2 = 5400 सेमी2

अतः गोले से काटे गए सबसे बड़े संभावित घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 5400 सेमी2 होगा।

दिया गया है:

गोलाकार गेंद का व्यास (D)= 3 सेमी 

पहली छोटी गेंद का व्यास (D1)= 1.5 सेमी 

दूसरी छोटी गेंद का व्यास (D2)= 2 सेमी 

प्रयुक्त अवधारणा:

छोटी गोलाकार गेंदों का कुल आयतन = बड़ी गोलाकार गेंद का आयतन

प्रयुक्त सूत्र:

गोलाकार गेंद का आयतन = (4/3) × π × R3

गणना:

माना, तीसरी छोटी गोलाकार गेंद का व्यास = D3

(पहली छोटी गोलाकार गेंद + दूसरी गोलाकार गेंद + तीसरी गोलाकार गेंद) का आयतन = बड़ी गोलाकार गेंद का आयतन

⇒ 4/3 π × (D1/2)3 +  4/3 π × (D2/2)3 + 4/3 π × (D3/2)3 = 4/3 π (D/2)3

⇒ 4/3 π × [(1.5/2)3 + (2/2)3 + (D3/2)3 ]= 4/3 π (3/2)3

⇒ [(3.375/8) + 1 + (D3/2)3 ] = 3.375

⇒ (D3/2)3 = 2.375 - (3.375/8)

⇒ (D3/2)3 = (19 - 3.375)/8

⇒ D3 = 3√15.625 = 2.5

∴ सही उत्तर 2.5 है।

दिया गया है:

गोले की त्रिज्या = 8 सेमी

बेलन की त्रिज्या = 4 सेमी

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है

प्रयुक्त सूत्र:

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r)

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

गणना:

प्रश्न के अनुसार

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल, गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है

⇒ 2πr(h + r)/4πr² = 1/2

⇒ 2 × π × 4(h + 4)/(4 × π × 8²) = 1/2

⇒ 8(h + 4)/256 = 1/2

⇒ h + 4/32 = 1/2

⇒ h + 4 = 16

⇒ h = (16 – 4)

⇒ h = 12 सेमी

∴ बेलन की ऊंचाई 12 सेमी है। 

दिया गया है: 125 छोटे गोले

प्रयुक्त अवधारणा: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

हल:

बड़े गोले का व्यास = 15 सेमी

बड़े गोले की त्रिज्या

⇒ 15 सेमी/ 2 = 7.5 सेमी

प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या = बड़े गोले की त्रिज्या / ∛125

⇒ 7.5 सेमी / 5 = 1.5 सेमी

प्रत्येक छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ 4π(1.5 सेमी)² = 4π(2.25 सेमी²) = 9π सेमी²

अतः, प्रत्येक छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 9π सेमी² है।

दिया गया:

आर = 10 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

आयतन = 4/3 x 22/7 x R x R x R

समाधान:

बड़े गोले का आयतन = 4/3 x 22/7 x 10³

हमारे पास समान त्रिज्या के 8 छोटे गोले हैं

छोटे गोले का आयतन = 4/3 x 22/7 x r3  

बड़े गोले का आयतन = 8 × छोटे गोले का आयतन

4/3 x 22/7 x 103   = 8 × 4/3 x 22/7 x r³

⇒ r³ = 1000/8

⇒ r = 5 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल (गोलाकार) = 4 x 22/7 x 5²

दिया गया है:

बड़े लड्डू की त्रिज्या, R = 810 सेमी

छोटे लड्डू की त्रिज्या, r = 90 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

गोले का आयतन = (4/3)πR³

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²

गणना:

बड़े लड्डू का आयतन = सभी छोटे लड्डुओं का कुल आयतन

⇒ (4/3)πR³ = n × (4/3)πr³

⇒ n = (R/r)³ (जहाँ n छोटे लड्डुओं की संख्या है)

सभी छोटे लड्डुओं का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = n × 4πr² = (R/r)³ × 4πr²

सभी छोटे लड्डुओं के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और बड़े लड्डू के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात:

[(R/r)³ × 4πr²] : 4πR² = R/r = 810 : 90 = 9 : 1 

∴ सही उत्तर 9 : 1 है।