शंकु के छिन्नक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Frustum of Cone - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

छिन्नक का ऊपरी व्यास (d₁) = 2k

छिन्नक का निचला व्यास (d₂) = 2.5k

छिन्नक की ऊँचाई (h) = k

प्रयुक्त सूत्र:

ऊपरी त्रिज्या (r₁) = d₁ / 2

निचली त्रिज्या (r₂) = d₂ / 2

छिन्नक का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\)

गणना:

त्रिज्याओं की गणना:

r₁ = 2k / 2 = k

r₂ = 2.5k / 2 = 1.25k

मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

V = \(\frac{1}{3}\pi (k) (k^2 + (1.25k)^2 + k \times 1.25k)\)

⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (k^2 + 1.5625k^2 + 1.25k^2)\)

⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (1k^2 + 1.5625k^2 + 1.25k^2)\)

⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (k^2(1 + 1.5625 + 1.25))\)

⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (3.8125k^2)\)

⇒ V = \(\frac{3.8125}{3}\pi k^3\)

3.8125 को भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए:

3.8125 = 38125 / 10000 = 1525 / 400 = 305 / 80 = 61 / 16

इसलिए, V = \(\frac{1}{3}\pi k \left(\frac{61}{16}k^2\right)\)

⇒ V = \(\frac{61}{48}\pi k^3\)

इसलिए, छिन्नक का आयतन \(\frac{61}{48}\pi k^3\) है।

दिया गया:

छिन्नक का शीर्ष व्यास (d ₁ ) = 2k

छिन्नक का निचला व्यास (d ₂ ) = 2.5k

छिन्नक की ऊंचाई (h) = k

प्रयुक्त सूत्र:

शीर्ष की त्रिज्या (r ₁ ) = d ₁ / 2

नीचे की त्रिज्या (r ₂ ) = d ₂ / 2

छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2}\)

छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शीर्ष आधार का क्षेत्रफल + नीचे के आधार का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\)

नीचे के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)

गणना:

त्रिज्या की गणना करते हैं:

r1 = 2k / 2 = k

r2 = 2.5k / 2 = 1.25k

त्रिज्या में अंतर की गणना करते हैं:

r2 - r1 = 1.25k - k = 0.25k

तिर्यक ऊँचाई (l) की गणना करते हैं:

l = \(\sqrt{k^2 + (0.25k)^2}\)

⇒ l = \(\sqrt{k^2 + 0.0625k^2}\)

⇒ l = \(\sqrt{1.0625k^2}\)

⇒ l = k\(\sqrt{1.0625}\)

अब, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\) = \(\pi (k)^2\) = \(\pi k^2\)

निचले आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\) = \(\pi (1.25k)^2\) = \(\pi (1.5625k^2)\) = 1.5625 \(\pi k^2\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)k\sqrt{1.0625}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)k\sqrt{1.0625}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + 1.5625 \(\pi k^2\) + 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (1 + 1.5625 + 2.25\sqrt{1.0625})\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.25 \times 1.030776...)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.319246...)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (4.881746...)\)

आइए परिशुद्धता के लिए sqrt(1.0625) के लिए भिन्न रूप का उपयोग करते हैं:

1.0625 = 10625 / 10000 = 425 / 400 = 85 / 80 = 17/16 (यहां गणना में त्रुटि है, 10625/10000 = 17/16 1.0625 के लिए था, लेकिन 0.25k (1/4)k है)

0.25k = (1/4)k

(0.25k)2 = (1/16)k2

l = \(\sqrt{k^2 + \frac{1}{16}k^2}\) = \(\sqrt{\frac{16k^2 + k^2}{16}}\) = \(\sqrt{\frac{17k^2}{16}}\) = \(\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(\frac{9}{4}k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)

⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\pi (\frac{5}{4}k)^2\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\frac{25\pi k^2}{16}\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(1 + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(\frac{16}{16} + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (16 + 25 + 9\sqrt{17})\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\)

\(\sqrt{17} \approx 4.123\) उपयोग करते हैं,

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9 \times 4.123)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 37.107)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (78.107)\)

⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 4.8816 \(\pi k^2\)

सटीक व्यंजक \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।

∴ छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।

दिया गया है:

आयतन = 3696 घन इकाई

ऊँचाई (h) = 18 इकाई

\(\pi = \frac{22}{7}\)

प्रयुक्त सूत्र:

शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

गणना:

\(3696 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 18\)

⇒ \(3696 = \frac{22 \times r^2 \times 18}{21}\)

⇒ \(3696 \times 21 = 22 \times r^2 \times 18\)

⇒ \(77616 = 396 \times r^2\)

⇒ \(r^2 = \frac{77616}{396} = 196\)

⇒ \(r = 14\)

⇒ व्यास = 2 × r = 2 × 14 = 28 इकाई

इसलिए, शंकु का व्यास 28 इकाई है।

दिया गया है:

ऊँचाई (h) = 7 cm

धारिता (आयतन) = 6.6 लीटर = 6600 cm3 (1 लीटर = 1000 cm3)

प्रयुक्त सूत्र:

शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

जहाँ r = आधार की त्रिज्या

व्यास = 2 × r

गणना:

आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)

⇒ 6600 = \(\frac{1}{3} \pi r^2 \times 7\)

⇒ 6600 = \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{3} \times 7 \times r^2\)

⇒ 6600 = \(\frac{22 \times r^2}{3}\)

⇒ \(\frac{6600 \times 3}{22} = r^2\)

⇒ r² = 900

⇒ r = √900 = 30 cm

व्यास = 2 × r = 2 × 30 = 60 cm

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

व्यास (d) = 42 सेमी

ऊँचाई (h) = 20 सेमी

त्रिज्या (r) = d / 2 = 42 / 2 = 21 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(r + l)

जहाँ, l = तिर्यक ऊँचाई = √(r² + h²)

गणना:

l = √(21² + 20²)

⇒ l = √(441 + 400)

⇒ l = √841

⇒ l = 29 सेमी

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π x 21 x (21 + 29)

⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π x 21 x 50

⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 x 21 x 50

⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3300 सेमी²

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

∵ शंकु का आधार क्षेत्रफल = π(त्रिज्या)² और शंकु का आयतन = (1/3)π × (त्रिज्या)² × ऊँचाई

⇒ शंकु का आयतन = (1/3) × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई

अब, छोटे शंकु का आयतन = 12π सेमी³

⇒ 12π = 1/3 × 4π × ऊँचाई

⇒ छोटे शंकु की ऊँचाई = 9 सेमी

उसी प्रकार, बड़े शंकु का आयतन = 96π सेमी³

⇒ 96π = 1/3 × 16π × ऊँचाई

⇒ बड़े शंकु की ऊँचाई = 18 cm

⇒ शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = πrl

जहाँ r त्रिज्या है और l शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

⇒ r = √(l² – h²)

⇒ r = √(256 – 207)

⇒ r = √49 = 7 सेमी

दिया गया है कि शंकु की त्रिज्या = शंकु की ऊँचाई

मान लीजिए, शंकु की त्रिज्या ‘r’ है व अर्धगोले की त्रिज्या ‘R’ है।

दिया गया है कि शंकु का आयतन अर्धगोले के आयतन के बराबर है

⇒ 1/3πr².r = 2/3πR³

⇒ r³ = 2R³

⇒ r³ = 2R³

दिया गया है:

आधार क्षेत्रफल = 36π सेमी²

ऊपरी वृत्ताकार पृष्ठ की त्रिज्या, r = 3 सेमी

तिर्यक ऊँचाई, l = 5 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (πRL - πrl)

गणना:

आधार क्षेत्रफल = 36π 

⇒ π R² = 36π 

⇒ R = √ 36 = 6 सेमी

दिया गया है, r = 3 सेमी

∵ ΔABC ≅ ΔADE

\(BC\over DE\) = \(AC\over AE\)

⇒ \(6\over12\) = \(5\over AE\)

⇒​ AE = 10 सेमी = L

छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ π RL - π rl

⇒ π × 6 × 10 - π × 3 × 5

⇒ 60π - 15π = 45π

Shortcut Trick प्रयुक्त सूत्र:

क छिन्नक का पार्श्व सतही क्षेत्रफल = π (R + r) × L 

जहाँ, 

R और r एक शंकु की त्रिज्याएँ हैं

L तिरछी ऊंचाई है

गणना:

सूत्र का प्रयोग करके,

⇒ π (6 + 3) × 5

⇒ π (9) × 5

⇒ 45 π

∴ एक छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 45π है।

शंकु का आयतन = (1/3)πr²h

⇒ r = h/3

⇒ h = 3r

⇒ शंकु का आयतन = (1/3) × π × r2 × 3r

⇒ शंकु का आयतन = πr³

गोले का आयतन = (4/3)πR³

प्रश्नानुसार,

⇒ शंकु का आयतन = गोले का आयतन

⇒ πr3 = (4/3)πR3

⇒ r3 = (4/3)R3

दिया गया है:

आधार की त्रिज्या (R) = 5 सेमी 

शीर्ष की त्रिज्या (r) = 3 सेमी

छिन्नक की ऊंचाई (h) = 6 सेमी

प्रयुक्त सूत्र​:

छिन्नक (V) का आयतन = 1/3 πH (R2 + Rr + r2)

गणना:

प्रश्नानुसार,

छिन्नक का आयतन =1/3 π × 6 × [(5)2 + (5 × 3) + (3)2]

⇒ V = π × 2 × [25 + 15 + 9]

⇒ V = π × 2 × [49] = 98π सेमी3 

∴ छिन्नक का आयतन 98π सेमी3 है।

r = 1 सेमी, R = 2.5 सेमी, h = 7 सेमी​

छिन्नक की ऊँचाई = 7 - 1 = 6 सेमी

⇒ l = √[h² + (R – r)]²

⇒ l = √[(6)² + (2.5 – 1)²]

⇒ l = √(36 + 2.25)

⇒ तिर्यक ऊँचाई, l = 6.2 सेमी

बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = (छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (r + R) × l + 2 × (22/7) × r²

⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × [(1 + 2.5)6.2 + 2 × (1)²]

⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (3.5 × 6.2 + 2)

⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (21.7 + 2) = 74.29 सेमी²

दिया गया है:

ऊँचाई =  21 सेमी

R = 15 सेमी

r = 7 सेमी

सूत्र:

छिन्नक का आयतन =  \(\frac{\pi H}{3}\)(R2 + Rr + r2) 

गणना:

गिलास का आयतन = \(\frac{22}{7} ×\frac{21}{3} \)(15² + 15 × 7 + 7²) 

⇒ 8338 सेमी³ 

∴ गिलास का आयतन 8338 सेमी3 है।

दिया गया है:

तिर्यक ऊँचाई = 15 cm

छिन्नक की ऊँचाई = 12 cm

सूत्र:

तिर्यक ऊँचाई = √[(R - r)2 + h2]

गणना:

⇒ 152 = [(R - r)2 + 122]

⇒ (R - r)2 = 225 - 144 = 81

⇒ (R - r) धनात्मक होना चाहिए।

⇒ (R - r) = 9 cm

∴ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याओं के बीच का अंतर 9 cm है।

प्रयुक्त सूत्र:

शंकु के छिन्नक का आयतन =  \(\frac{1}{3}\) × π × h ×(r12 + r22 + r1r2)

जहाँ r₁ और r₂ शंकु के छिन्नक की त्रिज्याएँ हैं

दिया हुआ है:

ऊपरी आधार की त्रिज्या (r1) = 6/2 = 3 सेमी

निचले आधार की त्रिज्या (r2) = 4/2 = 2 सेमी

ऊंचाई = 14 सेमी

गणना:

अब, काँच का आयतन = शंकु के छिन्नक का आयतन

हम जानते हैं कि​,

कांच के पात्र का आयतन =  \(\frac{1}{3}\) × π × h ×(r12 + r22 + r1r2)

=  \(\frac{1}{3}\) × π × 14 × (32 + 22 + 3 × 2)

= \(\frac{1}{3}\) × 266 × π सेमी³

अतः कांच के पात्र का आयतन = 88.67π सेमी3