Domain of a Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Domain of a Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन f(x) = |x - 3| है, और हमें वक्र और रेखा y = 3 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए, हम फलन को 3 के बराबर रखते हैं:

\( |x - 3| = 3 \)

x के लिए हल करना:

- \( x \geq 3 \) के लिए, \(x - 3 = 3 \), जो x = 6 देता है।
- (x < 3) के लिए, 3 - x = 3, जो x = 0 देता है।

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु x = 0 और x = 6 हैं।

क्षेत्रफल की गणना x = 0 से x = 6 तक वक्र और रेखा के बीच के अंतर को समाकलित करके की जा सकती है। निरपेक्ष मान फलन के कारण समाकल को दो भागों में विभाजित किया गया है:

\( A = \int_{0}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{6} (x - 3) \, dx \)

x [0, 3] में, (f(x) = 3 - x), और (x [3, 6] में), (f(x) = x - 3).

दोनों समाकलों की गणना करें:

- x [0, 3] के लिए:

\( \int_{0}^{3} (3 - x) \, dx = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = 9 - 4.5 = 4.5 \)

- x [3, 6] के लिए:

\( \int_{3}^{6} (x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{6} = 4.5 \)

चरण 4: कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रफलों का योग है:

\( A = 4.5 + 4.5 = 9 \, \text{square units} \)

∴ वक्र और रेखा से परिबद्ध कुल क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।

सही उत्तर विकल्प (4) है। 

गणना:

दिया गया है,

फलन \(f(x) = |x - 3| \) है, जो एक निरपेक्ष मान फलन है।

एक निरपेक्ष मान फलन \(f(x) = |x - a| \) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं, क्योंकि निरपेक्ष मान फलन x के सभी मानों के लिए परिभाषित है। फलन x के लिए धनात्मक और ऋणात्मक दोनों निवेश का प्रबंधन करता है।

चूँकि निरपेक्ष मान फलन के लिए कोई प्रतिबंध या अपरिभाषित बिंदु नहीं हैं, इसलिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

∴ फलन का प्रांत \((-\infty, \infty) \) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

उत्तर (4)

हल:

x + |x| = \(\left\{\begin{array}{c} 2 x, x \geq 0 \\ 0, x<0 \end{array}\right.\)

⇒ \(\frac{1}{\sqrt{x+|x|}}\), प्रांत x > 0 है, क्योंकि 2x ≠ 0 इसी प्रकार,

\(\frac{1}{\sqrt{3 x+10-x^{2}}}\) परिभाषित है जब 3x + 10 - x² > 0

⇒ x² - 3x - 10 < 0

(x - 5) (x + 2) < 0

⇒ x ∈ (-2, 5)

⇒ प्रांत होगा (0, ∞) ∩ (-2, 5) = (0, 5)

⇒ (1 + a)² + b² = 1 + 25 = 26

गणना:

दिया गया है: f(x) = \(\cos x-1+\frac{x^{2}}{2!}, x ∈ \mathbb{R}\)

⇒ f '(x) = - sin x + x

अब, ∀ x ∈ ℝ, x > sin x

⇒ x - sin x > 0

⇒ f '(x) > 0

⇒ f(x) एक वर्धमान फलन है।

∴ f(x) एक वर्धमान फलन है।

सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना

दिया गया है

\(f(x)=\cos ^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)+\left(\log _e(3-x)\right)^{-1}\)

⇒ \(-1 \leq\left|\frac{2-|x|}{4}\right| \leq 1\)

\( \Rightarrow\left|\frac{2-|x|}{4}\right| \leq 1\)

⇒ -4 < 2 - |x| < 4

⇒ -6 < - |x| < 2

⇒ -2 < |x| < 6

⇒ |x| < 6

⇒ x ∈ [-6, 6] …(1)

अब, 3 - x ≠ 1

और x ≠ 2          …(2)

और 3 - x > 0

⇒ x < 3            …(3)

समीकरण (1), (2) और (3) से

⇒ x ∈ [-6, 3) - {2}

⇒ α = 6

⇒ β = 3

⇒ γ = 2

⇒ α + β + γ = 11

इसलिए विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

• एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए, \({\rm{x}} - 2{\rm{\;}} \ne 0\) का अर्थ है कि \({\rm{x\;}} \ne 2\).

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए, \({\rm{x}} - 2 > 0\) का अर्थ है कि \({\rm{x}} > 2.\)

अतः दिए गए फलन का डोमेन \(\left( {2,{\rm{\;}}\infty } \right).\)है। 

संकल्पना:

हम जानते हैं कि, एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की सीमा f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

दिया गया फलन f(x) = \(\sqrt {(16 - x^2)}\) है। 

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की सीमा f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

डोमेन के लिए, \(\rm f(x) \ge 0\)

⇒\( \rm16 - x^2\ge 0 \)

⇒\( \rm16 \ge x^2 \)

⇒\( \rm x^2\le 16 \)

⇒ -4 ≤ x ≤ 4

इसलिए, f(x) का डोमेन = [-4, 4]

सीमा के लिए,

f(x), x = 0 पर अधिकतम है अर्थात् f(0) = 4 

f(x), x = 4 पर न्यूनतम है अर्थात् f(4) = 4  

इसलिए, f(x) की सीमा = [0, 4]

अतः फलन (x) = फलन f(x) = \(\sqrt {(16 - x^2)}\) की डोमेन और सीमा [-4, 4], [0, 4] हैं।  

अवधारणा:

• फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समूह है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया जाता है।
• cos θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• cos-1 (cos θ) = θ
• cos (cos-1 x) = x

गणना:

मान लीजिए कि cos-1 (2x + 1) = θ

⇒ cos (cos-1 (2x + 1)) = cos θ

⇒ cos θ = 2x + 1

चूंकि, -1 ≤ cos θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 2x + 1 ≤ 1

⇒ -1 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ 2x ≤ 0

⇒ \(\rm -\dfrac{2}{2}≤ x ≤ \dfrac{0}{2}\)

⇒ -1 ≤ x ≤ 0

⇒ x ∈ [-1, 0]

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल[-1, 0] है।

अवधारणा:

एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के संभावित मानों का पूरा समुच्चय है।

√f(x) का डोमेन ज्ञात करने के लिए f(x) ≥ o सेट करें

गणना:

दिया गया: \(\rm \sqrt {x^2 \ - \ x - 110}\) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R

हम जानते हैं कि एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के संभावित मानों का पूरा समुच्चय है।

डोमेन खोजने के लिए

= x2 - x - 110 ≥ 0

= x2 - 11x + 10x - 110 ≥ 0

= x(x - 11) + 10(x - 11) ≥ 0

= (x + 10)(x - 11) ≥ 0

= x ≤ - 10 या x ≥ 11

= x ∈ (- ∞, - 10] ∪ [11, ∞)

\(\rm \sqrt {x^2 \ - \ x - 110}\) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R का डोमेन (- ∞, - 10] ∪ [11, ∞) है

अवधारणा:

डोमेन x के सभी संभावित मान का समुच्चय होता है जिसका f(x) का परिमित मूल्य होता है।

गणना:

दिया गया है कि फलन f(x) = 3x

फलन का सभी x ∈ (-∞, ∞) के लिए एक सीमित मान होगा

Mistake Pointsदिए गए फलन का परिसर (0,∞). 0 से होगा। जब x = -∞, और ∞ जब x = ∞ है।

अवधारणा:

प्रांत: फलन f(x) का प्रांत x के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए फलन f(x) उपस्थित है।

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \left| {\rm{x}} \right| = {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x,\;\;x < 0}\\ {x,\;\;x \ge 0} \end{array}} \right.\)

गणना:

हमें फलन \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left| {\rm{x}} \right| - {\rm{x}}} }}\) का प्रांत ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है।

इसलिए, |x| - x > 0  --- (|x| - x ≠ 0)

⇒ |x| > x 

जैसा कि हम देख सकते हैं कि (-∞, 0) में |x|, x से बड़ा है। 

संकल्पना:

फलन की आवर्ती:

• यदि एक फलन को स्थिर आवर्ती में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवर्ती फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के समान दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की आवर्ती है। 

गणना:

हमें फलन f(x) = sin x की आवर्ती ज्ञात करनी है। 

अब, 

f(x + 2π) = sin (x + 2π) = sin x

⇒ f(x + 2π) = f(x)

संकल्पना:

डोमेन: फलन f(x) के डोमेन को x के मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए फलन  f(x) मौजूद है। 

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \left| {\rm{x}} \right| = {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x,\;\;x < 0}\\ {x,\;\;x \ge 0} \end{array}} \right.\)

गणना:

हमें फलन  \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left| {\rm{x}} \right| - {\rm{x}}} }}\) का डोमेन ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि वर्गमूल सदैव धनात्मक होता है। 

इसलिए, |x| - x > 0         (|x| - x ≠ 0)

⇒ |x| > x 

चूँकि हम देख सकते हैं कि |x|, (-∞, 0) में x से बड़ा है। 

संकल्पना:

फलन की आवर्ती:

• यदि एक फलन को स्थिर आवर्ती में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवर्ती फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के समान दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की आवर्ती है। 

गणना:

हमें फलन f(x) = sin x की आवर्ती ज्ञात करनी है। 

अब, 

f(x + 2π) = sin (x + 2π) = sin x

⇒ f(x + 2π) = f(x)