शंकु के छिन्नक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Frustum of Cone - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 28, 2025
Latest Frustum of Cone MCQ Objective Questions
शंकु के छिन्नक Question 1:
Comprehension:
एक समकोण शंकु के छिन्नक का शीर्ष व्यास 2k, निचला व्यास 2·5k तथा ऊँचाई k है।
छिन्नक का आयतन कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
छिन्नक का ऊपरी व्यास (d1) = 2k
छिन्नक का निचला व्यास (d2) = 2.5k
छिन्नक की ऊँचाई (h) = k
प्रयुक्त सूत्र:
ऊपरी त्रिज्या (r1) = d1 / 2
निचली त्रिज्या (r2) = d2 / 2
छिन्नक का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\)
गणना:
त्रिज्याओं की गणना:
r1 = 2k / 2 = k
r2 = 2.5k / 2 = 1.25k
मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
V = \(\frac{1}{3}\pi (k) (k^2 + (1.25k)^2 + k \times 1.25k)\)
⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (k^2 + 1.5625k^2 + 1.25k^2)\)
⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (1k^2 + 1.5625k^2 + 1.25k^2)\)
⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (k^2(1 + 1.5625 + 1.25))\)
⇒ V = \(\frac{1}{3}\pi k (3.8125k^2)\)
⇒ V = \(\frac{3.8125}{3}\pi k^3\)
3.8125 को भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए:
3.8125 = 38125 / 10000 = 1525 / 400 = 305 / 80 = 61 / 16
इसलिए, V = \(\frac{1}{3}\pi k \left(\frac{61}{16}k^2\right)\)
⇒ V = \(\frac{61}{48}\pi k^3\)
इसलिए, छिन्नक का आयतन \(\frac{61}{48}\pi k^3\) है।
शंकु के छिन्नक Question 2:
Comprehension:
एक समकोण शंकु के छिन्नक का शीर्ष व्यास 2k, निचला व्यास 2·5k तथा ऊँचाई k है।
छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 2 Detailed Solution
दिया गया:
छिन्नक का शीर्ष व्यास (d 1 ) = 2k
छिन्नक का निचला व्यास (d 2 ) = 2.5k
छिन्नक की ऊंचाई (h) = k
प्रयुक्त सूत्र:
शीर्ष की त्रिज्या (r 1 ) = d 1 / 2
नीचे की त्रिज्या (r 2 ) = d 2 / 2
छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2}\)
छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शीर्ष आधार का क्षेत्रफल + नीचे के आधार का क्षेत्रफल + पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\)
नीचे के आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\)
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)
गणना:
त्रिज्या की गणना करते हैं:
r1 = 2k / 2 = k
r2 = 2.5k / 2 = 1.25k
त्रिज्या में अंतर की गणना करते हैं:
r2 - r1 = 1.25k - k = 0.25k
तिर्यक ऊँचाई (l) की गणना करते हैं:
l = \(\sqrt{k^2 + (0.25k)^2}\)
⇒ l = \(\sqrt{k^2 + 0.0625k^2}\)
⇒ l = \(\sqrt{1.0625k^2}\)
⇒ l = k\(\sqrt{1.0625}\)
अब, पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते हैं:
शीर्ष आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_1^2\) = \(\pi (k)^2\) = \(\pi k^2\)
निचले आधार का क्षेत्रफल = \(\pi r_2^2\) = \(\pi (1.25k)^2\) = \(\pi (1.5625k^2)\) = 1.5625 \(\pi k^2\)
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(r_1 + r_2)l\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)k\sqrt{1.0625}\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)k\sqrt{1.0625}\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + 1.5625 \(\pi k^2\) + 2.25 \(\pi k^2\sqrt{1.0625}\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (1 + 1.5625 + 2.25\sqrt{1.0625})\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.25 \times 1.030776...)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (2.5625 + 2.319246...)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 (4.881746...)\)
आइए परिशुद्धता के लिए sqrt(1.0625) के लिए भिन्न रूप का उपयोग करते हैं:
1.0625 = 10625 / 10000 = 425 / 400 = 85 / 80 = 17/16 (यहां गणना में त्रुटि है, 10625/10000 = 17/16 1.0625 के लिए था, लेकिन 0.25k (1/4)k है)
0.25k = (1/4)k
(0.25k)2 = (1/16)k2
l = \(\sqrt{k^2 + \frac{1}{16}k^2}\) = \(\sqrt{\frac{16k^2 + k^2}{16}}\) = \(\sqrt{\frac{17k^2}{16}}\) = \(\frac{k\sqrt{17}}{4}\)
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(k + 1.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(2.25k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi(\frac{9}{4}k)\frac{k\sqrt{17}}{4}\)
⇒ पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)
संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\pi (\frac{5}{4}k)^2\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2\) + \(\frac{25\pi k^2}{16}\) + \(\frac{9\pi k^2\sqrt{17}}{16}\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(1 + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi k^2 \left(\frac{16}{16} + \frac{25}{16} + \frac{9\sqrt{17}}{16}\right)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (16 + 25 + 9\sqrt{17})\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\)
\(\sqrt{17} \approx 4.123\) उपयोग करते हैं,
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9 \times 4.123)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 37.107)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac{\pi k^2}{16} (78.107)\)
⇒ संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 4.8816 \(\pi k^2\)
सटीक व्यंजक \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।
∴ छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\frac{\pi k^2}{16} (41 + 9\sqrt{17})\) है।
शंकु के छिन्नक Question 3:
एक शंकु का व्यास ज्ञात कीजिए जिसका आयतन और ऊँचाई क्रमशः 3696 घन इकाई और 18 इकाई है। (π = 22/7 का उपयोग कीजिए)
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 3 Detailed Solution
दिया गया है:
आयतन = 3696 घन इकाई
ऊँचाई (h) = 18 इकाई
\(\pi = \frac{22}{7}\)
प्रयुक्त सूत्र:
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
गणना:
\(3696 = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 18\)
⇒ \(3696 = \frac{22 \times r^2 \times 18}{21}\)
⇒ \(3696 \times 21 = 22 \times r^2 \times 18\)
⇒ \(77616 = 396 \times r^2\)
⇒ \(r^2 = \frac{77616}{396} = 196\)
⇒ \(r = 14\)
⇒ व्यास = 2 × r = 2 × 14 = 28 इकाई
इसलिए, शंकु का व्यास 28 इकाई है।
शंकु के छिन्नक Question 4:
एक शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई 7 cm है। यदि इसकी धारिता 6.6 लीटर दूध है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
ऊँचाई (h) = 7 cm
धारिता (आयतन) = 6.6 लीटर = 6600 cm3 (1 लीटर = 1000 cm3)
प्रयुक्त सूत्र:
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
जहाँ r = आधार की त्रिज्या
व्यास = 2 × r
गणना:
आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
⇒ 6600 = \(\frac{1}{3} \pi r^2 \times 7\)
⇒ 6600 = \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{3} \times 7 \times r^2\)
⇒ 6600 = \(\frac{22 \times r^2}{3}\)
⇒ \(\frac{6600 \times 3}{22} = r^2\)
⇒ r2 = 900
⇒ r = √900 = 30 cm
व्यास = 2 × r = 2 × 30 = 60 cm
∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।
शंकु के छिन्नक Question 5:
42 सेमी व्यास और 20 सेमी ऊँचाई वाले एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
व्यास (d) = 42 सेमी
ऊँचाई (h) = 20 सेमी
त्रिज्या (r) = d / 2 = 42 / 2 = 21 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(r + l)
जहाँ, l = तिर्यक ऊँचाई = √(r2 + h2)
गणना:
l = √(212 + 202)
⇒ l = √(441 + 400)
⇒ l = √841
⇒ l = 29 सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π x 21 x (21 + 29)
⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π x 21 x 50
⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 x 21 x 50
⇒ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3300 सेमी2
∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।
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एक छोटा शंकु जिसके आधार का क्षेत्रफल 4π सेमी2 और आयतन 12π सेमी3 है जिसे 16π सेमी2 आधार के क्षेत्रफल और आयतन 96π सेमी3 वाले एक बड़े शंकु के शीर्ष से काटा जाता है। शेष ठोस आकृति की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDF∵ शंकु का आधार क्षेत्रफल = π(त्रिज्या)2 और शंकु का आयतन = (1/3)π × (त्रिज्या)2 × ऊँचाई
⇒ शंकु का आयतन = (1/3) × आधार क्षेत्रफल × ऊँचाई
अब, छोटे शंकु का आयतन = 12π सेमी3
⇒ 12π = 1/3 × 4π × ऊँचाई
⇒ छोटे शंकु की ऊँचाई = 9 सेमी
उसी प्रकार, बड़े शंकु का आयतन = 96π सेमी3
⇒ 96π = 1/3 × 16π × ऊँचाई
⇒ बड़े शंकु की ऊँचाई = 18 cm
∴ शेष ठोस आकृति की ऊँचाई = बड़े शंकु की ऊँचाई – छोटे शंकु की ऊँचाई = 18 – 9 = 9 सेमीएक लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः 3√23 सेमी और 16 सेमी दी गई है। π को 22/7 मानते हुए, इसी शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDF⇒ शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = πrl
जहाँ r त्रिज्या है और l शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।
⇒ r = √(l2 – h2)
⇒ r = √(256 – 207)
⇒ r = √49 = 7 सेमी
∴ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 7 × 16 = 352 सेमी2एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन, जिसकी आधार त्रिज्या उसकी ऊँचाई के बराबर है, का आयतन अर्धगोले के आयतन के बराबर है। शंकु और अर्धगोले की त्रिज्याओं का अनुपात क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है कि शंकु की त्रिज्या = शंकु की ऊँचाई
मान लीजिए, शंकु की त्रिज्या ‘r’ है व अर्धगोले की त्रिज्या ‘R’ है।
दिया गया है कि शंकु का आयतन अर्धगोले के आयतन के बराबर है
⇒ 1/3πr2.r = 2/3πR3
⇒ r3 = 2R3
⇒ r3 = 2R3
∴ r ∶ R = ∛2 ∶ 1एक लम्ब वृत्तीय शंकु, जिसका आधार क्षेत्रफल 36π सेमी2 है, के ऊपरी वृत्ताकार पृष्ठ की त्रिज्या 3 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 5 सेमी है, तो लम्ब वृत्तीय शंकु के छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
आधार क्षेत्रफल = 36π सेमी2
ऊपरी वृत्ताकार पृष्ठ की त्रिज्या, r = 3 सेमी
तिर्यक ऊँचाई, l = 5 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (πRL - πrl)
गणना:
आधार क्षेत्रफल = 36π
⇒ π R2 = 36π
⇒ R = √ 36 = 6 सेमी
दिया गया है, r = 3 सेमी
∵ ΔABC ≅ ΔADE
\(BC\over DE\) = \(AC\over AE\)
⇒ \(6\over12\) = \(5\over AE\)
⇒ AE = 10 सेमी = L
छिन्नक का पृष्ठीय क्षेत्रफल
⇒ π RL - π rl
⇒ π × 6 × 10 - π × 3 × 5
⇒ 60π - 15π = 45π
Shortcut Trick प्रयुक्त सूत्र:
क छिन्नक का पार्श्व सतही क्षेत्रफल = π (R + r) × L
जहाँ,
R और r एक शंकु की त्रिज्याएँ हैं
L तिरछी ऊंचाई है
गणना:
सूत्र का प्रयोग करके,
⇒ π (6 + 3) × 5
⇒ π (9) × 5
⇒ 45 π
∴ एक छिन्नक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 45π है।
एक लम्बवृत्तीय शंकु जिसके आधार की त्रिज्या उसकी ऊँचाई के एक तिहाई के बराबर है, उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन और एक गोले के आयतन के बराबर है। शंकु की त्रिज्या और गोले की त्रिज्या का अनुपात क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFशंकु का आयतन = (1/3)πr2h
⇒ r = h/3
⇒ h = 3r
⇒ शंकु का आयतन = (1/3) × π × r2 × 3r
⇒ शंकु का आयतन = πr3
गोले का आयतन = (4/3)πR3
प्रश्नानुसार,
⇒ शंकु का आयतन = गोले का आयतन
⇒ πr3 = (4/3)πR3
⇒ r3 = (4/3)R3
∴ शंकु की त्रिज्या / गोले की त्रिज्या = ∛4 : ∛3एक लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक में आधार की त्रिज्या 5 सेमी, शीर्ष की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। इसका आयतन कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
आधार की त्रिज्या (R) = 5 सेमी
शीर्ष की त्रिज्या (r) = 3 सेमी
छिन्नक की ऊंचाई (h) = 6 सेमी
प्रयुक्त सूत्र:
छिन्नक (V) का आयतन = 1/3 πH (R2 + Rr + r2)
गणना:
प्रश्नानुसार,
छिन्नक का आयतन =1/3 π × 6 × [(5)2 + (5 × 3) + (3)2]
⇒ V = π × 2 × [25 + 15 + 9]
⇒ V = π × 2 × [49] = 98π सेमी3
∴ छिन्नक का आयतन 98π सेमी3 है।
बैडमिंटन खेलने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली चिड़ी एक अर्धगोले पर रखे शंकु के छिन्नक के आकार का होता है। छिन्नक के व्यास 5 सेमी और 2 सेमी हैं, चिड़ी की कुल ऊँचाई 7 सेमी है। बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFr = 1 सेमी, R = 2.5 सेमी, h = 7 सेमी
छिन्नक की ऊँचाई = 7 - 1 = 6 सेमी
⇒ l = √[h2 + (R – r)]2
⇒ l = √[(6)2 + (2.5 – 1)2]
⇒ l = √(36 + 2.25)
⇒ तिर्यक ऊँचाई, l = 6.2 सेमी
बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = (छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) + (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)
⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (r + R) × l + 2 × (22/7) × r2
⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × [(1 + 2.5)6.2 + 2 × (1)2]
⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (3.5 × 6.2 + 2)
⇒ बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × (21.7 + 2) = 74.29 सेमी2
एक गिलास की ऊँचाई 21 सेमी है और उसके दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 15 सेमी और 7 सेमी है, तो उस गिलास का आयतन कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
ऊँचाई = 21 सेमी
R = 15 सेमी
r = 7 सेमी
सूत्र:
छिन्नक का आयतन = \(\frac{\pi H}{3}\)(R2 + Rr + r2)
गणना:
गिलास का आयतन = \(\frac{22}{7} ×\frac{21}{3} \)(152 + 15 × 7 + 72)
⇒ 8338 सेमी3
∴ गिलास का आयतन 8338 सेमी3 है।
एक शंकु के छिन्नक की ऊँचाई 12 cm है और यदि इसकी तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याओं का अंतर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
तिर्यक ऊँचाई = 15 cm
छिन्नक की ऊँचाई = 12 cm
सूत्र:
तिर्यक ऊँचाई = √[(R - r)2 + h2]
गणना:
⇒ 152 = [(R - r)2 + 122]
⇒ (R - r)2 = 225 - 144 = 81
⇒ (R - r) धनात्मक होना चाहिए।
⇒ (R - r) = 9 cm
∴ दो वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याओं के बीच का अंतर 9 cm है।
एक कांच का पात्र 14 सेमी ऊंचाई के एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। इसके दो वृत्ताकार सिरों के व्यास 6 सेमी और 4 सेमी हैं। पात्र का आयतन ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Frustum of Cone Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त सूत्र:
शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × π × h ×(r12 + r22 + r1r2)
जहाँ r1 और r2 शंकु के छिन्नक की त्रिज्याएँ हैं
दिया हुआ है:
ऊपरी आधार की त्रिज्या (r1) = 6/2 = 3 सेमी
निचले आधार की त्रिज्या (r2) = 4/2 = 2 सेमी
ऊंचाई = 14 सेमी
गणना:
अब, काँच का आयतन = शंकु के छिन्नक का आयतन
हम जानते हैं कि,
कांच के पात्र का आयतन = \(\frac{1}{3}\) × π × h ×(r12 + r22 + r1r2)
= \(\frac{1}{3}\) × π × 14 × (32 + 22 + 3 × 2)
= \(\frac{1}{3}\) × 266 × π सेमी3
अतः कांच के पात्र का आयतन = 88.67π सेमी3