Operations on Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(xy)=f(x+y)$ है, जहाँ x और y के सभी वास्तविक मान हैं, और f(5) = 10 है।

हमें ज्ञात करना है:

$f(20)+f(-20)$

दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है:

$f(0\cdot 5)=f(0+5)$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(5)=10$

$f(0\cdot 20)=f(0+20)$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(20)=10$

$f(0\cdot -20)=f(0+(-20))$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(-20)=10$

इस प्रकार,

$f(20)+f(-20)=10+10=20$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार है कि: x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए, $f(xy)=f(x+y)$ और $f(5)=10$ है। 

हमें $f(0)$ का मान ज्ञात करना है।

दिए गए फलन समीकरण $f(xy)=f(x+y)$ में $x=5$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:

$f(5\cdot 0)=f(5+0)$

$f(0)=f(5)$

चूँकि $f(5)=10$, हम निष्कर्ष निकालते हैं:

$f(0)=10$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन निम्नलिखित फलन समीकरण को संतुष्ट करता है:

$f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$

साथ ही, हमें दिया गया है कि:

$f(2)=3$

हम f(4) की गणना करने के लिए फलन समीकरण का उपयोग करते हैं। x = 4 और y = 2 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{f(4)}{f(2)}=f(2)$

$\frac{f(4)}{3}=3\Rightarrow f(4)=3\times 3=9$

$\frac{f(2)}{f(2)}=f(1)\Rightarrow f(1)=1$

$f(1)\times f(4)=1\times 9=9$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन समीकरण $\frac{f(x)}{f(y)}=\frac{x}{y}$ को x और y के सभी धनात्मक वास्तविक मानों के लिए संतुष्ट करता है, और $f(2)=3$ है। 

हमें $f(16)$ ज्ञात करना है।

$f(4)$ के लिए, फलन समीकरण का उपयोग करने पर, हमारे पास है:

$\frac{f(4)}{f(2)}=f\left(\frac{4}{2}\right)=f(2)$

चूँकि $f(2)=3$ है, हम $f(4)$ की गणना कर सकते हैं

$\frac{f(4)}{3}=3\Rightarrow f(4)=9$

अगला, $f(16)$ ज्ञात करने के लिए, हम फिर से फलन समीकरण का उपयोग करते हैं:

$\frac{f(16)}{f(4)}=f\left(\frac{16}{4}\right)=f(4)$

चूँकि $f(4)=9$ है, हम $f(16)$ की गणना कर सकते हैं

$\frac{f(16)}{9}=9\Rightarrow f(16)=81$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

फलन $y=x^2-1$ है, और हमें x = -1 और x = 1 के बीच वक्र और x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

अभीष्ट क्षेत्रफल, -1 से 1 तक फलन के निश्चित समाकल द्वारा दिया गया है:

$\text{Area}={\int }_{-1}^1(x^2-1)dx$

$\int (x^2-1)dx=\frac{x^3}{3}-x$

-1 से 1 तक समाकल का मान ज्ञात कीजिए:

${[\frac{x^3}{3}-x]}_{-1}^1=(\frac{1^3}{3}-1)-(\frac{(-1{)}^3}{3}-(-1))$

$=(\frac{1}{3}-1)-(\frac{-1}{3}+1)=(\frac{1}{3}-\frac{3}{3})-(\frac{-1}{3}+\frac{3}{3})=\frac{4}{3}$

∴ क्षेत्रफल $\frac{4}{3}$ वर्ग इकाई है।

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

दो फलन f(x) और g(x) के लिए फलन [(f × g)(x)] को f(x) × g(x) के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

गणना:

f(x) = x + 5 ⇒ f(5) = 5 + 5 = 10.

$\mathrm{g}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{1}{2\mathrm{x}+5}}\Rightarrow \mathrm{g}(5)={\displaystyle \frac{1}{2\times 5+5}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$.

∴ [(f × g)(5)] = f(5) × g(5) = $10\times {\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

दिया है 

f"(x) = -f(x)      ---(i)

g(x) = f'(x)

$F(x)={\left\{f\left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2+{\left\{g\left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2$      ---(ii)

F(5) = 5

समीकरण (1) से

हम कह सकते है 

f(x) = a sin x

f'(x) = a cos x = g(x)

f"(x) = -a sin x = - f(x)

$f\left(\frac{x}{2}\right)=asin\left(\frac{x}{2}\right)$     ---(iii)

$g\left(\frac{x}{2}\right)=acos\left(\frac{x}{2}\right)$      ---(iv)

समीकरण (ii), (iii) और (iv) से

$F(x)={\left\{a\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2+{\left\{a\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right\}}^2$

$F(x)=a^{2}si{n}^2\frac{x}{2}+a^{2}co{s}^2\frac{x}{2}$

$F(x)=a^2\left\{{\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right\}$

F(x) = a²

f(5) = a² = 5

f(10) = a² = 5

संकल्पना:

वास्तविक मान फलन: एक फलन f : A → B वास्तविक मान फलन कहलाता है यदि B, R का उपसमुच्चय है (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)।

यदि A और B दोनों R के उपसमुच्चय हैं, तो f वास्तविक फलन कहलाता है।

गणना:

f(x) = 2x3 + 7x2 - 3

∴ f(x - 1) = 2(x - 1)3 + 7(x - 1)2 - 3

⇒ 2(x3 - 3x2 + 3x - 1) + 7(x2 + 1 - 2x) - 3

⇒ 2x3 - 6x2 + 6x - 2 + 7x2 + 7 - 14x - 3

⇒ 2x3 + x2 - 8x + 2

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय सूत्र:

$\sin 2\mathrm{x}=\frac{2\tan \mathrm{x}}{1+{\tan }^2\mathrm{x}}$

$\cos 2\mathrm{x}=\frac{1-{\tan }^2\mathrm{x}}{1+{\tan }^2\mathrm{x}}$

$\tan 2\mathrm{x}=\frac{2\tan \mathrm{x}}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}$

गणना:

हमारे पास f(x) = $\frac{2\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}$ है।

x = tan θ को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

⇒ f(tan θ) = $\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$ = sin 2θ

अवधारणा :

यदि p(x) = a₀ + a₁ x + …… + a_nxⁿ ,जहाँ  x के गुणांक वास्तविक है और यदि  a_n ≠ 0 . तब  p(x) ,n कोटि का बहुपद होगा 

गणना​:

दिया गया है: f(x) = x² + 2x – 5 और g(x) = 5x + 30

⇒ f[g(x)] = f(5x + 30) = (5x + 30)² + 2(5x + 30) – 5 = 25x² + 310x + 955

⇒ f[g(x)], 2 कोटि का बहुपद है

इसलिए कथन 1 गलत है।

⇒ g[g(x)] = g(5x + 30) = 5(5x + 30) + 30 = 25x + 180

⇒ g[g(x)] ,1 कोटि का बहुपद है

अवधारणा :

यदि α और β समीकरण f(x) = ax² + bx + c = 0. के शून्यक है तो f(α) = 0 = f(β).

गणना:

दिया गया है: f(x) = x² + 2x – 5 and g(x) = 5x + 30

⇒ g[f(x)] = g(x² + 2x – 5) = 5 (x² + 2x – 5) + 30 = 5x² + 10x + 5 = 0.

⇒ 5x² + 10x + 5 = 0

⇒ x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0

⇒ x = - 1, -1

व्याख्या:

यह देखते हुए कि f, [1,3] पर एक संतत फलन है और यह सभी "x" और f(2) = 10 के लिए केवल परिमेय मान लेता है।

यदि f संतत है, तो उसे केवल परिमेय मान लेना चाहिए, इसलिए f एक अचर फलन होना चाहिए।

अतः f(3/2) = 10

गणना:

दिया हुआ: h(x) = 5f(x) – xg(x), जहाँ f(x) = x² + 2x – 5 और g(x) = 5x + 30

⇒ h(x) = 5 × (x2 + 2x – 5) – x × (5x + 30)

⇒ 5x2 + 10x – 25 – 5x2 - 30x

⇒ h(x) = -20 x – 25

⇒ h’(x) = - 20.

गणना:

दिया गया है,

फलन $f(xy)=f(x+y)$ है, जहाँ x और y के सभी वास्तविक मान हैं, और f(5) = 10 है।

हमें ज्ञात करना है:

$f(20)+f(-20)$

दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है:

$f(0\cdot 5)=f(0+5)$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(5)=10$

$f(0\cdot 20)=f(0+20)$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(20)=10$

$f(0\cdot -20)=f(0+(-20))$ के लिए, हमें मिलता है:

$f(0)=f(-20)=10$

इस प्रकार,

$f(20)+f(-20)=10+10=20$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार है कि: x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए, $f(xy)=f(x+y)$ और $f(5)=10$ है। 

हमें $f(0)$ का मान ज्ञात करना है।

दिए गए फलन समीकरण $f(xy)=f(x+y)$ में $x=5$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करने पर:

$f(5\cdot 0)=f(5+0)$

$f(0)=f(5)$

चूँकि $f(5)=10$, हम निष्कर्ष निकालते हैं:

$f(0)=10$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।