Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - मोफत PDF डाउनलोड करा

आपल्याकडे, ${\tan }^{-1}(\cot {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})$ 

$={\tan }^{-1}(\cot ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}))$

$={\tan }^{-1}(-\tan {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

$={\tan }^{-1}(\tan (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}))$

$=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}},\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{5}}$

$\Rightarrow \tan \alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\Rightarrow (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{3}}}}={\displaystyle \frac{9}{3}}$

$\Rightarrow \sin (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{9}{5\sqrt{10}}}$

$\Rightarrow \alpha -\beta ={\sin }^{-1}\left({\displaystyle \frac{9}{5\sqrt{10}}}\right)$

संकल्पना:

कार्य y = sin^-1 x च्या अस्तित्वासाठी,

⇒ |x| ≤ 1

गणना:

${\sin }^{-1}(2\sin \frac{\pi }{2})$ अस्तित्वासाठी,

$\Rightarrow -1\le 2\sin \frac{\pi }{2}\le 1$

⇒ -1 ≤ 2 ≤ 1 ⇒ सत्य असू शकत नाही

⇒ ${\sin }^{-1}(2\sin \frac{\pi }{2})$ चे मूल्य अस्तित्त्वात नाही.

म्हणून योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे. 

संकल्पना:

• कार्याचे प्रभावक्षेत्र म्हणजे मूल्यांचा संच आहे जो आपल्याला आपल्या कार्यामध्ये प्लग करण्याची परवानगी आहे.
• श्रेणी हा सर्व संभाव्य मूल्यांचा संच आहे जो आपण प्रभावक्षेत्रामध्ये आदान म्हणून देतो तेव्हा कार्य देईल.

गणना:

वरील आलेख sec-1x या कार्याचा आहे.

सेकंट फंक्शन कोणत्याही मध्यांतरांपुरते मर्यादित असल्याने [-π, 0] - π, 0] - $(-\frac{\pi }{2})$, [-π, 0] - $(\frac{\pi }{2})$, [π, 2π] - $(-\frac{3\pi }{2})$ इ. द्विजात्मक आहे आणि त्याची श्रेणी R - (-1, 1) आहे.

अशाप्रकारे sec-1 हे कार्य म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचे प्रभावक्षेत्र R -(-1, 1) आहे आणि श्रेणी [-π, 0] - {$-\frac{\pi }{2}$}, [0, π]-{$\frac{\pi }{2}$} अंतरालपैकी [π,2π] - {$-\frac{3\pi }{2}$} इत्यादी कोणतीही असू शकते. 

या प्रत्येक अंतरालशी सुसंगत आपल्याला sec^-1 कार्याच्या वेगवेगळ्या शाखा मिळतात आणि [0, π]-{$\frac{\pi }{2}$} शाखेला, sec^-1 कार्याची प्रमुख शाखा म्हणतात.

अशाप्रकारे आपल्याकडे sec^-1: R - (-1, 1) → [0,π] - {$-\frac{\pi }{2}$} आहे 

∴ प्रभावक्षेत्र (D) = R - (-1, 1) आणि श्रेणी (R) =  [0,π] - {$-\frac{\pi }{2}$}

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 1) आहे.

संकल्पना:

• मूळ मूल्य: एका व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्याचे मूल्य जे त्याच्या मुख्य मूल्य शाखेत असते त्याला त्या व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्याचे मुख्य मूल्य म्हणतात.
• tan^-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$आहे.
• sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य $[0,\pi ]-\frac{\pi }{2}$आहे.
• tan^-1(- x) = - tan^-1x

गणना:

y = tan^-1(-√3)= - tan^-1(√3) मानू,

तर, tan y = -√3

आपल्याला माहीत आहे की, tan-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ आहे

आणि $tan(\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}$.

∴ tan-1(√3) चे मुख्य मूल्य $-\frac{\pi }{3}$ आहे .......(1)

पुढे,

x = sec-1($\frac{2}{\sqrt{3}}$) मानू,

तेव्हा, sec x = $\frac{2}{\sqrt{3}}$

आपल्याला माहीत आहे की, sec-1 च्या मुख्य मूल्य शाखेचे श्रेणी मूल्य $[0,\pi ]-\frac{\pi }{2}$आहे

आणि.

∴ sec-1($\frac{2}{\sqrt{3}}$) is $\frac{\pi }{3}$ चे मूळ मूल्य आहे .......(2)

(1) आणि (2) यांची बेरीज केल्यावर, आपल्याकडे आहे

$ta{n}^{-1}(-\sqrt{3})+2se{c}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})=-\frac{\pi }{3}+2\times \frac{\pi }{6}$

$=0$

∴ $ta{n}^{-1}(-\sqrt{3})+2se{c}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}})=0$

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 2) आहे.

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

गणना:

sin-1 x + sin-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos-1 x + cos-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

संकल्पना:

व्यस्त ज्या sin x कार्याचे प्रभावक्षेत्र, $x\in \left[-1,1\right]$आहे.

गणना:

कार्याचे अधिक्षेत्र खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

${\sin }^{-1}\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)$

$-1\le 2x\sqrt{1-x^2}\le 1$

$-\frac{1}{2}\le x\sqrt{1-x^2}\le \frac{1}{2}$

$x^2\left(1-x^2\right)\le \frac{1}{4}$

$t-t^2-\frac{1}{4}\le 0$

${\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$

$t\le \frac{1}{2}$

$x^2\le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x\in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$

संकल्पना:

• 1 + tan² x = sec² x.
• tan (tan^-1 x) = x.

गणना:

असे म्हणूया की ${\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}}=\theta$, जिथे =$\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

$\Rightarrow \tan \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}}$

$\Rightarrow {\tan }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{4}}$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\theta =1+{\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{4}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2+4}{4}}$

$\Rightarrow {\sec }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2+4}{4}}$

$\Rightarrow \sec \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{y}}^2+4}}{2}}$

$\Rightarrow \sec ({\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}})={\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{y}}^2+4}}{2}}$.

संकल्पना:

${\sin }^{-1}(\sin \theta )=\theta ,\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

sin (2nπ + θ) = sin θ

sin (π – θ) = sin θ

गणना:

आपल्याला ${\sin }^{-1}\sin \left(\frac{33\pi }{5}\right)$चे मूल्य शोधायचे आहे

${\sin }^{-1}\sin \left(\frac{33\pi }{5}\right)={\sin }^{-1}\sin \left(6\pi +\frac{3\pi }{5}\right)$

$={\sin }^{-1}\sin \left(\frac{3\pi }{5}\right)$                                  (∵ sin (2nπ + θ) = sin θ)

$={\sin }^{-1}\sin \left(\pi -\frac{2\pi }{5}\right)$

$={\sin }^{-1}\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$                                (∵ sin (π – θ) = sin θ)

येथे $\frac{2\pi }{5}$ हे $\frac{-\pi }{2}$ ते $\frac{\pi }{2}$ च्या दरम्यान आहे

$\therefore {\sin }^{-1}\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$$=\frac{2\pi }{5}$ 

संकल्पना:

cos (-θ) = cos θ 

$\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

गणना:

x = ${\tan }^{-1}[\cos (-\frac{\pi }{2})]$

x = ${\tan }^{-1}[\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)]$

x = ${\tan }^{-1}\left[0\right]$

∵ मूळ मूल्य ∈ $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$असू शकते

∴ x = 0

संकल्पना:

sin x = y तर x = sin^-1 y

$\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

गणना:

दिलेले आहे: $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{10}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x})=1$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{10}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}(1)$                                      (∵ sin^-1 (1) = sin^-1 (sin (π/2)) = π/2)

⇒  $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{1}{10}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

येथे, $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

तर x = $\frac{1}{10}$

Additional Information

 $\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

गणना:

∵  sin ^{- 1}(1/2 x) = π/2 - cos ^{- 1}(1/2 x)

⇒ cos ^{- 1}x + π/2 - cos ^{- 1}(1/2 x) = π/6

⇒ cos ^{- 1}x - cos ^{- 1}(1/2 x) = π/6 - π/2

⇒ cos ^{- 1}x = cos ^{- 1}(1/2 x) - π/3

⇒ cos ^{- 1}x = cos ^{- 1}(1/2 x) - cos ^{- 1}(1/2)

⇒ cos ^{- 1}[x/2.1/2 + √(1 - x²/4).√(1 - 1/4)]

⇒ x = x/4 + √3/2 √(1 - x²/4)

⇒ 3/4 x = √3/4 √(4 - x²)

⇒ 3x² = 4 - x²

⇒ 4x² = 4

⇒ x = ±1

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

गणना:

sin-1 x + sin-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos-1 x + cos-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

योग्य उत्तर पर्याय 2 आहे.

संकल्पना:

व्यस्त ज्या sin x कार्याचे प्रभावक्षेत्र, $x\in \left[-1,1\right]$आहे.

गणना:

कार्याचे अधिक्षेत्र खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

${\sin }^{-1}\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)$

$-1\le 2x\sqrt{1-x^2}\le 1$

$-\frac{1}{2}\le x\sqrt{1-x^2}\le \frac{1}{2}$

$x^2\left(1-x^2\right)\le \frac{1}{4}$

$t-t^2-\frac{1}{4}\le 0$

${\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$

$t\le \frac{1}{2}$

$x^2\le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x\in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$

संकल्पना:

• 1 + tan² x = sec² x.
• tan (tan^-1 x) = x.

गणना:

असे म्हणूया की ${\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}}=\theta$, जिथे =$\theta \in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$.

$\Rightarrow \tan \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}}$

$\Rightarrow {\tan }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{4}}$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\theta =1+{\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{4}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2+4}{4}}$

$\Rightarrow {\sec }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2+4}{4}}$

$\Rightarrow \sec \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{y}}^2+4}}{2}}$

$\Rightarrow \sec ({\tan }^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{2}})={\displaystyle \frac{\sqrt{{\mathrm{y}}^2+4}}{2}}$.