Operations on Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Operations on Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है, g, f का व्युत्क्रम है

⇒ g-1(x) = f(x)

⇒ f(g(x)) = x

x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

f '(g(x))g'(x) = 1

⇒ g'(x) = \(\frac{1}{f'(g(x))}\)

⇒ g'(x) = 1 + {g(x)} 5 [∵ \(f^{′}(x)=\frac{1}{1+x^5}\) ]

∴ g'(x) का मान 1 + {g(x)}⁵ है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना

\(f(x)=(3 a+2) x^{2}+\left(\frac{a+2}{a-1}\right) x+b\)

\(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{y})+1-\frac{2}{7} \mathrm{xy} \quad ...(1)\)

समीकरण (1) में x = y = 0 रखने पर ⇒ f(0) = 2f(0) + 1 ⇒ f(0) = -1

इसलिए, f(0) = 0 + 0 + b = -1 ⇒ b = -1

समीकरण (1) में y = -x रखने पर ⇒ f(0) = f(x) + f(-x) + 1 + \(\frac{2}{7}\) x²

-1 = 2(3a + 2)x² + 2b + 1 + \(\frac{2}{7}\) x2

\(-1=\left(2(3 a+2)+\frac{2}{7}\right) x^{2}+1-2\)

⇒ \(6 a+4+\frac{2}{7}=0\)

\(a=-\frac{5}{7}\)

इसलिए, f(x) = \(-\frac{1}{7} x^{2}-\frac{3}{4} x-1\)

⇒ \(|f(x)|=\frac{1}{28}\left|4 x^{2}+21 x+28\right|\)

अब, \(28 \sum_{\mathrm{i}=1}^{5}|\mathrm{f}(6)|=28(|\mathrm{f}(1)|+\mathrm{f}(2)+\ldots+\mathrm{f}(5))\)

\(28 \cdot \frac{1}{28} \cdot 675=675\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

दिया गया है:

f: [1.2, 1.9] → R, f(x) = [x], जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है।

प्रयुक्त अवधारणा:

महत्तम पूर्णांक फलन [x] पूर्णांक मानों पर असंतत होता है।

एक अचर फलन का अवकलज 0 होता है।

गणना:

दिया गया है:

f: [1.2, 1.9] → R, f(x) = [x], जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है।

अंतराल [1.2, 1.9) में, फलन f(x) = [x] इस प्रकार परिभाषित है:

[1.2, 1.9) में सभी x के लिए, f(x) = 1

ऐसा इसलिए है क्योंकि इस अंतराल में किसी भी संख्या से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक 1 है।

चूँकि f(x) दिए गए अंतराल में एक अचर फलन है, इसलिए इसका अवकलज 0 है।

[1.2, 1.9) में x के लिए, \(f'(x) = 0\)

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

दिया गया है:

f(x) = log (x - 1) - log (x - 2)

गणना:

⇒ f(x) सभी x को संतुष्ट करने के लिए परिभाषित है

⇒ x - 1 > 0 तथा x - 2 > 0 अर्थात् x > 2

⇒ प्रांत (f) = (2, ∞)

⇒ g(x) सभी x को संतुष्ट करने के लिए परिभाषित है

⇒ \(\frac{x-1}{x-2}>0\) ⇒ x ∈(-∞, 1) U (2, ∞) 

⇒ प्रांत (g) = (-∞, 1) U (2, ∞)

∴ f(x) और g(x) अपने उभयनिष्ठ प्रांत अर्थात् (2, ∞) से संबंधित सभी x के लिए समान हैं।

गणना:

दिया गया है: f(x) = |x2 - 1| = \(\left\{\begin{matrix} x^2-1, & x\geq0 \\ 1-x^2, & x<0 \\ \end{matrix}\right.\)

आकृति से, f का x = ± 1 पर स्थानीय न्यूनतम और x = 0 पर स्थानीय अधिकतम है।

∴ f का x = ± 1 पर स्थानीय न्यूनतम और x = 0 पर स्थानीय अधिकतम है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

दो फलन f(x) और g(x) के लिए फलन [(f × g)(x)] को f(x) × g(x) के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

गणना:

f(x) = x + 5 ⇒ f(5) = 5 + 5 = 10.

\(\rm g(x)= \dfrac{1}{2x+5} \Rightarrow g(5)= \dfrac{1}{2\times5+5}=\dfrac{1}{15}\).

∴ [(f × g)(5)] = f(5) × g(5) = \(\rm 10\times\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{3}\).

दिया है 

f"(x) = -f(x)      ---(i)

g(x) = f'(x)

\(F(x) = {\left\{ {f \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right\}^2} + {\left\{ {g \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right\}^2}\)      ---(ii)

F(5) = 5

समीकरण (1) से

हम कह सकते है 

f(x) = a sin x

f'(x) = a cos x = g(x)

f"(x) = -a sin x = - f(x)

\(f\left(\frac{x}{2}\right)= a\ sin\left(\frac{x}{2}\right)\)     ---(iii)

\(g\left(\frac{x}{2}\right)= a\ cos\left(\frac{x}{2}\right)\)      ---(iv)

समीकरण (ii), (iii) और (iv) से

\(F(x) = {\left\{ {a\sin \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right\}^2} + {\left\{ {a\cos \left( {\frac{x}{2}} \right)} \right\}^2}\)

\(F(x)=a^2sin^2\frac{x}{2}+a^2cos^2\frac{x}{2}\)

\(F(x) = {a^2}\left\{ {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right\}\)

F(x) = a²

f(5) = a² = 5

f(10) = a² = 5

संकल्पना:

वास्तविक मान फलन: एक फलन f : A → B वास्तविक मान फलन कहलाता है यदि B, R का उपसमुच्चय है (सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)।

यदि A और B दोनों R के उपसमुच्चय हैं, तो f वास्तविक फलन कहलाता है।

गणना:

f(x) = 2x3 + 7x2 - 3

∴ f(x - 1) = 2(x - 1)3 + 7(x - 1)2 - 3

⇒ 2(x3 - 3x2 + 3x - 1) + 7(x2 + 1 - 2x) - 3

⇒ 2x3 - 6x2 + 6x - 2 + 7x2 + 7 - 14x - 3

⇒ 2x3 + x2 - 8x + 2

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय सूत्र:

\(\rm \sin 2x = \frac{2\tan x}{1\ +\ \tan^2x}\)

\(\rm \cos 2x = \frac{1\ -\ \tan^2x}{1\ +\ \tan^2x}\)

\(\rm \tan 2x = \frac{2\tan x}{1\ -\ \tan^2x}\)

गणना:

हमारे पास f(x) = \(\rm {2x\over {1\ +\ x^2}}\) है।

x = tan θ को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

⇒ f(tan θ) = \(\rm {2\tan\theta\over {1\ +\ \tan^2 \theta}}\) = sin 2θ

अवधारणा :

यदि p(x) = a₀ + a₁ x + …… + a_nxⁿ ,जहाँ  x के गुणांक वास्तविक है और यदि  a_n ≠ 0 . तब  p(x) ,n कोटि का बहुपद होगा 

गणना​:

दिया गया है: f(x) = x² + 2x – 5 और g(x) = 5x + 30

⇒ f[g(x)] = f(5x + 30) = (5x + 30)² + 2(5x + 30) – 5 = 25x² + 310x + 955

⇒ f[g(x)], 2 कोटि का बहुपद है

इसलिए कथन 1 गलत है।

⇒ g[g(x)] = g(5x + 30) = 5(5x + 30) + 30 = 25x + 180

⇒ g[g(x)] ,1 कोटि का बहुपद है

अवधारणा :

यदि α और β समीकरण f(x) = ax² + bx + c = 0. के शून्यक है तो f(α) = 0 = f(β).

गणना:

दिया गया है: f(x) = x² + 2x – 5 and g(x) = 5x + 30

⇒ g[f(x)] = g(x² + 2x – 5) = 5 (x² + 2x – 5) + 30 = 5x² + 10x + 5 = 0.

⇒ 5x² + 10x + 5 = 0

⇒ x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0

⇒ x = - 1, -1

व्याख्या:

यह देखते हुए कि f, [1,3] पर एक संतत फलन है और यह सभी "x" और f(2) = 10 के लिए केवल परिमेय मान लेता है।

यदि f संतत है, तो उसे केवल परिमेय मान लेना चाहिए, इसलिए f एक अचर फलन होना चाहिए।

अतः f(3/2) = 10

गणना:

दिया हुआ: h(x) = 5f(x) – xg(x), जहाँ f(x) = x² + 2x – 5 और g(x) = 5x + 30

⇒ h(x) = 5 × (x2 + 2x – 5) – x × (5x + 30)

⇒ 5x2 + 10x – 25 – 5x2 - 30x

⇒ h(x) = -20 x – 25

⇒ h’(x) = - 20.

गणना:

दिया है,

2f(x) + f(1 - x) = x2 ___(i)

x के स्थान पर (1 - x) रखने पर,

⇒ 2f(1 - x) + f(x) = (1 - x)2 ___(ii)

2 × (i) - (ii) लगाने पर,

⇒ 4f(x) + 2f(1 - x) - 2f(1 - x) - f(x) = 2x² - (1 - x)2 

⇒ 3f(x) = 2x2 - (1 + x2 - 2x)

⇒ 3f(x) = x2 - 1 + 2x

∴ f(x) = \(\frac{x^2+2x-1}{3}\)

संकल्पना:

दो फलन f(x) और g(x) के लिए फलन [(f × g)(x)] को f(x) × g(x) के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

गणना:

f(x) = x + 5 ⇒ f(5) = 5 + 5 = 10.

\(\rm g(x)= \dfrac{1}{2x+5} \Rightarrow g(5)= \dfrac{1}{2\times5+5}=\dfrac{1}{15}\).

∴ [(f × g)(5)] = f(5) × g(5) = \(\rm 10\times\dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{3}\).