বিন্যাস ও সমবায় MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Permutation and Combination - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

7 জন পুরুষ এবং 6 জন মহিলার একটি দল থেকে 5 জনকে একটি কমিটি গঠনের জন্য নির্বাচন করতে হবে যাতে কমিটিতে অন্তত 3 জন পুরুষ থাকে।

অনুসৃত সূত্র:

সমন্বয়: \(^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\)

গণনা:

অন্তত 3 জন পুরুষ সহ একটি কমিটি গঠন করার জন্য, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রগুলি রয়েছে:

ক্ষেত্র 1: 3 জন পুরুষ এবং 2 জন মহিলা

⇒ \(^7C_3 \times ^6C_2\)

⇒ \(\dfrac{7!}{3!(7-3)!} \times \dfrac{6!}{2!(6-2)!}\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1}\)

⇒ 35 x 15 = 525

ক্ষেত্র 2: 4 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা

⇒ \(^7C_4 \times ^6C_1\)

⇒ \(\dfrac{7!}{4!(7-4)!} \times \dfrac{6!}{1!(6-1)!}\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 6\)

⇒ 35 x 6 = 210

ক্ষেত্র 3: 5 জন পুরুষ এবং 0 জন মহিলা

⇒ \(^7C_5 \times ^6C_0\)

⇒ \(\dfrac{7!}{5!(7-5)!} \times 1\)

⇒ \(\dfrac{7 \times 6}{2 \times 1}\)

⇒ 21

মোট উপায় = 525 + 210 + 21

⇒ 756

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 4

সমাধান:

4 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার জন্য, শেষ দুটি অঙ্ক 4 দিয়ে বিভাজ্য হতে হবে।

প্রদত্ত অঙ্কগুলি থেকে পাঁচ-অঙ্কের সংখ্যার শেষ দুটি অঙ্ক হতে পারে 12, 32, 72, 92 এবং 28।

এই সংখ্যাগুলির জন্য, প্রথম 3 টি স্থান বাকি 4 টি সংখ্যা দিয়ে পূরণ করা হবে।

তাই সম্ভাব্য সংমিশ্রণগুলির সংখ্যা 4C3 = 4 টি।

কিন্তু এই সংখ্যাগুলি 3! = 6 ভাবে পুনর্বিন্যাস করতে পারে।

তাই 5-অঙ্কের সংখ্যা গঠনের মোট উপায় 4 x 6 = 24 টি, যার শেষ দুটি অঙ্ক 12।

শেষ দুটি অঙ্ক 32, 72, 92 এবং 28 হলেও একই কথা প্রযোজ্য।

তাই ব্যবস্থাপনার মোট উপায় = 5 x 24 = 120 টি।

ধারণা:-

গণনার প্রাথমিক ধারণা।

গণনা:-

প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর পাঁচটি ভাবে দেওয়া যায়, অর্থাৎ চারটি বিকল্প এবং প্রশ্নটি ছেড়ে দেওয়ার বিকল্প।

প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার উপায়ের সংখ্যা = 5

মোট উপায়ের সংখ্যা = 5²⁰

ধরা যাক বস্তুগুলি হ'ল A, A, B এবং C

বস্তু C চারটি বালককে 4 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।

বস্তু B অবশিষ্ট 3 জন বালককে 3 টি উপায়ে  দেওয়া যেতে পারে।

এখন, দুটি A একইরকম এবং অবশিষ্ট দুটি বালককে 1 টি  উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।

∴ মোট উপায়ের সংখ্যা = 4 × 3 × 1 = 12

 ⇒ 3 , 5 এবং 7 এই তিনটি সংখ্যা ব্যবহার করে যতগুলি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে  = 3 × 3 । 

∴ 9 টি দুই অঙ্কের সংখ্যা সৃষ্টি হতে পারে।

যে কটি দুই অঙ্কের সংখ্যা তৈরি হতে পারে : 

33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77 

প্রদত্ত:

প্রদত্ত শব্দটি হল  'GEOGRAPHY'

গণনা:

'GEOGRAPHY' শব্দটিতে 9টি অক্ষর রয়েছে। এতে E, O, A স্বরবর্ণ রয়েছে এবং এই 3টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে। তাই এই 3টি স্বরবর্ণকে গোষ্ঠীবদ্ধ করা যেতে পারে এবং একটি একক অক্ষর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; অর্থাৎ, GGRPHY(EOA)।

মনে করি এই শব্দে 7টি অক্ষর আছে কিন্তু এই 7টি অক্ষরে 2 বার 'G' আসলেও বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন।

এখন,

এই অক্ষর সাজানোর উপায় সংখ্যা = 7!/2!

⇒ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520

3টি স্বরবর্ণ (EOA)-তে, সকল স্বরবর্ণ আলাদা

এই স্বরবর্ণগুলি সাজানোর উপায় সংখ্যা = 3!

⇒ 3 × 2 × 1 = 6

এখন,

উপায়ের প্রয়োজনীয় সংখ্যা = 2520 × 6

⇒ 15120

∴ উপায়ের প্রয়োজনীয় সংখ্যা হল 15120

ব্যাখ্যা:

সভায় মোট 45 জন ব্যক্তি আছে এবং তাদের মধ্যে 40 জন একে অপরকে চেনে।

তাই 5 জন কাউকেই চেনে না।

ধরা যাক ঐ 5 জন হলো A, B, C, D, E

তাহলে A 44 জনের সাথে করমর্দন করবে।

B 43 জনের সাথে করমর্দন করবে

C 42 জনের সাথে করমর্দন করবে

D 41 জনের সাথে করমর্দন করবে

এবং E 40 জনের সাথে করমর্দন করবে

অতএব মোট করমর্দন = 44 + 43 + 42 + 41 + 40 = 210

বিকল্প (3) সঠিক

প্রদত্ত:

(7 জন পুরুষ + 6 জন মহিলা) থেকে একটি কমিটির জন্য 5 জনকে বেছে নিতে হবে।
অনুসৃত সূত্র:

nCr = n!/(n - r)! r!

গণনা:

যে উপায়ে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ নির্বাচন করা যাবে;

⇒ 3 জন পুরুষ + 2 জন মহিলা

⇒ 4 জন পুরুষ + 1 জন মহিলা

⇒ 5 পুরুষ + 0 মহিলা

উপায় সংখ্যা = 7C3 × 6C2 + 7C4 × 6C1 + 7C5 × 6C0

⇒ 7!/(3! × 4!) × 6!/(2! × 4!) + 7!/(4! × 3!) × 6!/(1! × 5!) + 7!/(5 ! × 2!) × 6!/(6!× 0!)

⇒ 35 × 15 + 35 × 6 + 21

⇒ 735 + 21 = 756

∴ নির্বাচনএর উপায়ের সংখ্যা = 756

Important Points

0! এর মান  হল 1

448 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 7

⇒ 448 = 2 ⁶ x 7 ¹

∴ প্রয়োজনীয় সংখ্যক মোবাইল ফোন শিক্ষার্থীদের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা হবে = (6 + 1) x (1 + 1) = 7 x 2 = 14

প্রদত্ত:

'FIGHT' শব্দের মোট বর্ণসংখ্যা = 5

অনুসৃত ধারণা:

বিন্যাসের মোট সংখ্যা পদ্ধতি = n!

গণনা:

n বিভিন্ন শব্দের বিন্যাসের বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা (পুনরাবৃত্তি ছাড়া) = 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ নির্ণেয় উত্তর হল 120

প্রদত্ত:

5, 6, 7, 8, 9 অঙ্কগুলি দ্বারা 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হয়

গণনা:

ধরি, অঙ্ক 3 টি হল যথাক্রমে H T U  (শতক, দশক, একক অঙ্ক)

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে

কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব

শতক এবং দশকের স্থানে সমস্ত 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য় অঙ্ক = 3

দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য় অঙ্ক = 5

শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য় অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75

∴ 5, 6, 7, 8, 9 - এই অঙ্কগুলি দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলির পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।

প্রদত্ত:

5টি সংখ্যা দেওয়া হয়েছে 2, 5, 6, 7 এবং 8

পুনরাবৃত্তি ছাড়াই চার-অঙ্কের সংখ্যা

অনুসৃত সূত্র:

পুনরাবৃত্তি না হলে বিনিময় = \(\frac{n!}{(n \ - \ r)!}\)

যেখানে, n = মোট সম্ভাব্য সংখ্যা

r = নির্ণেয় সংখ্যা

গণনা:

এখানে মোট সম্ভাব্য সংখ্যা n = 5

এবং নির্ণেয় সংখ্যা r = 4

সূত্র প্রয়োগ

\(\frac{5!}{(5\ - \ 4)!}\)

⇒ 5!

⇒ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ 120টি সম্ভাব্য চার-অঙ্কের সংখ্যা থাকবে।

প্রদত্ত:

8টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 4টি স্বরবর্ণ

গণনা:

প্রশ্নানুসারে

8টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি নির্বাচন করা যায় ⁸C₃ = 56 

4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি নির্বাচন করা যায় ⁴C₂ = 6 

সুতরাং, পাঁচটি অক্ষরের শব্দ নির্বাচন করা যায় = 56 x 6 = 336 ভাবে

কিন্তু এই পাঁচটি অক্ষর নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 5!

শব্দের সংখ্যা = 336 x 5! = 40320

∴ প্রয়োজনীয় ফলাফল হবে 40320

গণনা:

সংখ্যাটির প্রথম অঙ্ক (বাম থেকে) 0 হতে পারে না। তাই প্রথম অঙ্কটি 4 ভাবে নির্বাচন করা যায়।

দ্বিতীয় অঙ্কের জন্য আমাদের 4টি পছন্দ আছে (প্রথম অঙ্ক হিসেবে ইতিমধ্যে যে সংখ্যাটি নির্বাচিত হয়েছে তা বাদ দিয়ে)।

একইভাবে, তৃতীয় অঙ্কের জন্য আমাদের 3টি পছন্দ আছে, এবং চতুর্থ অঙ্কের (বাম থেকে) জন্য আমাদের 2টি পছন্দ আছে এবং এককের অঙ্কের জন্য আমাদের মাত্র একটি পছন্দ আছে।

মোট 5 অঙ্কের সংখ্যা = 4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96

∴ 9, 0, 4, 1, 6 এই অঙ্কগুলি দিয়ে ৯৬টি ভিন্ন ৫ অঙ্কের সংখ্যা গঠন করা যায়।