Properties of Triangles MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties of Triangles - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

त्रिभुज के कोणों का योग गुणधर्म:

• किसी त्रिभुज में, सभी अंतःकोणों का योग हमेशा 180º के बराबर होता है।
• दिए गए कोणों का उपयोग सूत्र का उपयोग करके अज्ञात कोण ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
• एक बार सभी कोण ज्ञात हो जाने के बाद, त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग त्रिभुज की भुजाओं को संबंधित करने के लिए किया जा सकता है।
• ज्या नियम:
• ज्या नियम कहता है कि किसी भी त्रिभुज में, किसी भुजा की लंबाई और उसके सम्मुख कोण की ज्या के अनुपात स्थिर होते हैं: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
• यहाँ, a, b और c क्रमशः कोण A, B और C की सम्मुख भुजाएँ हैं।

गणना:

दिया गया है,

कोण A = 75º

कोण B = 45º

त्रिभुज के कोणों के योग गुणधर्म का उपयोग करके, कोण C ज्ञात कीजिए:

⇒ ∠C = 180º - (∠A + ∠B)

⇒ ∠C = 180º - (75º + 45º)

⇒ ∠C = 180º - 120º

⇒ ∠C = 60º

अब, ज्या नियम का उपयोग करने पर:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

⇒ \(a = \frac{sin 75°}{sin 60°}.c = \frac{\sqrt3 +1}{\sqrt6}.c\)

⇒ \(b = \frac{sin 45°}{sin 60°}.c = \frac{2c}{\sqrt6}\)

अब

⇒ 2a - b = \(\frac{2\sqrt3 c}{\sqrt6} = \sqrt2 c\)

∴ विकल्प (b) सही है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया,

\(\rm \frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}\)

⇒ \(\frac{a}{(\frac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc})} = \frac{b}{(\frac{a^2 + c^2 -b^2}{2ac})} =\frac{c}{(\frac{a^2 + b^2 -c^2}{2ab})} \)

⇒b2+ c 2 – a 2 = c 2 + a 2 – b 2 = a 2 + b 2 – c 2

⇒ a 2 = b 2 = c 2  

⇒ a = b = c

अतः ABC एक समबाहु त्रिभुज है

समबाहु त्रिभुज की भुजा a = 6 cm

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है,

\( \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

⇒ \( \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 \)

⇒ \( \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \)

⇒ \( \text{Area} = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \)

∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 × √3 वर्ग सेमी है।

गणना

माना कि भुजाएँ \(a-d, a, a+d\) हैं।

यह समझा जा सकता है कि \(a > d > 0\) और आकृति से, \(\angle C\) अधिकतम है और \(\angle A\) न्यूनतम है।

दी गई शर्त के अनुसार, \(C = 2A\) है। 

और इसलिए, \(B = \pi - (A + C) = \pi - 3A\) 

अत: ज्या नियम से हमारे पास है,

\(\dfrac{a+d}{\sin C} = \dfrac{a-d}{\sin A} = \dfrac{a}{\sin B}\)

या \(\dfrac{a+d}{\sin 2A} = \dfrac{a-d}{\sin A} = \dfrac{a}{\sin(\pi - 3A)}\) .

\(\therefore 2\cos A = \dfrac{a+d}{a-d}\) और \(\dfrac{a}{a-d} = \dfrac{\sin 3A}{\sin A}\) ।

\(\therefore \dfrac{a}{a-d} = 3 - 4\sin^2 A = 3 - 4 + (2\cos A)^2\) .

\(\therefore \dfrac{a}{a-d} = 1 + \left(\dfrac{a+d}{a-d}\right)^2 = \dfrac{4ad}{(a-d)^2}\) .

\(a \neq 0\) \(\therefore a-d = 4d\) या \(a = 5d\) 

\(\therefore\) भुजाएँ \(a-d, a, a+d\) या \(4d, 5d, 6d\) है। 

अतः अभीष्ट अनुपात \(4:5:6\) है।

तो इसकी भुजाओं के अनुपात का योग = 15

गणना

M_AB = \(\frac{4}{-5}\) ⇒ M_DP = \(\frac{5}{4}\)

⇒ PC का समीकरण है y - 1 = \(\frac{5}{4}\)(x - 1) ...(1)

M_AP = \(\frac{2}{-2}\) = -1 ⇒ M_BC = + 1

⇒ BC का समीकरण है y - 3 = (x + 2) ...(2)

(1) और (2) को हल करने पर

⇒ x + 4 = \(\frac{5}{4}\)(x - 1) ⇒ 4x + 16 = 5x - 5 ⇒ α = 21

⇒ β = y = x + 5 = 26

⇒ α + β = 47

AP के लंब समद्विभाजक का समीकरण

⇒ y - 0 = (x - 2) ... (3)

AB के लंब समद्विभाजक का समीकरण

⇒ \(\rm y-1=\frac{5}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right) ...(4)\)

(3) और (4) को हल करने पर

⇒ (x - 3)4 = 5x - \(\frac{5}{2}\)

⇒x = \(\frac{-19}{2}\) = h

⇒ y = \(\frac{-23}{2}\) = k

⇒ 2(h + k) = -42

⇒ (α + β) + 2 (h + k) = 47 - 42 = 5

अतः विकल्प (3) सही है

गणना:

\(\frac{c }{sin 30} = \frac{4 √ 3}{ sin 120}\) [ज्या नियम से]

⇒ 2c = 8 ⇒ c = 4

⇒ AB = |(b + 1)| = 4

⇒ b = 3 ,   mAB = 0 

⇒ mBC =\( \frac{− 1 }{√ 3 }\) 

BC : − y = \(\frac{−1}{√ 3}( x − 3 ) \)

⇒ √ 3y + x = 3

प्रतिच्छेदन बिंदु:  y = x + 3, √ 3y + x = 3

⇒ \((\sqrt{3} + 1) y = 6 \)

⇒ \(y = \frac{6}{ √ 3 + 1}\)

⇒ \(x = \frac{6} {√ 3 + 1 }− 3 \)

⇒ x =\(\frac{ − 6}{ ( 1 + √ 3 )^ 2}\)

\(\rm \frac{\beta^2}{\alpha^2}\) = \(\frac{6^4}{ (√ 3 + 1)^4}\times\frac{ ( 1 + √ 3 )^ 4}{ (− 6)^2}\) = 36

धारणा:

यदि a, b और c इकाइयाँ Δ ABC की तीन भुजाएँ हैं, तो

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}\;}}{{2bc}}\)

\(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}\;}}{{2ac}}\)

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}\;}}{{2ab}}\)

गणना:

यहाँ, Δ ABC के भुजाएँ हैं: a = 12 इकाइयाँ, b = 14 इकाइयाँ और c = 16 इकाइयाँ

हम जानते हैं कि \(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}\;}}{{2ac}}\), सूत्र में a, b और c के मानों को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\;}}{{2ac}} = \frac{{{{12}^2} + {{16}^2} - {{14}^2}}}{{2 \times 12 \times 16}}\)

\(=\frac{204}{384}= \frac{{17}}{{32}}\)

धारणा:

• Sine Rule:

एक त्रिभुज Δ ABC में जहाँ a, A के विपरित भुजा है; b, B के विपरित भुजा है; c, C के विपरीत भुजा है और जहाँ R परि-त्रिज्या है:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

गणना:

दिया हुआ: त्रिभुज के कोण A: B: C = 1: 2: 3 के अनुपात में हैं और परि-त्रिज्या 10 cm है।

माना कि A: B: C = 1: 2: 3 या A = k, B = 2k और C = 3k जहां k कोई भी वास्तविक संख्या है और R = 10 cm

जैसा कि हम जानते हैं कि, A + B + C = 180°

⇒ A + B + C = k + 2k + 3k = 180°

⇒ k = 30°

⇒ A = 30°, B = 60° और C = 90°

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \frac{a}{{\sin 30^\circ }} = \frac{b}{{\sin 60^\circ }} = \frac{c}{{\sin 90^\circ }} = 20\)

⇒ a = 20 × sin 30° = 10 cm, b = 20 × sin 60° = 10√3 cm और c = 20 × sin 90° = 20 cm

संकल्पना:

भुजा a, b और c के साथ Δ ABC के लिए, 

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\), \(\cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ac}}\) और \(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

गणना:

यहाँ, Δ ABC की भुजाएं a = 3 इकाई, b = 5 इकाई और c = 3 इकाई हैं और हम जानते हैं कि, \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

⇒ \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{5^2} + {3^2} - {3^2}}}{{2 \times 5 \times 3}}\)

⇒ cos A = 5/6

दिया गया हैं:

D और E भुजाओं AB और AC पर स्थित बिंदु हैं। 

AD = CE

BE और CD, F पर प्रतिच्छेद करते हैं।  

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज की सर्वांगसमता की अवधारणा,

बहिष्कोण हमेशा अंतराभिमुख कोण के योग के बराबर होता है।

गणना:

ΔCBE ≅ ΔACD [SAS सर्वांगसमता]

तो, इन दोनों त्रिभुजों के तीनों कोण समान हैं,

माना कि ∠EBC, θ हैं इसमे से ∠ACD भी θ हैं। 

अब,

∠BEC = 180° - (60° + θ)

⇒ 120° - θ

अब, ΔECF में 

बहिष्कोण ∠CFB = (120° - θ) + θ

⇒ 120°

∴ ∠CFB, 120° हैं। 

अवधारणा:

कोण योग गुण: एक त्रिभुज के कोणों का योग 180 ° होता है

गणना :

यहां, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान कोणों का माप खोजना होगा।

माना कि Δ ABC एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠ B = 90° और AB = BC है।

जैसा कि हम जानते हैं कि समान भुजाओं के सामनेवाले कोण भी समान होते हैं।

⇒ ∠ACB = ∠BAC = x

अब कोण योग गुण द्वारा हमारे पास है

⇒ x + x + 90° = 180°

⇒ x = 45°

इसलिए, एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान कोणों का माप 45° है।

Key Points

 एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में, एक कोण 90° और अन्य दो भुजाएं समान होंगी। समान भुजा के विपरीत कोण भी समान होंगे।

दिया गया है:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

गणना:

यदि  sin (C + D) = √3/2 और sec (C - D) = 2/√3

तो,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 और 2 को हल करने पर,

C = 45°

D = 15°

∴ विकल्प 1 सही उत्तर है।

संकल्पना:

त्रिभुज का कोज्या नियम:

किसी दिए गए त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई का वर्ग अन्य भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, अन्य दो भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच शामिल कोण के कोज्या से गुणा किया जाता है।

मान लीजिए, a, b, और c त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई हैं, जैसा कि दिखाया गया है;

\(cos(x)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cos(y)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cos(z)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

गणना:

माना m = n = 1 इकाई

फिर,

\(\rm \sqrt{m^2+n^2+mn} \ \\\Rightarrow\rm \sqrt{1^2+1^2+1}= \sqrt 3\)

कोसाइन नियम का उपयोग करके;

\(\rm \cos θ = {1^2+ 1^2 - {\sqrt 3}^2\over2\times 1 \times 1}\)

⇒ cos θ = -1/2

∴ θ = 120° 

अब, त्रिभुज के न्यून कोणों का योग = 180° - 120° = 60°

अवधारणा :

यदि a, b और c Δ ABC के पक्ष हैं जैसे कि, a + b + c = 2S तब

• \(\rm \tan \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - c} \right)}}{{S(S -a)}}} \)
• \(\rm \tan \frac{B}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - c} \right)\left( {S - a} \right)}}{{S(S -b)}}} \)
• \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)}}{{S(S - c)}}} \)

गणना:

दिया गया है कि: ΔABC के लिए हमारे पास a = 13, b = 14 और c = 15 है

यहाँ, हमें tan (C/2) का मान ज्ञात करना है

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि a, b और c Δ ABC के पक्ष हैं तो 2S = a + b + c

⇒ 2S = 13 + 14 + 15 = 42

⇒ S = 21

जैसा कि हम जानते हैं कि, \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - a} \right)\left( {S - b} \right)}}{{S(S - c)}}} \)

⇒ \(\rm \tan \frac{C}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {21 - 13} \right) \times \left( {21 - 14} \right)}}{{21 \times (21-15)}}} \)

= \(\rm \sqrt {\frac {8 \times 7}{21 \times 6}} = \frac 2 3\)

इसलिए, विकल्प 2 सही उत्तर है।

संकल्पना:

यदि a, b और c, ΔABC की भुजाएं इस प्रकार हैं जिससे a + b + c = 2S है, तो \(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - C} \right)}}{{bc}}} \)

गणना:

दिया गया है: ΔABC के लिए हमारे पास a = 18, b = 24 और c = 30 हैं। 

यहाँ, हमें sin (A/2) का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c, ΔABC की भुजाएं हैं, तो 2S = a + b + c है।

⇒ 2S = 18 + 24 + 30 = 72

⇒ S = 36

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {S - b} \right)\left( {S - C} \right)}}{{bc}}} \)

\(\Rightarrow \sin \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{\left( {36 - 24} \right) \times \left( {36 - 30} \right)}}{{24 \times 30}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)

अतः विकल्प A सही उत्तर है। 

संकल्पना:

• sine नियम ⇔ \(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{c}}}{{\sin {\rm{C}}}}\)

जहाँ a, b और c भुजाएं हैं तथा A, B और C कोण हैं। 

यहाँ; भुजा a कोण A के सम्मुख है, भुजा b कोण B के सम्मुख है और भुजा c कोण C के सम्मुख है। 

गणना:

दिया गया है: a = 2, b = 3 और sin A = 2/3

sine नियम लागू करने पर,

\(\frac{{\rm{a}}}{{\sin {\rm{A}}}} = \frac{{\rm{b}}}{{\sin {\rm{B}}}}\)

\( \Rightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{{b\sin {\rm{A}}}}{a}\)

\( \Rightarrow \sin {\rm{B}} = \frac{{3\; \times \left( {\frac{2}{3}} \right)}}{2} = 1\)