Permutation and Combination MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Permutation and Combination - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

தீர்வு:

4 ஆல் வகுபடுவதற்கு, கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 4 ஆல் வகுபட வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட இலக்கங்களில் இருந்து, 5 இலக்க எண்ணின் கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 12, 32, 72, 92 மற்றும் 28 ஆக இருக்கலாம்.

இந்த எண்களுக்கெல்லாம், முதல் 3 இடங்கள் மீதமுள்ள 4 எண்களால் நிரப்பப்படும்,

எனவே சாத்தியமான சேர்க்கைகள் 4C3 = 4 வழிகளில் உள்ளன.

ஆனால் இந்த எண்கள் 3! வழிகளில் = 6 வழிகளில் மாற்றியமைக்கப்படலாம்.

எனவே 5 இலக்க எண்ணை உருவாக்கும் மொத்த வழிகள் 4 x 6 = 24. கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 12 ஆக இருக்கும்.

கடைசி இரண்டு இலக்கங்கள் 32, 72, 92 மற்றும் 28 ஆக இருப்பதற்கும் இதுவே பொருந்தும்.

எனவே, வரிசைப்படுத்தும் மொத்த வழிகள் = 5 x 24 = 120 வழிகள்.

கருத்து:-

கணக்கீட்டின் அடிப்படை கருத்து.

கணக்கீடு:-

ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் ஐந்து வழிகளில் பதிலளிக்கலாம், அதாவது நான்கு விருப்பங்களில் ஒவ்வொன்றும் மற்றும் கேள்விக்கு முயற்சிக்காமல் இருப்பதற்கான விருப்பம்.

ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் பதிலளிக்க எத்தனை வழிகள் = 5

மொத்த வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5 ²⁰

விளக்கம்:

கூட்டத்தில் மொத்தம் 45 பேர் உள்ளனர், அவர்களில் 40 பேர் ஒருவரையொருவர் அறிந்தவர்கள்.

எனவே 5 பேர் யாரையும் அறியாதவர்கள்.

அந்த 5 பேரை A, B, C, D, E என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

எனவே A, 44 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்.

B, 43 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்.

C 42 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

D, 41 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

E, 40 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

எனவே மொத்த கை குலுக்கல்கள் = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

விடை (3) சரியானது

கொடுக்கப்பட்டது:

ஒரு தொழில் மாநாட்டின் முடிவில், பத்து பேரும் ஒருமுறை ஒருவருக்கொருவர் கைகுலுக்கிக் கொள்கிறார்கள்.

சூத்திரம்:

சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை:

 r நேரத்தில் செய்யப்பட்ட n விஷயங்களின் அனைத்து சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை:

nCr = n! / [(r!) (n – r)!]

கணக்கீடு:

தேவையான குலுக்கல் கைகளின் எண்ணிக்கை = 10C2

⇒ ${\displaystyle \frac{10!}{2!\times (10-2)!}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{10!}{2!\times 8!}}$

⇒ ${\displaystyle \frac{10\times 9\times 8!}{2\times 1\times 8!}}$ = 45

கொடுக்கப்பட்டது:

வீரர்களின் எண்ணிக்கை = 6

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

${}^n{C}_r={\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!\times r!}}$

கணக்கீடு:

ஒவ்வொரு வீரரும் மற்ற வீரர்களுடன் ஒரு முறை விளையாடுவார்கள்.

எனவே, ஒரு விளையாட்டை விளையாட 6 வீரர்களில் 2 வீரர்கள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும்.

n = 6 மற்றும் r = 2

6C2 = 6! / (6-2)! × 2!
= 6 x 5 x 4! / 4! x 2! = 15
எனவே, 15 சரியான விடை. =6×5×4!4!×2!" role="presentation" style=" position: relative;" tabindex="-1">

⇒ 3, 5 மற்றும் 7  இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தி உருவாக்கக்கூடிய இரண்டு இலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை = 3 × 3.

∴ 9 சாத்தியமான இரண்டு இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம்.

9 சாத்தியமான இரண்டு இலக்க எண்கள்:

33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77

கொடுக்கப்பட்டவை:

கொடுக்கப்பட்ட சொல் 'GEOGRAPHY'

கணக்கீடு:

'GEOGRAPHY' என்ற சொல்லில் 9 எழுத்துக்கள் உள்ளன. அதில் E, O, A என்ற உயிர்மெய் எழுத்துக்கள் உள்ளன, இந்த 3 உயிரெழுத்துக்களும் எப்போதும் ஒன்றாக வரவேண்டும். எனவே இந்த 3 உயிரெழுத்துக்களையும் தொகுத்து ஒற்றை எழுத்தாகக் கருதலாம். அதாவது, GGRPHY(EOA).

இந்த சொல்லில் 7 எழுத்துக்கள் இருக்கட்டும் ஆனால் இந்த 7 எழுத்துக்களில் 'G' ஆனது 2 முறை வருகிறது, ஆனால் மீதமுள்ள எழுத்துக்கள் வேறுபட்டவை.

இப்போது,

இந்த எழுத்துக்களை சீரமைப்பு செய்வதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 7!/2!

⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3 உயிரெழுத்துக்களில் (EOA), அனைத்து உயிரெழுத்துக்களும் வேறுபட்டவை

இந்த உயிரெழுத்துக்களை அமைப்பதற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 3!

⇒ 3 × 2 × 1 = 6

இப்போது, 

தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 2520 × 6 

⇒ 15120

∴ தேவையான வழிகளின் எண்ணிக்கை 15120 ஆகும்.

விளக்கம்:

கூட்டத்தில் மொத்தம் 45 பேர் உள்ளனர், அவர்களில் 40 பேர் ஒருவரையொருவர் அறிந்தவர்கள்.

எனவே 5 பேர் யாரையும் அறியாதவர்கள்.

அந்த 5 பேரை A, B, C, D, E என்று வைத்துக் கொள்வோம்.

எனவே A, 44 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்.

B, 43 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்.

C 42 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

D, 41 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

E, 40 பேருடன் கை குலுக்கிக் கொள்வார்

எனவே மொத்த கை குலுக்கல்கள் = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

விடை (3) சரியானது

கொடுக்கப்பட்டவை:

(7 ஆண்கள் + 6 பெண்கள்) ஒரு குழுவிற்கு 5 நபர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்.

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

nCr = n!/(n - r)! r!

கணக்கீடு:

குறைந்தது 3 ஆண்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வழிகள்;

⇒ 3 ஆண்கள் + 2 பெண்கள்

⇒ 4 ஆண்கள் + 1 பெண்

⇒ 5 ஆண்கள் + 0 பெண்

வழிகளின் எண்ணிக்கை =  7C3 × 6C2 + 7C4 × 6C1 + 7C5 × 6C0

⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5! × 2!) × 6!/(6!× 0!)

⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21

⇒ 735 + 21 = 756

∴ தேவையான வழிகள் = 756.

Important Points
0! இன் மதிப்பு 1 ஆகும்.

448 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7

⇒ 448 = 2⁶ x 7¹

∴ மாணவர்களிடையே சமமாகப் பகிர்ந்து கொள்ள வேண்டிய மொபைல் போன்களின் எண்ணிக்கை = (6 + 1) x (1 + 1) = 7 x 2 = 14

கொடுக்கப்பட்டவை

'FIGHT' என்ற வார்த்தையில் உள்ள மொத்த எழுத்துக்கள் = 5

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு 

எழுத்துக்களை வரிசைப்படுத்தும் ஏற்பாட்டின் மொத்த எண்ணிக்கை   = n!

கணக்கீடு

n வெவ்வேறு வார்த்தைகளை (மீண்டும் சொல்லாமல்) அமைப்பதற்கான வெவ்வேறு வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ தேவையான பதில் 120 ஆகும் 

கொடுக்கப்பட்டவை:

5, 6, 7, 8, 9 ஆகியவை 3 இலக்க எண்ணை உருவாக்குவதற்கான இலக்கங்கள்

கணக்கீடு:

3 இலக்க எண்களின் முறையே H T U (நூற்றிடத்திலக்கம் (Hundreds), பத்தினிடத்திலக்கம் (tens), ஒன்றினிடத்திலக்கம் (unit digit)) என எடுத்துக்கொள்வோம்

3 இலக்க ஒற்றைப்படை எண்ணை  உருவாக்கவும்

5, 7, 9 ஆகியவை ஒன்றினிடத்திலக்க இடத்தில் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படலாம்

நூற்றிடத்திலக்க மற்றும் பத்தினிடத்திலக்க இடங்களில் 5 இலக்கங்களும் சாத்தியமாகும்

ஒன்றினிடத்திலக்கத்திற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 3

பத்தினிடத்திலக்கத்திற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5

நூற்றிடத்திலக்கத்திற்கான வழிகளின் எண்ணிக்கை = 5

3 இலக்கங்களின் ஒற்றைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கை = 3 × 5 × 5 = 75

∴ 5, 6, 7, 8, 9 ஆகியவை தொடர்முறை இலக்கங்கள் எனில், இந்த இலக்கங்களிலிருந்து 75 மூன்று இலக்க ஒற்றைப்படை எண்களை உருவாக்க முடியும்

கொடுக்கப்பட்டவை:

2, 5, 6, 7 மற்றும் 8 ஆகிய 5 எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

மீண்டும் நிகழாத நான்கு இலக்க எண்

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

மீண்டும் நிகழாத வரிசைமாற்றம் = $\frac{n!}{(n-r)!}$

இங்கு n = மொத்த சாத்தியமுள்ள எண்கள்

r = தேவையான எண்

கணக்கீடு:

இங்கு மொத்த சாத்தியமுள்ள எண் n = 5

மற்றும் தேவையான எண் r = 4

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்

$\frac{5!}{(5-4)!}$

⇒ 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ 120 சாத்தியமுள்ள நான்கு இலக்க எண் இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

நான்கு நாற்காலிகளில் 10 நபர்களின் ஏற்பாடுகளின் வழிகளின் எண்ணிக்கை

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ⁿ P _r = n!/(n – r)!

எங்கே, n = நபர்களின் எண்ணிக்கை

r = நாற்காலிகளின் எண்ணிக்கை

கணக்கீடு:

கேள்வியின் படி

n P r = n!/(n – r)!

⇒ 10!/(10 - 4)!

⇒ 10!/6!

⇒ (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)

⇒ (10 × 9 × 8 × 7)

⇒ 5040

∴ தேவையான மதிப்பு 5040

கொடுக்கப்பட்டவை:

நபர்களின் எண்ணிக்கை = 40

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ⁿ C _r = n!/(r!(n – r)!)

கணக்கீடு:

n = 40

r = 2

40C2 = 40!/(2!(40 – 2)!) = (40 × 39)/2

⇒ 780 

Alternate Method ஒவ்வொரு நபரும் (40 பேர் கொண்ட குழுவில்) மற்ற அனைவருடனும் (மற்ற 39 உறுப்பினர்கள்) கைகுலுக்குகிறார்கள்.

ஆக, மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கை = 40 × 39 = 1560

ஆனால், ஒருவர் இன்னொருவருடன் கைகுலுக்கும்போது, மற்றவர் முதல்வருடன் கைகுலுக்குகிறார் என்று சொல்லலாம்.

உதாரணமாக, A, B உடன் கைகுலுக்கும்போது, B, A உடன் கைகுலுக்குகிறார் என்று அர்த்தம்.

அதாவது, இங்கே, 1560 கைகுலுக்கல்களில் இரண்டு பேர் இரண்டு முறை கைகுலுக்கிக் கொள்வதைக் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம்.

எனவே, மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கை = 1560/2 = 780 கைகுலுக்கல்கள்.

∴ கைகுலுக்கல்களின் சாத்தியமான எண்ணிக்கை 780 ஆகும்.