Special Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

चरघातांकी जनक फलन और श्रेणी गुणांक:

• व्यंजक संयोजन ⁿC_r और क्रमगुणित का उपयोग करता है, जो घातीय और द्विपद प्रसार सर्वसमिकाओं की ओर इंगित करता है।
• x² के गुणांक का मूल्यांकन करने के लिए फलन f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ... माना जाता है।
• इस फलन को इस सर्वसमिका का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है: e^1+x / (1 + x)
• इस प्रसार में x² का गुणांक 'a' श्रेणी के RHS से मेल खाता है।
• b का मान इस सर्वसमिका का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

गणना:

माना कि f(x) = 1 + (1 + x)/1! + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + ...

⇒ f(x) = e^(1+x) / (1 + x)

RHS का प्रसार:

= (1 + x + x²/2! + ...) / (1 + x)

⇒ (1 + x + (1 + x)²/2! + (1 + x)³/3! + (1 + x)⁴/4! + ...)

इसलिए, RHS में x² का गुणांक है:

²C₂/3! + ³C₂/4! + ⁴C₂/5! + ... = a - 1

RHS में x² का गुणांक:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

e- e+ e/2! =a है,

अब, LHS व्यंजक का प्रसार करें:

e × (1 + x+ x2/2!) × (1 -x+ x2/2!)

⇒ e × (1 - (x4/4!)) = e 

इसलिए, x² का गुणांक = e x e = e²

इस प्रकार, b = 1 + 2/1! + 2²/2! + 2³/3! + ... = e²

a = e/2!

⇒ 8b / a2 = 2 × e2 / (e/2!)2 = 32

∴ 8b / a² = 32

गणना:

दिया गया है,

फलन \( f(x) = \sin(\lfloor x \rfloor) \) है, जहाँ \(\lfloor x \rfloor \) महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें यह ज्ञात करना है:

\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \)

\( g(x) = |x| \) के लिए, हम जानते हैं कि:

\( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)

\( f(x) = \sin(\lfloor x \rfloor) \) के लिए, हम जानते हैं कि:

\( x \to 0^+ \) के लिए, \( \lfloor x \rfloor = 0 \), इसलिए f(x) = sin(0) = 0

\( x \to 0^- \) के लिए, \( \lfloor x \rfloor = -1 \), इसलिए \( f(x) = \sin(-1) \), जो एक शून्येतर अचर है।

सीमा का मूल्यांकन:

\( x \to 0^+ \) के लिए, \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{x} = 0 \)

\( x \to 0^- \) के लिए, \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sin(-1)}{-x} \), जो अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि \( x \to 0^- \) क्योंकि हर 0 की ओर अग्रसर है, लेकिन अंश एक शून्येतर अचर रहता है।

∴ चूँकि बाएँ-पक्ष और दाएँ-पक्ष की सीमाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

गणना:

दिया गया है,

फलन है \(f(x) = \sin(\lfloor x \rfloor) \), जहाँ \(\lfloor x \rfloor \) महत्तम पूर्णांक फलन है, और g(x) = |x|, निरपेक्ष मान फलन है।

हमें ज्ञात करना है:

\( \lim_{x \to 0} f(x) g(x) \)

\(g(x) = |x| \) के लिए, हम जानते हैं कि:

\( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)

\(f(x) = \sin(\lfloor x \rfloor) \) के लिए, हम जानते हैं कि:

\(x \to 0^+ \) के लिए, \( \lfloor x \rfloor = 0 \), इसलिए f(x) = sin(0) = 0

\( x \to 0^- \) के लिए, \( \lfloor x \rfloor = -1 \), इसलिए \(f(x) = \sin(-1) \) है, जो कि एक शून्येतर अचर है।

सीमा का परिकलन:

\(x \to 0^+ \) के लिए,\(f(x)g(x) = 0 \times x = 0 \)

\(x \to 0^- \) के लिए, \(f(x)g(x) = \sin(-1) \times (-x) \), जो 0 की ओर अग्रसर है चूँकि \(x \to 0^- .\).है। 

इसलिए, \(\lim_{x \to 0} f(x) g(x) \) का मान 0 है।

सही उत्तर विकल्प (2) है।

गणना:

चूँकि,

\(-\sqrt{2} \leq \sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x} \leq \sqrt{2} \)

\(\therefore -2 \leq \sqrt{2}(\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}) \leq 2 \)

\((\text { मान लीजिये } \sqrt{2}(\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})=\mathrm{k})\)

⇒ -2 ≤ k ≤ 2 …(i)

⇒ \(f(\mathrm{x})=\log _{\sqrt{\mathrm{m}}}(\mathrm{k}+\mathrm{m}-2)\)

दिया गया है,

0 ≤ f(x) ≤ 2

⇒ \(0 \leq \log _{\sqrt{\mathrm{m}}}(\mathrm{k}+\mathrm{m}-2) \leq 2 \)

⇒ \(1 \leq \mathrm{k}+\mathrm{m}-2 \leq \mathrm{m} \)

⇒ \(-\mathrm{m}+3 \leq \mathrm{k} \leq 2 \ldots \text { (ii) }\)

समीकरण (i) और (ii) से, हमें -m + 3 = -2 प्राप्त होता है

⇒ m = 5

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

महत्तम पूर्णांक फलन और निश्चित समाकल:

• महत्तम पूर्णांक फलन, जिसे [x] से दर्शाया जाता है, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक देता है।
• महत्तम पूर्णांक फलन का समाकलन करने के लिए, समाकल को उन अंतरालों में विभाजित करें जहाँ फलन अचर है।
• समाकल के अंदर फलन f(x) = [1 / e^x−1] = [e^1−x] है।
• हमें ∫₀³ [e^1−x] dx = α − logₑ2 का मान ज्ञात करना है।

गणना:

f(x) = [e^1−x] एक ह्रासमान फलन है

f(0) = [e¹] = [2.718] = 2

f(1−ln2) = e^{1−(1−ln2)} = e^ln2 = 2

⇒ परिसीमा बिंदु

f(x) = 2 for x ∈ [0, 1−ln2)

f(1) = [e⁰] = [1] = 1

f(x) = 1 for x ∈ [1−ln2, 1)

f(x) < 1 for x ≥ 1 ⇒ [f(x)] = 0

अब समाकल को तदनुसार विभाजित करें:

∫₀³ [e^1−x] dx = ∫₀^1−ln2 2 dx + ∫_1−ln2¹ 1 dx + ∫₁³ 0 dx

⇒ 2(1 − ln2) + (1 − (1 − ln2)) + 0

⇒ 2 − 2ln2 + ln2 = 2 − ln2

दिया गया है: ∫₀³ [e^1−x] dx = α − ln2

दोनों पक्षों की तुलना करने पर:

α − ln2 = 2 − ln2 ⇒ α = 2

अब, α³ = 2³ = 8

∴ α³ का मान 8 है।

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

लघुगणक का सूत्र:

यदि \(\rm lo{g_a}x = b \) तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{3}{(x^{4} - x^3)} - \log_{3} (x - 1) = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{(x^{4} - x^3)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)        (∵ \(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\))

\(\rm \Rightarrow \log_{3} \left[{\frac{x^3(x-1)}{(x - 1)}} \right ] = 3\)

\(\rm \Rightarrow \log_{3} x^3 = 3\)

\(\Rightarrow \rm 3\log_3 x = 3\)               (∵ \(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)) 

\(\Rightarrow \rm \log_3 x = 1 \\\therefore x=3\)

धारणा:

\({a^b} = x \Leftrightarrow lo{g_a}x = b\), यहाँ \(a \ne 1\) और a > 0 और x कोई भी संख्या हो।

गणना:

दिया हुआ: 92^1/5 = 4

जैसा कि हम जानते हैं कि, \({a^b} = x \Leftrightarrow lo{g_a}x = b.\)

\({a^b} = x\) के साथ 921/5 = 4 की तुलना करके हमारे पास है

यहाँ, a = 92, b = 1 / 5 और x = 4

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\({\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\({\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\({\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

4. आधार का परिवर्तन नियम

\({\log _m}n = \frac{{{{\log }_a}n}}{{{{\log }_a}m}}\)

यदि m = n;
⇒ \({\log _m}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}m}} = 1\)

5. \({\log _m}n = \frac{1}{{{{\log }_n}m}}\)

गणना:

यहाँ, हमें \({\log _7}{\rm{\;}}{\log _7}\sqrt {7\sqrt {7\sqrt 7 } } \) का मूल्य ज्ञात करना है

\({\log _7}{\rm{\;}}{\log _7}\sqrt {7\sqrt {7\sqrt 7 } } \)

= log₇ log₇ (7^1/2 × 7^1/4 × 7^1/8)

= log₇ log₇ (7(^{1/2 + 1/4 + 1/8)})

= log₇ log₇ (7^{(4 + 2 + 1)/8})

= log₇ log₇ (7^7/8)

घात नियम से;

= log₇ (7/8) log₇7

= log₇ (7/8) × 1 = log₇ (7/8) = log₇ 7 – log₇ 8

= 1 – log₇ 8 = 1 – log₇ 2³

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\(\rm {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

लघुगणक का सूत्र:

यदि \(\rm lo{g_a}x = b \) तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: \(\rm \log_{4}{(x^{2} - 1)} - \log_{4} (x + 1) = 1\)

\(\rm ⇒ \log_{4} \left[{\frac{(x^{2} - 1)}{(x + 1)}} \right ] = 1\)        (∵ \(\rm {\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\))

\(\rm ⇒ \log_{4} \left[{\frac{(x - 1)(x+1)}{(x + 1)}} \right ] = 1\)

\(\rm ⇒ \log_{4} (x -1) = 1\)

⇒ (x - 1) = 4

∴ x = 5

अवधारणा:

लघुगणक:

• यदि ab = x तो हम कहते हैं कि loga x = b
• loga a = 1
• loga (xy) = loga x + loga y

गणना:

हम जानते हैं कि 80 = 23 × 10

दिए गए लघुगणक को log 2 में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

log10 80

= log10 (23 × 10)

= log10 23 + log10 10

= 3 (log10 2) + 1

= 3(0.3010) + 1

= 1.9030

दिया गया है:

5x-1 = (2.5)log105

प्रयुक्त सूत्र:

यदि a^x = n है, तो x = log_aⁿ

log_a^b = log_e^b/log_e^a

गणना:

हमारे पास है, 5x-1 = (2.5)log105

⇒ (2.5)log105 = 5x-1 

⇒ log₁₀⁵  = log_2.5^5x-1 

⇒ log105  = (x - 1) log2.55

⇒ (x - 1) = (log105)/(log2.55)

⇒ (x - 1) = log₁₀^2.5

⇒ x = log102.5 _{+ 1}

⇒ x = log102.5 ₊ log₁₀¹⁰

⇒ x = log1010 × 2.5

⇒ x = log1025

⇒ x = log105²

⇒ x = 2log10​5

∴ x का मान 2log10​5 है।

धारणा:

लघुगणक गुण

1. गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

\({\log _a}\left( {mn} \right) = \;{\log _a}m + \;{\log _a}n\)

2. भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

\({\log _a}\frac{m}{n} = \;{\log _a}m - \;{\log _a}n\)

3. घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

\({\log _a}{m^n} = n{\log _a}m\)

4. आधार का परिवर्तन नियम

\({\log _m}n = \frac{{{{\log }_a}n}}{{{{\log }_a}m}}\)

यदि m = n;

⇒ \({\log _m}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}m}} = 1\)

5. \({\log _m}n = \;\frac{1}{{{{\log }_n}m}}\)

गणना:

यहाँ, हमें \({\log _3}{\rm{\;}}{\log _3}\sqrt {3\sqrt 3 }\) का मूल्य ज्ञात करना है

अब

\({\log _3}{\rm{\;}}{\log _3}\sqrt {3\sqrt 3 }\) = log₃ log₃ (3^1/2 × 3^1/4)

= log₃ log₃ (3^{(1/2 + 1/4)})

= log₃ log₃ (3^{(2 + 1)/4})

= log₃ log₃ (3^3/4)

घात नियम से;

= log₃ [(3/4)× log₃3]                [∵ log_a (m) ⁿ = n × log_a (m)]

= log₃ (3/4)                  (∵ log_m m = 1)

= log₃ (3/4) = log₃ 3 – log₃ 4

= 1 – log₃ 4 = 1 – log₃ 2²

= 1 – 2 log₃ 2

संकल्पना:

प्रयोग किया गया सूत्र:

• \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
• Log_a M + log_a N = log_a (MN)

क्रमगुणित:

• n! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × (n – 1) × n

गणना:

 \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) का प्रयोग करने पर 

\(\frac{1}{{{{\log }_2}{\rm{N}}}} + \frac{1}{{{{\log }_3}{\rm{N}}}} + \ldots + \frac{1}{{{{\log }_{100}}{\rm{N\;}}}} = {\log _{\rm{N}}}2 + {\log _{\rm{N}}}3 + \ldots + {\log _{\rm{N}}}100\)

= log_N (2 × 3 × ⋯ × 100)

= log_N (100!)

\(= \frac{1}{{{{\log }_{100!}}N}}\)

संकल्पना:

लघुगुणक नियम 

log mⁿ = n log m

गणना:

माना कि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं। 

⇒ y = x + 1 और z = y + 1

⇒ z = x + 2

माना कि log (1 + xz) है। 

= log [1 + x(x+2)]

= log [1 + x² + 2x]

= log (1 + x)²

= 2 log (1 + x)

= 2 log y

अतः यदि x, y, z तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, तो log (1 + xz) का मान 2 log y है। 

संकल्पना:

• आधार परिवर्तन प्रमेय से हम जानते हैं कि \({\log _b}a = \frac{{{{\log }_x}a}}{{{{\log }_x}b}} = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\).
• log _x (x) = 1

गणना:

दिया गया है कि \(\left\{ {\frac{1}{{{{\log }_9}60}} + \frac{1}{{{{\log }_{16}}60}} + \frac{1}{{{{\log }_{25}}60}}} \right\}\)

आधार परिवर्तन से हम इसे निम्न रूप में लिखा सकते हैं -

⇒ log₆₀9 + log6016 +log6025

लघुगुणक के गुणनफल नियम से हम इसे निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं -

⇒ log₆₀(9 x 16 x 25) = log₆₀(3600)

⇒ log₆₀ (60)² = 2 log₆₀(60) = 2

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।