Relations and its properties MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations and its properties - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है, A, 8 से कम सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।

⇒ A = {2, 4, 6}

⇒ m = n(A) = 3

B, 7 से कम अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है।

⇒ B = {2, 3, 5}

⇒ n = n(B) = 3

∴ संबंधों की संख्या = 2^mn = 2⁹

∴ A से B तक संबंधों की संख्या 2⁹ है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

अवधारणा:

n तत्वों वाले समुच्चय पर परिभाषित किए जा सकने वाले संभावित संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2}$ है।

गणना

दिया गया है: A = {5, 8, 9, 12}

समुच्चय A में अवयवों की संख्या n, 4 है। 

उपरोक्त सिद्धांत से, A पर परिभाषित किए जा सकने वाले अलग-अलग संबंधों की कुल संख्या है

⇒ $2^{4^2}$ = 2¹⁶

∴ विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

यदि f(x) एक रैखिक फलन है तब f(x) = ax + b

गणना:

कथन I: मान लीजिये कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z तक एक रैखिक फलन हो। तब f(x) 2x - 1 है।

चूंकि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} एक रैखिक फलन है।

मान लीजिये कि f(x) = ax + b

लेकिन (0,-1) ∈ f

f(0) = a(0) + b = -1 ⇒ b = -1

इसी प्रकार, (1, 1) ∈ f 

f(1) = a(1) + b

⇒ 1 = a + b

⇒ a = 2 

इसलिए, f(x) = 2x -1

कथन I सही है।

कथन II: यदि f(x) =  ${\mathrm{x}}^3-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}$ तब $\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$ 0 के बराबर है।

चूंकि f(x) = ${\mathrm{x}}^3-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}$

$\mathrm{f}(\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{1}{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-{\mathrm{x}}^3$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$ = ${\mathrm{x}}^3-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}+\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-{\mathrm{x}}^3$ = 0

कथन II सही है।

∴ कथन I और II दोनों सही हैं।

संकल्पना:

• जब किसी श्रंखला में किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है, तो वे समांतर श्रेणी या AP में होते हैं। AP का एक उदाहरण 1, 3, 5 ...है
• श्रृंखला की इन दो क्रमागत संख्याओं के बीच के अंतर को सार्व अंतर कहते हैं।
• एक श्रृंखला में संख्याओं के व्युत्क्रम को हरात्मक श्रेणी या H.P. में कहा जाता है। हरात्मक श्रेणी का एक उदाहरण $1,{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{5}},...$है

गणना:

दिया गया है, f धनात्मक पूर्णांकों N के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं R के समुच्चय तक एक फलन है, जैसे कि f(1) = 1 और f(1) + 2f(2) + 3f(2) + _____ + nf(n) = n(n + 1)(f(n))

अब, दिए गए सूत्र के अनुसार, n = 2 के लिए,$f(1)+2f(2)=2(2+1)f(2)\Rightarrow 1+2f(2)=6f(2)\Rightarrow f(2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

इसी प्रकार, n = 3 के लिए,$f(1)+2f(2)+3f(3)=3(3+1)f(3)\Rightarrow 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+3f(3)=12f(3)\Rightarrow f(3)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

और इसी तरह से, $f(4)={\displaystyle \frac{1}{8}}$ और $f(5)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ और आगे भी

इसलिए, इससे यह समझना आसान है कि सामान्य स्थिति में, $f(n)={\displaystyle \frac{1}{2n}}$ 

अब, n = 2006 के लिए , $f(2006)={\displaystyle \frac{1}{2\times 2006}}={\displaystyle \frac{1}{4012}}$

संकल्पना:

• जब किसी श्रंखला में किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है, तो वे समांतर श्रेणी या AP में होते हैं। AP का एक उदाहरण 1, 3, 5 ...है
• श्रृंखला की इन दो क्रमागत संख्याओं के बीच के अंतर को सार्व अंतर कहते हैं।
• एक श्रृंखला में संख्याओं के व्युत्क्रम को हरात्मक श्रेणी या H.P. में कहा जाता है। हरात्मक श्रेणी का एक उदाहरण $1,{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{5}},...$है

गणना:

दिया गया है, f धनात्मक पूर्णांकों N के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं R के समुच्चय तक एक फलन है, जैसे कि f(1) = 1 और f(1) + 2f(2) + 3f(2) + _____ + nf(n) = n(n + 1)(f(n))

अब, दिए गए सूत्र के अनुसार, n = 2 के लिए,$f(1)+2f(2)=2(2+1)f(2)\Rightarrow 1+2f(2)=6f(2)\Rightarrow f(2)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

इसी प्रकार, n = 3 के लिए, $f(1)+2f(2)+3f(3)=3(3+1)f(3)\Rightarrow 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+3f(3)=12f(3)\Rightarrow f(3)={\displaystyle \frac{1}{6}}$

और इसी तरह से, $f(4)={\displaystyle \frac{1}{8}}$ और  $f(5)={\displaystyle \frac{1}{10}}$ और आगे भी 

इसलिए, इससे यह समझना आसान है कि सामान्य स्थिति में,$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2x}}$ 

अवधारणाएँ:

यदि A और B दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं जैसे कि n(A) = p और n(B) = q तो संबंधों की संख्या जो A से B तक परिभाषित की जा सकती है = 2 pq

गणना :

दिया गया: A = {x, y, z} और B = {1, 2}

⇒ n(A) = 3 और n(B) = 2

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि A और B दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं जैसे कि n(A) = p और n(B) = q तो संबंधों की संख्या जो A से B तक परिभाषित की जा सकती है = 2 pq

यहां, p = 3 और q = 2

तो, A से बी तक संबंधों की संख्या = 26

इसलिए, विकल्प 2 सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = 2x, g(x) = x² + 2

तो, (f + g)(2) = f(2) + g(2)

= (2 × 2) + (2² + 2)

= 4 + 6

= 10

गणना:

दिया गया है, f(x) = 3x, g(x) = 3x2 + 9

तो, (f + g)(2) = f(2) + g(2)

= (3 × 2) + (3 × 22 + 9)

= 6 + 21

= 27

 ∴ (f + g) (2) का मान 27 है।

संकल्पना:

1. स्वतुल्य: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है। 

• यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R स्वतुल्य है। 

2. सममित: यदि कोई एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले से संबंधित है।

• यदि सभी x, y ∈ A के लिए और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित है।

3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे से संबंधित है और दूसरा तत्व तीसरे से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है।

• यदि सभी x, y, z ∈ A के लिए और यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक है।

4. यदि A गैर-रिक्त और R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, तो R समतुल्य संबंध है।

5) माना कि R समुच्चय A से दूसरे समुच्चय B तक एक संबंध है। तो R रूप {(x, y): x ∈ A और y ∈ B} का है। R के व्युत्क्रम संबंध को R^-1 द्वारा दर्शाया गया है और इसका सूत्र R^-1 = {(y, x): y ∈ B और x ∈ A} है।

गणना:

कथन I: यदि R स्वतुल्य है, तो R-1 भी स्वतुल्य है।

R स्वतुल्य है।

⇒ (a,a) ∈ R,  a ∈ A

⇒ (a,a) ∈ R⁻¹      [R^-1 के परिभाषा द्वारा]

⇒ R⁻¹ भी स्वतुल्य संबंध है।
कथन II: यदि R सममित है, तो R-1 भी सममित है।

माना कि (b,a) ∈ R−1 है।

⇒ (a,b) ∈ R, a,b ∈ A      [R के परिभाषा द्वारा]

⇒ (b,a) ∈ R         [R सममित है।]

⇒ (a,b) ∈ R⁻¹        [R-1 के परिभाषा द्वारा]

यदि (b,a) ∈ R−1 है, तो (a,b) ∈ R−1 है।

⇒ R⁻¹ भी सममित संबंध है।

कथन III: यदि R संक्रामक है, तो R-1 भी संक्रामक है।

माना कि (b,a), (a,c) ∈ R−1 है।

⇒ (a,b), (c,a) ∈ R       [R-1 के परिभाषा द्वारा]

⇒ (c,a),(a,b) ∈ R

⇒ (c,b) ∈ R        [R संक्रामक है।]

⇒ (b,c) ∈ R^-1       [R-1  के परिभाषा द्वार]

यदि (b,a), (a,c) ∈ R-1 है, तो (b,c) ∈ R-1 है।

⇒ R⁻¹ भी संक्रामक संबंध है।

∴ R⁻¹ स्वतुल्य , सममित और संक्रामक है।

संकल्पना:

समुच्चय A में n तत्व है। 

संबंध केवल A × A है। 

इसलिए, हम n तरीके में क्रमबद्ध युग्म के पहले तत्व और n तरीकों में दूसरे तत्व का चयन कर सकते हैं। 

इसलिए, स्पष्ट रूप से क्रमबद्ध युग्मों के इस समुच्चय में n × n = n² युग्म शामिल है। 

अब, इनमें से प्रत्येक n²क्रमबद्ध युग्म संबंध में मौजूद हो सकते हैं या नहीं सकते हैं। इसलिए, प्रत्येक n² क्रमबद्ध युग्मों के लिए 2 संभावनाएं हैं। 

इसलिए, संबंधों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × ......× (n2  गुना) 

= $2^{n^2}$

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणाएँ:

यदि A और B दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं जैसे कि n(A) = p और n(B) = q तो संबंधों की संख्या जो A से B तक परिभाषित की जा सकती है = 2 pq

गणना :

दिया गया: A = {x, y, z} और B = {1, 2}

⇒ n(A) = 3 और n(B) = 2

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि A और B दो गैर-रिक्त समुच्चय हैं जैसे कि n(A) = p और n(B) = q तो संबंधों की संख्या जो A से B तक परिभाषित की जा सकती है = 2 pq

यहां, p = 3 और q = 2

तो, A से बी तक संबंधों की संख्या = 26

इसलिए, विकल्प 2 सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = 2x, g(x) = x² + 2

तो, (f + g)(2) = f(2) + g(2)

= (2 × 2) + (2² + 2)

= 4 + 6

= 10

गणना:

दिया गया है, f(x) = 3x, g(x) = 3x2 + 9

तो, (f + g)(2) = f(2) + g(2)

= (3 × 2) + (3 × 22 + 9)

= 6 + 21

= 27

 ∴ (f + g) (2) का मान 27 है।

संकल्पना:

1. स्वतुल्य: प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित है। 

• यदि सभी x ∈ A के लिए xRx है, तो R स्वतुल्य है। 

2. सममित: यदि कोई एक तत्व किसी दूसरे तत्व से संबंधित है, तो दूसरा तत्व पहले से संबंधित है।

• यदि सभी x, y ∈ A के लिए और यदि xRy है, तो yRx है, तो R सममित है।

3. संक्रामक: यदि कोई एक तत्व दूसरे से संबंधित है और दूसरा तत्व तीसरे से संबंधित है, तो पहला तत्व तीसरे तत्व से संबंधित है।

• यदि सभी x, y, z ∈ A के लिए और यदि xRy और yRz है, तो xRz है, तो R संक्रामक है।

4. यदि A गैर-रिक्त और R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, तो R समतुल्य संबंध है।

5) माना कि R समुच्चय A से दूसरे समुच्चय B तक एक संबंध है। तो R रूप {(x, y): x ∈ A और y ∈ B} का है। R के व्युत्क्रम संबंध को R^-1 द्वारा दर्शाया गया है और इसका सूत्र R^-1 = {(y, x): y ∈ B और x ∈ A} है।

गणना:

कथन I: यदि R स्वतुल्य है, तो R-1 भी स्वतुल्य है।

R स्वतुल्य है।

⇒ (a,a) ∈ R,  a ∈ A

⇒ (a,a) ∈ R⁻¹      [R^-1 के परिभाषा द्वारा]

⇒ R⁻¹ भी स्वतुल्य संबंध है।
कथन II: यदि R सममित है, तो R-1 भी सममित है।

माना कि (b,a) ∈ R−1 है।

⇒ (a,b) ∈ R, a,b ∈ A      [R के परिभाषा द्वारा]

⇒ (b,a) ∈ R         [R सममित है।]

⇒ (a,b) ∈ R⁻¹        [R-1 के परिभाषा द्वारा]

यदि (b,a) ∈ R−1 है, तो (a,b) ∈ R−1 है।

⇒ R⁻¹ भी सममित संबंध है।

कथन III: यदि R संक्रामक है, तो R-1 भी संक्रामक है।

माना कि (b,a), (a,c) ∈ R−1 है।

⇒ (a,b), (c,a) ∈ R       [R-1 के परिभाषा द्वारा]

⇒ (c,a),(a,b) ∈ R

⇒ (c,b) ∈ R        [R संक्रामक है।]

⇒ (b,c) ∈ R^-1       [R-1  के परिभाषा द्वार]

यदि (b,a), (a,c) ∈ R-1 है, तो (b,c) ∈ R-1 है।

⇒ R⁻¹ भी संक्रामक संबंध है।

∴ R⁻¹ स्वतुल्य , सममित और संक्रामक है।

संकल्पना:

समुच्चय A में n तत्व है। 

संबंध केवल A × A है। 

इसलिए, हम n तरीके में क्रमबद्ध युग्म के पहले तत्व और n तरीकों में दूसरे तत्व का चयन कर सकते हैं। 

इसलिए, स्पष्ट रूप से क्रमबद्ध युग्मों के इस समुच्चय में n × n = n² युग्म शामिल है। 

अब, इनमें से प्रत्येक n²क्रमबद्ध युग्म संबंध में मौजूद हो सकते हैं या नहीं सकते हैं। इसलिए, प्रत्येक n² क्रमबद्ध युग्मों के लिए 2 संभावनाएं हैं। 

इसलिए, संबंधों की कुल संख्या = 2 × 2 × 2 × ......× (n2  गुना) 

= $2^{n^2}$

अतः विकल्प (3) सही है।