Special Functions MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Special Functions - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

\(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) এবং (a ≠ b ≠ c)

ব্যবহৃত সূত্র:

log(m x n) = log m + log n

গণনা:

আমরা পাই,

⇒ \(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) = k (ধরা হল)

⇒ log₁₀a = k(b - c) ------ (1)

⇒ log₁₀b = k(c - a) ----- (2)

⇒ log₁₀c = k(a - b) ------ (3)

(1), (2) এবং (3) সমীকরণ যোগ করে পাই

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = k(b - c + c - a + a - b)

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = k x 0

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = 0

⇒ log₁₀(abc) = 0

⇒ abc = 10⁰

⇒ abc = 1

∴ যদি \(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) হয়, (a ≠ b ≠ c), তাহলে abc এর মান 1।

ধারণা:

একটি ফাংশনের ডোমেইন বলতে বোঝায় ফাংশনে প্রবেশকারী "সকল মান"।

একটি ফাংশনের ডোমেইন হল ফাংশনের সম্ভাব্য সকল ইনপুটের সেট।

লগারিদমের ধর্মাবলী

log_ax = b ⇒ x = a^b

গণনা:

প্রদত্ত: log1/3 [log4 (x2 - 12)] > 0

⇒ log₄​ (x² − 12)] < \((\frac{1}{3})^0\)

⇒ log₄ ​(x² − 12) < 1

⇒ x² − 12 < 4

⇒ x² - 16 < 0

⇒ (x − 4) (x + 4) < 0

⇒ এখানে, অসমীকরণটি সংখ্যা রেখাকে তিনটি অঞ্চলে ভাগ করে, এবং এটি অসমতাটিকে পূরণ করে: x ∈ (− 4, 4)

আবার, আমরা জানি যে log₄(x²-12) > 0 কারণ এটি log_1/3 এর যুক্তি

⇒ log4​ (x2 − 12)] > 0

⇒ x2 − 12 > 4⁰

⇒ x2 − 12 > 1

⇒ x² − 13 > 0

⇒ (x − √13​) (x + √13​) > 0

⇒ x ∈ (−∞, - √13​) ∪ (√13​, ∞)

অতএব, x ∈ (− 4, −√13) ∪ (√13, 4)

প্রদত্ত আছে যে \(\frac{1}{2}, \frac{log_3(2^x-9)}{log_34}\), এবং \( \frac{log_35(2^x-\frac{17}{2})}{log_54}\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।

⇒ \(\frac{log_3(2^x-9)}{log_34}\) = \(log_4(2^x-9)\) , এবং \( \frac{log_35(2^x-\frac{17}{2})}{log_54}\) = \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\)

কারণ \(\frac{log_ab}{log_ac} = log_bc\)

অতএব, \(\frac{1}{2}, \) \(log_4(2^x-9)\), এবং \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।

যখন তিনটি পদ p,q,r সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তখন (p + r = 2q)

⇒ \(\frac{1}{2} \) + \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) = 2 x \(log_4(2^x-9)\)

এখানে, \(\frac{1}{2} \) কে \(log_42\) লেখা যায়

∴ \(log_42\) + \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) = 2 \(log_4(2^x-9)\)

⇒ \(log_42(2^x-\frac{17}{2})\) = \(log_4(2^x-9)^2 \)

⇒ \(2(2^x-\frac{17}{2})\) = \((2^x-9)^2 \)

⇒ \(2.2^{x} + 17\) = \(2^{2x} - 18.2^x + 81 \)

⇒ \(2^{2x} - 20.2^x + 64 = 0 \)

⇒ \(2^{2x} - 4.2^x - 16.2^x + 64 = 0 \)

⇒ \(2^x(2^x - 4) - 16(2^x - 4) = 0 \)

⇒ \((2^x - 16)(2^x - 4) = 0 \)

এখন, 2^x = 4 অথবা 2^x = 16, কিন্তু 2^x ≠ 4 কারণ তাহলে log-এর মান অসংজ্ঞাত হবে।

⇒ \(2^x = 16 \)

∴ সাধারণ অন্তর = \(log_4(2^x-9) - log_42\) = \(log_4(16-9) - log_42\) = \(log_4(7) - log_42\) = \(log_4(\frac{7}{2})\)

ব্যাখ্যা -

আমাদের দেওয়া আছে, \(x^{\log _5 x} \) > 5

স্পষ্টতই, এটি x > 0-এর জন্য অর্থপূর্ণ।

এখন, দুটি কেস উঠে আসে:

কেস I যখন x > 1

এই ক্ষেত্রে, আমাদের আছে

\(x^{\log _5 x} \) > 5

⇒ log₅ x > log_x 5 \(\left[∵ a^x>N \Rightarrow x>\log _a N \text {, if } a>1\right]\)

⇒ log₅ x > \(\frac{1}{\log _5 x}\)

⇒ (log₅ x - 1) (log₅ x + 1) > 0

⇒ log₅ x - 1 > 0 ⇒ x > 5 ⇒ x ∈ (5,∞)

কেস II যখন 0 < x < 1

এই ক্ষেত্রে, আমাদের আছে

x^{log5 x} >5

⇒ log₅ x log_x 5 [∵ a^x > N ⇒ x < log_a N, if 0 < a < 1]

⇒ log₅ x < \(\frac{1}{\log _5 x}\)

⇒ (logs x)² - 1 > 0

⇒ (log₅ x - 1) (log₅ x + 1) > 0

⇒ (log₅ x + 1) ⇒ x < 5^-1 ⇒ x ∈ (0, 1/5)

অতএব, x ∈ (0, 1/5) ∪ (5, ∞)

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ব্যাখ্যা -

আমাদের দেওয়া আছে,

\(\frac{\log _2 a}{2}=\frac{\log _3 b}{3}=\frac{\log _4 c}{4}\) = λ (ধরা হল)

⇒ a = 2^2λ, b = 3^3λ, c = 4^4λ

এখন,

a^1/2 b^1/3 c^1/4 = 24

⇒ 2^λ x 3^λ x 4^λ = 24 ⇒ 2^λ x 3^λ x 4^λ = 2 x 3 x 4 ⇒ λ = 1

সুতরাং, a = 2² = 4, b = 3³ = 27 এবং c = 4⁴ = 256।

প্রয়োজনীয় সূত্র:

\(a^{log_a x} = x\)

গণনা:

\(7^{log_7(x^2-4x+5)} = x-1\)

উপরের সূত্র ব্যবহার করে পাই

⇒ x² - 4x + 5 = x -1

⇒ x² - 5x + 6 = 0

⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0

⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

⇒ (x - 2)(x - 3) = 0

∴ x = 2 এবং 3

অনুসৃত ধারণা :

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক : (সিলিং ফাংশন)

অপেক্ষক f (x) = [x] কে ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক বলা হয় এবং [x] এর মান সর্বদা ভিতরের অপেক্ষক এর চেয়ে কম বা সমান হবে।

⇒ [x] ≥ x।

যদি f :A → B এবং g : C → D. তাহলে (fog) (x) বিদ্যমান থাকবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি f-এর g = ডোমেন অর্থাৎ D = A এবং (gof) (x) এর কো-ডোমেন বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কো-ডোমেন f = g এর ডোমেন অর্থাৎ B = C।

এখানে, f এর codomain হল Z এবং g এর ডোমেইনও Z তাই (gof) (x) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষকের গ্রাফ,

গণনা :

প্রদত্ত :

f(x) = [x], যেখানে [.] ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক এবং g(x) = 5 x বোঝায়

এখানে, আমাদের gof (1/2) এর মান খুঁজে বের করতে হবে

⇒ gof(1/2) = g(f(1/2))

∵ f(x) = [x] তাই, f(1/2) = [1/2] = [0.5] = 1

⇒ gof(1/2) = g(1)

∵ g(x) = 5 ^x তাই, g(1) = 5 ¹   = 5

সুতরাং, gof(1/2) = 5

প্রদত্ত আছে যে \(\frac{1}{2}, \frac{log_3(2^x-9)}{log_34}\), এবং \( \frac{log_35(2^x-\frac{17}{2})}{log_54}\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।

⇒ \(\frac{log_3(2^x-9)}{log_34}\) = \(log_4(2^x-9)\) , এবং \( \frac{log_35(2^x-\frac{17}{2})}{log_54}\) = \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\)

কারণ \(\frac{log_ab}{log_ac} = log_bc\)

অতএব, \(\frac{1}{2}, \) \(log_4(2^x-9)\), এবং \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) সমান্তর প্রগতিতে আছে।

যখন তিনটি পদ p,q,r সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তখন (p + r = 2q)

⇒ \(\frac{1}{2} \) + \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) = 2 x \(log_4(2^x-9)\)

এখানে, \(\frac{1}{2} \) কে \(log_42\) লেখা যায়

∴ \(log_42\) + \(log_4(2^x-\frac{17}{2})\) = 2 \(log_4(2^x-9)\)

⇒ \(log_42(2^x-\frac{17}{2})\) = \(log_4(2^x-9)^2 \)

⇒ \(2(2^x-\frac{17}{2})\) = \((2^x-9)^2 \)

⇒ \(2.2^{x} + 17\) = \(2^{2x} - 18.2^x + 81 \)

⇒ \(2^{2x} - 20.2^x + 64 = 0 \)

⇒ \(2^{2x} - 4.2^x - 16.2^x + 64 = 0 \)

⇒ \(2^x(2^x - 4) - 16(2^x - 4) = 0 \)

⇒ \((2^x - 16)(2^x - 4) = 0 \)

এখন, 2^x = 4 অথবা 2^x = 16, কিন্তু 2^x ≠ 4 কারণ তাহলে log-এর মান অসংজ্ঞাত হবে।

⇒ \(2^x = 16 \)

∴ সাধারণ অন্তর = \(log_4(2^x-9) - log_42\) = \(log_4(16-9) - log_42\) = \(log_4(7) - log_42\) = \(log_4(\frac{7}{2})\)

ব্যাখ্যা -

আমাদের দেওয়া আছে,

\(\frac{\log _2 a}{2}=\frac{\log _3 b}{3}=\frac{\log _4 c}{4}\) = λ (ধরা হল)

⇒ a = 2^2λ, b = 3^3λ, c = 4^4λ

এখন,

a^1/2 b^1/3 c^1/4 = 24

⇒ 2^λ x 3^λ x 4^λ = 24 ⇒ 2^λ x 3^λ x 4^λ = 2 x 3 x 4 ⇒ λ = 1

সুতরাং, a = 2² = 4, b = 3³ = 27 এবং c = 4⁴ = 256।

প্রয়োজনীয় সূত্র:

\(a^{log_a x} = x\)

গণনা:

\(7^{log_7(x^2-4x+5)} = x-1\)

উপরের সূত্র ব্যবহার করে পাই

⇒ x² - 4x + 5 = x -1

⇒ x² - 5x + 6 = 0

⇒ x² - 2x - 3x + 6 = 0

⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0

⇒ (x - 2)(x - 3) = 0

∴ x = 2 এবং 3

অনুসৃত ধারণা :

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক : (সিলিং ফাংশন)

অপেক্ষক f (x) = [x] কে ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক বলা হয় এবং [x] এর মান সর্বদা ভিতরের অপেক্ষক এর চেয়ে কম বা সমান হবে।

⇒ [x] ≥ x।

যদি f :A → B এবং g : C → D. তাহলে (fog) (x) বিদ্যমান থাকবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি f-এর g = ডোমেন অর্থাৎ D = A এবং (gof) (x) এর কো-ডোমেন বিদ্যমান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কো-ডোমেন f = g এর ডোমেন অর্থাৎ B = C।

এখানে, f এর codomain হল Z এবং g এর ডোমেইনও Z তাই (gof) (x) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে।

ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষকের গ্রাফ,

গণনা :

প্রদত্ত :

f(x) = [x], যেখানে [.] ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা অপেক্ষক এবং g(x) = 5 x বোঝায়

এখানে, আমাদের gof (1/2) এর মান খুঁজে বের করতে হবে

⇒ gof(1/2) = g(f(1/2))

∵ f(x) = [x] তাই, f(1/2) = [1/2] = [0.5] = 1

⇒ gof(1/2) = g(1)

∵ g(x) = 5 ^x তাই, g(1) = 5 ¹   = 5

সুতরাং, gof(1/2) = 5

প্রদত্ত:

\(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) এবং (a ≠ b ≠ c)

ব্যবহৃত সূত্র:

log(m x n) = log m + log n

গণনা:

আমরা পাই,

⇒ \(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) = k (ধরা হল)

⇒ log₁₀a = k(b - c) ------ (1)

⇒ log₁₀b = k(c - a) ----- (2)

⇒ log₁₀c = k(a - b) ------ (3)

(1), (2) এবং (3) সমীকরণ যোগ করে পাই

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = k(b - c + c - a + a - b)

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = k x 0

⇒ log₁₀a + log₁₀b + log₁₀c = 0

⇒ log₁₀(abc) = 0

⇒ abc = 10⁰

⇒ abc = 1

∴ যদি \(\rm \frac{\log_{10}a}{b-c}=\frac{\log_{10}b}{c-a}=\frac{\log_{10}c}{a-b}\) হয়, (a ≠ b ≠ c), তাহলে abc এর মান 1।

ব্যাখ্যা -

আমাদের আছে,

xyz + 1 = log_2a a x log_3a 2a x log_3a 4a + 1

⇒ xyz + 1 = log_4a a + 1

⇒ xyz + 1 = log_4a a + log_4a 4a = log_4a (2a)²

⇒ xyz + 1 = log^4a (2a)² = 2 log_4a 2a = 2 log_3a 2a x log_4a 3a

⇒ xyz + 1 = 2yz

অতএব, বিকল্প (1) সঠিক।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:

1. log m - log n = log(m/n)
2. n log m = log mⁿ
3. log_aa = 1

গণনা:

প্রদত্ত,

log3 4 - 2log₃ \(\sqrt{3x + 1}\) = 1 - log3(5x - 2)

সূত্র (2) ও (3) ব্যবহার করে,

⇒ log₃4 - log₃ \((\sqrt{3x + 1})^2\) = log₃3 - log₃(5x - 2)

সূত্র (1) ব্যবহার করে

⇒ log₃\([\frac{4}{3x+1}]\) = log₃\([\frac{3}{5x-2}]\)

উভয়পক্ষ তুলনা করে,

⇒ \([\frac{4}{3x+1}]\) = \([\frac{3}{5x-2}]\)

⇒ 4(5x - 2) = 3(3x + 1)

⇒ 20x - 8 = 9x + 3

⇒ 11x = 11

∴ x = 1

ব্যাখ্যা -

আমাদের দেওয়া আছে,

\(\frac{\log _{10} a}{2}\) = \(\frac{\log _{10} b}{3}\) = \(\frac{\log _{10} c}{5}\) = λ(ধরা হল)

⇒ log₁₀ a = 2λ, log₁₀ b = 3λ, log₁₀ c = 5λ

⇒ a = 10^2λ, b = 10^3λ, c = 10^5λ

⇒ bc = 108λ = (102λ)4 = a4

অতএব, বিকল্প (4) সঠিক।