Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मोफत PDF डाउनलोड करा

आपल्याकडे, \(\tan^{-1}\big (\cot \dfrac{3\pi}{4}\big)\) 

\(=\tan^{-1}\big(\cot \big(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\big)\big)\)

\(=\tan^{-1}(-\tan\dfrac{\pi}{4}\big)\)

\(=\tan^{-1}(\tan(-\dfrac{\pi}{4}\big))\)

\(=-\dfrac{\pi}{4}\)

\(\cos \alpha=\dfrac{3}{5},\tan \beta =\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow (\alpha-\beta)=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{3}}=\dfrac{9}{3}\)

\(\Rightarrow \sin(\alpha-\beta)=\dfrac{9}{5\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow \alpha-\beta =\sin^{-1}\left(\dfrac{9}{5\sqrt{10}}\right)\)

संकल्पना:

कार्य y = sin^-1 x च्या अस्तित्वासाठी,

⇒ |x| ≤ 1

गणना:

\(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) अस्तित्वासाठी,

\(\Rightarrow -1 ≤ 2 \sin \frac{\pi}{2} ≤ 1\)

⇒ -1 ≤ 2 ≤ 1 ⇒ सत्य असू शकत नाही

⇒ \(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) चे मूल्य अस्तित्त्वात नाही.

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे. 

संकल्पना:

• कार्याचे प्रभावक्षेत्र म्हणजे मूल्यांचा संच आहे जो आपल्याला आपल्या कार्यामध्ये प्लग करण्याची परवानगी आहे.
• श्रेणी हा सर्व संभाव्य मूल्यांचा संच आहे जो आपण प्रभावक्षेत्रामध्ये आदान म्हणून देतो तेव्हा कार्य देईल.

गणना:

वरील आलेख sec-1x या कार्याचा आहे.

सेकंट फंक्शन कोणत्याही मध्यांतरांपुरते मर्यादित असल्याने [-π, 0] - π, 0] - \((-\frac{π}{2})\), [-π, 0] - \((\frac{π}{2})\), [π, 2π] - \((-\frac{3π}{2})\) इ. द्विजात्मक आहे आणि त्याची श्रेणी R - (-1, 1) आहे.

अशाप्रकारे sec-1 हे कार्य म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचे प्रभावक्षेत्र R -(-1, 1) आहे आणि श्रेणी [-π, 0] - {\(-\frac{π}{2}\)}, [0, π]-{\(\frac{π}{2}\)} अंतरालपैकी [π,2π] - {\(-\frac{3π}{2}\)} इत्यादी कोणतीही असू शकते. 

या प्रत्येक अंतरालशी सुसंगत आपल्याला sec^-1 कार्याच्या वेगवेगळ्या शाखा मिळतात आणि [0, π]-{\(\frac{π}{2}\)} शाखेला, sec^-1 कार्याची प्रमुख शाखा म्हणतात.

अशाप्रकारे आपल्याकडे sec^-1: R - (-1, 1) → [0,π] - {\(-\frac{π}{2}\)} आहे 

∴ प्रभावक्षेत्र (D) = R - (-1, 1) आणि श्रेणी (R) =  [0,π] - {\(-\frac{π}{2}\)}

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1) आहे.

संकल्पना:

• मूळ मूल्य: एका व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य जे त्याच्या मुख्य मूल्य शाखेत असते त्याला त्या व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्याचे मुख्य मूल्य म्हणतात.
• tan^-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\)आहे.
• sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे.
• tan^-1(- x) = - tan^-1x

गणना:

y = tan^-1(-√3)= - tan^-1(√3) मानू,

तर, tan y = -√3

आपल्याला माहीत आहे की, tan-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \(\big(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)\) आहे

आणि \(tan (\frac{\pi}{3}) = \sqrt3\).

∴ tan-1(√3) चे मुख्य मूल्य \(-\frac{\pi}{3}\) आहे .......(1)

पुढे,

x = sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) मानू,

तेव्हा, sec x = \(\frac{2}{\sqrt3}\)

आपल्याला माहीत आहे की, sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य \([0, \pi ]- {\frac{\pi}{2}}\)आहे

आणि.

∴ sec-1(\(\frac{2}{\sqrt3}\)) is \(\frac{\pi}{3}\) चे मूळ मूल्य आहे .......(2)

(1) आणि (2) यांची बेरीज केल्यावर, आपल्याकडे आहे

\(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= -\frac{\pi}{3}+2\times\frac{\pi}{6}\)

\(=0\)

∴ \(tan^{-1}(-\sqrt3) + 2 sec^{-1}(\frac{2}{\sqrt 3})= 0\)

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2) आहे.

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

संकल्पना:

व्यस्त ज्या sin x कार्याचे प्रभावक्षेत्र, \(x \in \left[ { - 1,1} \right]\)आहे.

गणना:

कार्याचे अधिक्षेत्र खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

\({\sin ^{ - 1}}\left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\)

\(- 1 \le 2x\sqrt {1 - {x^2}} \le 1\)

\( - \frac{1}{2} \le x\sqrt {1 - {x^2}} \le \frac{1}{2}\)

\({x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \le \frac{1}{4}\)

\(t - {t^2} - \frac{1}{4} \le 0\)

\({\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\)

\(t \le \frac{1}{2}\)

\({x^2} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(x \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\)

संकल्पना:

• 1 + tan² x = sec² x.
• tan (tan^-1 x) = x.

गणना:

असे म्हणूया की \(\rm \tan^{-1}\dfrac{y}{2}=\theta\), जिथे =\(\rm \theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).

\(\rm \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{y}{2}\)

\(\rm \Rightarrow \tan^2 \theta = \dfrac{y^2}{4}\)

\(\rm \Rightarrow 1+\tan^2 \theta = 1+\dfrac{y^2}{4}=\dfrac{y^2+4}{4}\)

\(\rm \Rightarrow \sec^2 \theta = \dfrac{y^2+4}{4}\)

\(\rm \Rightarrow \sec \theta = \dfrac{\sqrt{y^2+4}}{2}\)

\(\rm \Rightarrow \sec \left(\tan^{-1}\dfrac{y}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{y^2+4}}{2}\).

संकल्पना:

\({\sin ^{ - 1}}(\sin {\rm{\theta }}) = {\rm{\theta }},{\rm{\;\;\;\;\;\theta }} \in \left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{2},{\rm{\;}}\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)\)

sin (2nπ + θ) = sin θ

sin (π – θ) = sin θ

गणना:

आपल्याला \({\sin ^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{33{\rm{\pi }}}}{5}} \right)\)चे मूल्य शोधायचे आहे

\({\sin ^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{33{\rm{\pi }}}}{5}} \right) = {\rm{\;}}{\sin ^{ - 1}}\sin \left( {6{\rm{\pi }} + \frac{{3{\rm{\pi }}}}{5}} \right) \)

\(= {\sin ^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{3{\rm{\pi }}}}{5}} \right) \)                                  (∵ sin (2nπ + θ) = sin θ)

\(= {\rm{\;}}{\sin ^{ - 1}}\sin \left( {{\rm{\pi }} - \frac{{2{\rm{\pi }}}}{5}} \right) \)

\(= {\rm{\;}}{\sin ^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{2{\rm{\pi }}}}{5}} \right) \)                                (∵ sin (π – θ) = sin θ)

येथे \(\frac{{2{\rm{\pi }}}}{5}\) हे \(\frac{-\pi}{2}\) ते \(\frac{\pi}{2}\) च्या दरम्यान आहे

\(\therefore {\rm{\;}}{\sin ^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{2{\rm{\pi }}}}{5}} \right) \)\(= \frac{{2{\rm{\pi }}}}{5}\) 

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

\(\cos\left({\pi\over2}\right) = 0\)

गणना:

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left(-{\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[\cos\left({\pi\over2}\right)\right]\)

x = \(\rm \tan^{-1}\left[0\right]\)

∵ मूळ मूल्य ∈ \(\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]\)असू शकते

∴ x = 0

संकल्पना:

sin x = y तर x = sin^-1 y

\(\rm tan^{-1} \ x + cot^{-1} \ x = \frac {π}{2}\)

गणना:

दिलेले आहे: \(\rm sin (tan^{-1}\ \frac {1}{10} \ + \ cot^{-1} \ x) = 1\)

⇒ \(\rm tan^{-1}\ \frac {1}{10} \ + \ cot^{-1} \ x = sin^{-1}\ (1)\)                                      (∵ sin^-1 (1) = sin^-1 (sin (π/2)) = π/2)

⇒  \(\rm tan^{-1}\ \frac {1}{10} \ + \ cot^{-1} \ x = {\pi\over2}\)

येथे, \(\rm tan^{-1} \ x + cot^{-1} \ x = \frac {π}{2}\)

तर x = \(\rm 1\over10\)

Additional Information

 \(\rm sin^{-1} \ x + cos^{-1} \ x = \frac {π}{2}\)

\(\rm cosec^{-1} \ x +sect^{-1} \ x = \frac {π}{2}\)

गणना:

∵  sin ^{- 1}(1/2 x) = π/2 - cos ^{- 1}(1/2 x)

⇒ cos ^{- 1}x + π/2 - cos ^{- 1}(1/2 x) = π/6

⇒ cos ^{- 1}x - cos ^{- 1}(1/2 x) = π/6 - π/2

⇒ cos ^{- 1}x = cos ^{- 1}(1/2 x) - π/3

⇒ cos ^{- 1}x = cos ^{- 1}(1/2 x) - cos ^{- 1}(1/2)

⇒ cos ^{- 1}[x/2.1/2 + √(1 - x²/4).√(1 - 1/4)]

⇒ x = x/4 + √3/2 √(1 - x²/4)

⇒ 3/4 x = √3/4 √(4 - x²)

⇒ 3x² = 4 - x²

⇒ 4x² = 4

⇒ x = ±1

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

गणना:

sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

संकल्पना:

व्यस्त ज्या sin x कार्याचे प्रभावक्षेत्र, \(x \in \left[ { - 1,1} \right]\)आहे.

गणना:

कार्याचे अधिक्षेत्र खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

\({\sin ^{ - 1}}\left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\)

\(- 1 \le 2x\sqrt {1 - {x^2}} \le 1\)

\( - \frac{1}{2} \le x\sqrt {1 - {x^2}} \le \frac{1}{2}\)

\({x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) \le \frac{1}{4}\)

\(t - {t^2} - \frac{1}{4} \le 0\)

\({\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\)

\(t \le \frac{1}{2}\)

\({x^2} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(x \in \left[ { - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\)

संकल्पना:

• 1 + tan² x = sec² x.
• tan (tan^-1 x) = x.

गणना:

असे म्हणूया की \(\rm \tan^{-1}\dfrac{y}{2}=\theta\), जिथे =\(\rm \theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\).

\(\rm \Rightarrow \tan \theta = \dfrac{y}{2}\)

\(\rm \Rightarrow \tan^2 \theta = \dfrac{y^2}{4}\)

\(\rm \Rightarrow 1+\tan^2 \theta = 1+\dfrac{y^2}{4}=\dfrac{y^2+4}{4}\)

\(\rm \Rightarrow \sec^2 \theta = \dfrac{y^2+4}{4}\)

\(\rm \Rightarrow \sec \theta = \dfrac{\sqrt{y^2+4}}{2}\)

\(\rm \Rightarrow \sec \left(\tan^{-1}\dfrac{y}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{y^2+4}}{2}\).