Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

• मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी वास्तविक x के लिए sin²x + cos²x = 1 सत्य है।
• sin²x + cos²x = 1 + sin2x की तुलना करने पर 1 = 1 + sin2x ⇒ sin2x = 0।
• tanθ मान: tan15° = 2 - √3, tan75° = 2 + √3, tan45° = 1
• व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: सभी x ∈ [-1, 1] के लिए sin^-1x + cos^-1x = π/2
• tanx = √3 ⇒ x = π/3 + nπ. हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए अंतराल में गणना करें।

गणना:

दिया गया है, [0, 2π] में sin²x + cos²x = 1 + sin2x

⇒ sin²x + cos²x = 1

⇒ 1 = 1 + sin2x

⇒ sin2x = 0

⇒ 2x = nπ

⇒ x = nπ/2

⇒ x ∈ [0, 2π]

⇒ x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π

⇒ कुल 5 मान

⇒ इन पर sin2x = 0 जांचें

⇒ सभी 5 के लिए मान्य

⇒ LHS = 1, RHS = 1 + 0 = 1

⇒ समीकरण मान्य है

⇒ लेकिन sin²x + cos²x = 1 हमेशा, इसलिए केवल तभी मान्य जब sin2x = 0

⇒ इसलिए हलों की संख्या = 5

⇒ लेकिन LHS = RHS से विरोधाभास के कारण, वास्तविक मान्य हल वे हैं जहाँ केवल sin2x = 0

⇒ इस प्रकार, a → P = 2 हल

अब, tan15° + tan75° - tan45°

(2 - √3) + (2 + √3) - 1

4 - 1 = 3

⇒ b → Q

[0, 3π] में tanx = √3

⇒ tanx = √3

⇒ x = π/3 + nπ

⇒ सामान्य हल: x = π/3, 4π/3, 7π/3

⇒ सभी ≤ 3π

⇒ c → R = 3 हल

इसके अलावा, cos^-1(x) + sin^-1(x) = π/2

⇒ सभी x ∈ [-1, 1] के लिए सर्वसमिका सत्य है

⇒ अनंत मान

⇒ d → S

इसलिए, सही मिलान:
(a) → P
(b) → Q
(c) → R
(d) → S
इसलिए, सही विकल्प (B) है।

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}\),

\(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\)

गणना:

\(\cos(\sin^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1} x) = 0\)

\(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\)

⇒ \(\sin^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\frac{1}{5}\)

⇒ \(\cos^{-1} x = \cos^{-1}\frac{1}{5}\)

⇒ \(x = \frac{1}{5}\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

दिया गया है:

4 sin-1 x + cos-1 x = π

⇒ \(4( \frac{\pi }{2} - Cos^{-1}x) + (\frac{\pi }{2} - sin^{-1}x) = \pi \)

⇒ \(2\pi - 4cos^{-1}x + \frac{\pi }{2} - sin^{-1}x = \pi \)

⇒ 4cos^-1 x + sin^-1x = \(\frac{3\pi}{2}\)

∴ विकल्प (c) सही है। 

गणना

दिया गया है:

\(\tan ^{ -1 }{ 2x } +\tan ^{ -1 }{ 3x } =\dfrac { \pi }{ 4 }\)

\( \Longrightarrow \tan ^{ -1 }{ 2x } =\dfrac { \pi }{ 4 } -\tan ^{ -1 }{ 3x }\)

\(\Longrightarrow 2x=\dfrac { 1-3x }{ 1+3x }\)

\(\Longrightarrow 2x+6{ x }^{ 2 }=1-3x\)

\(\Longrightarrow 6{ { x }^{ 2 } }+5x-1=0\)

\(\Longrightarrow \left( 6x-1 \right) \left( x+1 \right) =0\)

\(\Longrightarrow x=\dfrac { 1 }{ 6 } \quad or\quad x=-1\)

लेकिन \(x=-1\) के लिए ⇒ \(\tan^{-1}(-2)+\tan^{-1}(-3)=\dfrac{3\pi}{4}\)

इसलिए, \(x=\dfrac{1}{6}\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

\(\rm \cot \theta = \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\)​.

\(\tan^{-1} x = \dfrac{\pi}{2}-\cot^{-1} x\)

गणना:

4 tan-1 x + cot‑1 x = π

\( 4\tan^{-1}x+\left(\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x\right)=\pi\)

\(3\tan^{-1}x=\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}\)

\( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{6}\)

\(x=\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}\).

अवधारणा:

• \(\rm \tan^{-1}x + \tan^{-1}y=\tan^{-1}{x+y\over 1-xy}\)
• \(\rm cot^{-1}{x} = {\pi\over2}- \tan^{-1}{x}\)
• \(\rm 2tan^{-1}\ x =tan^{-1} ({\frac {2x}{1\ -\ x^2}})\)

गणना:

S = \(\rm cot^{-1}{1\over3} - 2 \tan^{-1}{2\over3} \)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{2\times \frac{2}{3}}\over1-{(\frac{2}{3})^2}}\)

S = \(\rm \left[{\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3}\right] - \tan^{-1}{{\frac{4}{3}}\over1-{\frac{4}{9}}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}-\tan^{-1}{1\over3} - \tan^{-1}{\frac{12}{5}}\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{12\over5}+\tan^{-1}{1\over3}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{{12\over5}+{1\over3}\over1-{12\over5}\times{1\over3}}\right]\)

S = \(\rm {\pi\over2}- \left[ \tan^{-1}{41\over3}\right]\)

S = \(\rm \cot^{-1}{41\over3}\)

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना:

मान लें कि sin-1 4x = θ।

⇒ sin (sin-1 4x) = sin θ

⇒ sin θ = 4x

चूँकि -1 ≤ sin θ ≤ 1

⇒ -1 ≤ 4x ≤ 1

⇒ \(\rm -\dfrac{1}{4}\leq x \leq \dfrac{1}{4}\)

⇒ x ∈ \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\)

∴ फलन का डोमेन बंद अंतराल \(\rm \left[-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right]\) ।

संकल्पना:

sin^-1 x + cos^-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin^-1 x + sin^-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos^-1 x + cos^-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos^-1 x + cos^-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

 यदि \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो \({\sin ^{ - 1}}\ (sin x) = x\) है लेकिन यदि\(x{ \notin }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\) है, तो प्रमुख शाखा के अंदर x का मान लाने के लिए\(\sin x = \sin \left( {\pi - x} \right)\) का प्रयोग कीजिए। 

हल:

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right)\) but \(\frac{{4\pi }}{5}\notin{ }\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)

इसलिए, संबंध का प्रयोग करने पर,

\(\sin \frac{{4\pi }}{5} = \sin \left( {\pi - \frac{{4\pi }}{5}} \right)\)

\(= \sin \left( {\frac{\pi }{5}} \right)\)

इसलिए,

\({\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{{4\pi }}{5}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)\)

\( = \frac{\pi }{5}\)

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin^-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

दिया गया है:

\(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय समीकरण के मुख्य समाधान वे समाधान होते हैं जो 0 और 2π के बीच होते हैं।

सूत्र:

tan(x) = tan(α) का सामान्य हल इस प्रकार दिया गया है;

x = nπ + α जहां α ∈ (-π/2 , π/2) और n ∈ Z है

गणना:

∵ \(\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

⇒ tan(x) = tan(-π/6)

∴ α = -π/6

⇒ x = nπ + (-π/6) , n ∈ Z

n = 1 और 2 रखने पर हमें प्राप्त होता है -

x = 5π/6 और 11π/6

अवधारणा:

tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

गणना:

ज्ञात करना है: cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) का मान

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos 2(tan-1 x + cot-1 x)

जैसा कि हम जानते हैं, tan-1 x + cot-1 x = \(\rm \frac {π}{2}\)

cos (2tan-1 x + 2cot-1 x) = cos [2 × \(\rm \frac {π}{2}\) ]

= cos π 

= -1

दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

⇒ 29² = 20² + 21²

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

अवधारणा:

\(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({y})\) = \(\rm tan^{-1}\frac{x+y}{1-x\times y}\)

\(\rm cot^{-1}x=\) \(\rm tan^{-1}({1\over x})\)

गणना:

दिया गया है, \(\rm tan^{-1}x+cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}(x)+tan^{-1}({1\over x})=\frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{1-x\times \frac{1}{x}} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\frac{x+\frac{1}{x}}{0} = \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\rm tan^{-1}({\infty}) = \frac{\pi}{2}\)

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है