Trigonometric Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

p tan (θ - 30°) = q tan (θ + 120°)

⇒ p/q = \(\frac{tan(\theta + 120°)}{tan(\theta -30°)}\)

= \(\frac{sin(\theta+120)cos(\theta -30)}{cos(\theta+120)sin(\theta-30)}\)

⇒ \(\frac{p+q}{p-q} = \)\(\frac{sin(\theta+120)cos(\theta -30)+cos(\theta+120)sin(\theta-30)}{sin(\theta+120)cos(\theta -30)-cos(\theta+120)sin(\theta-30)}\)

= \(\frac{sin[(\theta+120)+(\theta-30)]}{sin[(\theta+120)-(\theta-30)]}\)

= \(\frac{sin(90+2\theta)}{sin 150}\)

⇒ \(\frac{p+q}{p-q} = \frac{sin(90+2\theta)}{\frac{1}{2}}\)

= 2 cos 2θ

इसलिए, विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

(I) मान लीजिए tan 22.5° = tan 45/2 = t

⇒ tan45° = \(tan( 2 \times\frac{45}{2})\)

= \(\frac{2tan\frac{45}{2}}{1 -tan^2\frac{45}{2}}\)

⇒ 1 = \(\frac{2t}{1-t^2}\) ⇒ t² + 2t -1 = 0

⇒ t = \(\frac{-2 ± √4+4}{2} = -1±√2\)

⇒ tan \(\frac{45}{2} = -1 ± √2 = -1 +√2\) (प्रथम चतुर्थांश में tan धनात्मक है)

यह एक अपरिमेय संख्या है।

(II) cot22.5° = \(\frac{1}{tan 22.5} = \frac{1}{-1 +√2} = 1+√2\)

यह भी एक अपरिमेय संख्या है

(III) tan22.5° - cot22.5° = -1+ √2 -(1 +√ 2)

= -2

यह एक अपरिमेय संख्या नहीं है

∴ विकल्प (ग) सही है।

अवधारणा:

गुणनफल-से-योग सूत्र:

• गुणनफल-से-योग सूत्र साइन और कोसाइन के गुणनफल को योग के रूप में व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• साइन के लिए, सूत्र निम्नवत है:

  \(\sin A \sin B = \frac{1}{2} [ \cos (A-B) - \cos (A+B) ] \)

गणना:

⇒ sin12° . sin48° = \(\frac{2(sin12°.sin48°)}{2}\)

= \(\frac{1}{2} [Cos 36° -Cos60°]\)

= \(\frac{1}{2}[\frac{\sqrt5 +1}{4} -\frac{1}{2}] =\frac{\sqrt5 -1}{8}\)

∴ विकल्प (c) सही है। 

व्याख्या:

मान लीजिए, I = cot² (sec^-1 2) + tan²(cosec^-1 3)

⇒ I = cot² (60°) + tan ² (cot^-1 \(\sqrt 8 \))

⇒ I = \(\frac{1}{3} + tan^2( tan^{-1}\frac{1}{\sqrt8})\)

⇒ I = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{11}{24}\)

∴ विकल्प (b) सही है। 

गणना

sin70° (cot 10° cot70° - 1)

⇒ \(\frac{\cos \left(80^{\circ}\right)}{\sin 10}=1\)

अतः विकल्प 1 सही है। 

धारणा:

cosec² x – cot² x = 1

गणना:

दिया हुआ: p = cosec θ – cot θ और q = (cosec θ + cot θ)^-1

⇒ cosec θ + cot θ = 1/q

जैसा कि हम जानते हैं कि,, cosec² x – cot² x = 1

⇒ (cosec θ + cot θ) × (cosec θ – cot θ) = 1

\(\frac1q \times p=1\)

धारणा:

sin² x + cos² x = 1

गणना:

दिया हुआ: sin θ + cos θ = 7/5 

उपर्युक्त समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है

⇒ (sin θ + cos θ)² = 49/25

⇒ sin² θ + cos² θ+ 2sin θ.cos θ = 49/25

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin2 x + cos2 x = 1

⇒ 1 + 2sin θcos θ = 49/25

⇒ 2sin θcos θ = 24/25

अवधारणा:

I. sec² θ – tan² θ = 1

II. a² – b² = (a - b) (a + b)

गणना:

दिया गया है:

tan θ + sec θ = 4     ...(1)

जैसा कि हम जानते हैं कि, sec² θ – tan² θ = 1

⇒ sec² θ – tan² θ = 1

⇒ (sec θ – tan θ) (sec θ + tan θ) = 1

उपरोक्त समीकरण में tan θ + sec θ = 4 का मान रखने पर हमे प्राप्त होगा

⇒ sec θ – tan θ = 1/4     ... (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमे प्राप्त होगा-

⇒ 2 sec θ = 17/4

⇒ sec θ = 17/8 ⇒ cos θ = 8/17

Mistake Points

यह tan θ है जो 15/8 के बराबर है। उपरोक्त दो समीकरण जिन्हें हमने हल किया था:

tan θ + sec θ = 4

sec θ – tan θ = 1/4

संकल्पना:

a2 - b2 = (a - b) (a + b)

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

sec4 x - tan4 x

=(sec2 x - tan2 x) (sec2 x + tan2 x)          (∵ a2 - b2 = (a - b) (a + b))

= 1 × (1 + tan2 x + tan2 x)                                          (∵ sec2 x - tan2 x = 1)

= 1 + 2tan² x

प्रयुक्त सूत्र

sin2A + cos2A = 1

1/sinA = cosecA

1/cosA = secA

गणना

\(\rm sinA \left(1 + {sinA\over cosA} \right) + cosA \left(1 + {cosA\over sinA} \right)?\)

⇒ sinA (cosA + sinA)/cosA + cosA(sinA + cosA)/sinA

⇒ (sinA + cosA) [(sinA/cosA) + (cosA/sinA)]

⇒ (sinA + cosA) [(sin²A + cos²A)/(cosA.sinA)]

⇒ (sinA + cosA) [1/(cosA.sinA)]

⇒ 1/sinA + 1/cosA

⇒ secA + CosecA

उत्तर secA + CosecA है।

दिया गया है:

\(\frac{cot^3θ}{cosec^2θ}+\frac{tan^3θ}{sec^2 θ}\) + 2sinθ cosθ 

सूत्र:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

sin²θ + cos²θ = 1

गणना:

\(\frac{cot^3θ}{cosec^2θ}+\frac{tan^3θ}{sec^2 θ}\) + 2sinθ cosθ 

⇒ \(cos^3θ\over sin^3θ\) × sin²θ + \(sin^3θ\over cos^3θ\) × cos²θ + 2sinθ cosθ 

⇒ \(cos^3θ\over sinθ\) + \(sin^3θ\over cosθ\) + 2sinθ cosθ

⇒ \({sin^4θ+cos^4θ+2sin^2θ cos^2θ}\over{sinθ cosθ}\) 

⇒ \(({sin^2θ+cos^2θ})^2\over{sinθ cosθ}\) = \(1\over{sinθ cosθ}\)

⇒ \({1\over sinθ}\times{1\over cosθ}\) = cosecθ secθ (\(1\over{sinθ}\) = cosecθ, \(1\over{cosθ}\) = secθ) 

∴ \(\frac{cot^3θ}{cosec^2θ}+\frac{tan^3θ}{sec^2 θ}\) + 2sinθ cosθ = cosecθ.secθ

अवधारणा:

• cosec x = 1/sin x
• cot x = cos x/ sin x
• cos² x + sin²x= 1

गणना:

यहाँ, हमें \(\frac{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} + \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} - \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}\) का मूल्य ज्ञात करना है

अभिव्यक्ति \(\frac{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} + \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} - \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}\) का परिमेयीकरण करके हमें मिलता है

\(= \frac{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} + \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} - \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}{\rm{\;}} \times \;\frac{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} + \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}{{\sqrt {1 + {\rm{sinx}}} + \sqrt {1 - {\rm{sinx}}} }}\)

\( = \frac{{[\left( {1 + sinx + 1 - sinx} \right) + 2\sqrt {1 - si{n^2}x} }}{{\left( {1 + sinx - 1 + sinx} \right)}}\)

\( = \frac{{2 + 2{\rm{cosx}}}}{{2{\rm{\;sinx}}}}\)

∴ cosec x + cot x

संकल्पना:

त्रिकोणमितीय सूत्र

sec² θ = 1 + tan² θ

cosec2 θ = 1 + cot2 θ

cot θ = \(\rm \frac{1}{tan \theta }\)

sec θ = \(\rm \frac{1}{cos \theta }\)

cosec θ = \(\rm \frac{1}{sin \theta }\)

गणना:

\(\rm \frac{1+tan^2\theta}{1+cot^2\theta}-\left(\frac{1-tan\theta}{1-cot\theta}\right)^2\)

\(= \frac{sec^2θ}{cosec^2θ}-\left(\frac{1-tanθ}{1-\frac{1}{tan θ }}\right)^2\)

\(= \rm \frac{\frac{1}{cos^{2}θ}}{\frac{1}{sin^{2}θ}} - \left (\frac{1 - tanθ}{\frac{tan θ - 1}{tan θ }} \right )^{2}\)

\(\rm = \frac{sin^{2}θ }{cos^{2} θ } - \left (\frac{1 - tanθ}{\frac{- (1 - tan θ )}{tan θ }} \right )^{2}\)

= tan² θ - (-tan θ)²

= tan2 θ - tan2 θ 

= 0

संकल्पना:

sec2 x - tan2 x = 1

गणना:

दिया गया है sec x + tan x = 2     ....(i)

∵ sec² x - tan² x = 1

(sec x + tan x)(sec x - tan x) = 1

2(sec x - tan x) = 1

sec x - tan x = \(1\over 2\)              ....(ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर 

2 sec x = 2 + \(1\over 2\)

\(\rm{2\over \cos x} = {5\over 2}\)

cos x = \(4\over 5\)

दिया गया है:

√3 - 3√3tan2 A = 3tan A - tan3 A

प्रयुक्त सूत्र:

tan 3A = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan²A)

गणना:

√3 - 3√3tan2A = 3tan A - tan3A

⇒ √3(1 - 3tan2A) = 3tan A - tan3A

⇒ √3 = (3tan A - tan3A)/(1 - 3tan2A)

⇒ √3 = tan 3A 

⇒ tan 60° = tan 3A

⇒ 3A = 60° 

⇒ A = 60°/3 = 20° 

∴  A का मान 20° है।​