Inverse Trigonometric Functions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Inverse Trigonometric Functions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

\(\text { Let } T=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right)\) అనుకుందాం

\(\text { Put } x^2=\cos 2 \theta \Rightarrow \theta=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\)

∴ \(\mathrm{T}=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2 \theta}+\sqrt{1-\cos 2 \theta}}{\sqrt{1+\cos 2 \theta}-\sqrt{1-\cos 2 \theta}}\right)\)

= \(\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2} \cos \theta+\sqrt{2} \sin \theta}{\sqrt{2} \cos \theta-\sqrt{2} \sin \theta}\right)\)

= \(\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right)\)

= \(\tan ^{-1}\left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)

= \(\tan ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right)\)

= \(\frac{\pi}{4}+\theta\)

= \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\)

∴ కావలసిన సమాధానం \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^2\).

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1.

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)

అలాగే, sin 2θ విలువ,

\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)

వివరణ:-

అనుకుందాం,

\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)

లేదా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)

కాబట్టి, tan^-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.

కాన్సెప్ట్:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

సాధన:

sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

సరైన ఎంపిక 2.

భావన:

sin (π - θ) = sin θ 

\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\), x ∈ [\(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\)]

లెక్కింపు:

\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)

\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)

\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\)                                 (∵ sin (π - θ) = sin θ)

\(= \frac{{2\pi }}{5}\)

కావున, ఎంపిక 2  సరైన సమాధానం

వివరణ:

sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]

sin (sin^-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2

మనకు, \(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\)

= sin^-1(sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) ----- ఎందుకంటే \(\frac{-\pi}{3}\) ∈ [\(\frac{-\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)]

కాబట్టి sin-1(sin(\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\))) = \(\frac{-\pi}{3}\)

Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)

అలాగే, sin 2θ విలువ,

\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)

వివరణ:-

అనుకుందాం,

\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)

లేదా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)

కాబట్టి, tan^-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.

కాన్సెప్ట్:

sin-1 x + cos-1 x = \(\rm \frac{π}{2}\)  

సాధన:

sin-1 x + sin-1 y = \(\rm \frac{3π}{4}\) 

⇒ \(\rm \left ( \frac{π}{2} -cos^{-1}x\right ) + \left ( \frac{π}{2}- cos^{-1}y\right ) = \frac{3π}{4}\) 

⇒ π - ( cos-1 x + cos-1 y ) = \(\rm \frac{3π}{4}\)

⇒ cos-1 x + cos-1 y = \(\rm\frac{\pi}{4}\) 

సరైన ఎంపిక 2.

భావన:

sin (π - θ) = sin θ 

\({\sin ^{ - 1}}(sinx)= x\), x ∈ [\(\rm \frac {-\pi}{2},\rm \frac {\pi}{2}\)]

లెక్కింపు:

\(\rm {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{3\pi }}{5})\)

\(\rm = {\sin ^{ - 1}}[sin \rm (\pi - \frac{{2\pi }}{5})]\)

\(= {\sin ^{ - 1}}(sin \frac{{2\pi }}{5})\)                                 (∵ sin (π - θ) = sin θ)

\(= \frac{{2\pi }}{5}\)

కావున, ఎంపిక 2  సరైన సమాధానం

వివరణ:

sinθ = x ⇒ θ = sin^-1x, θ ∈ [-π/2, π/2]

sin (sin^-1 x) =x -π/2 ≤ x ≤ π/2

మనకు, \(\sin^{−1}\left(\frac{−\sqrt{3}}{2}\right)\)

= sin^-1(sin(\(\frac{-\pi}{3}\))) ----- ఎందుకంటే \(\frac{-\pi}{3}\) ∈ [\(\frac{-\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)]

కాబట్టి sin-1(sin(\(\frac{-\sqrt{3}}{2}\))) = \(\frac{-\pi}{3}\)

Additional Information విలోమ త్రికోణమితీయ ప్రమేయాల ప్రధాన విలువలు:

భావన :

y = sin-1 x ప్రమేయం ఉనికిలో ఉండాలంటే,

⇒ |x| ≤ 1

గణన:

\(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) ఉనికిలో ఉండాలంటే,

\(\Rightarrow -1 ≤ 2 \sin \frac{\pi}{2} ≤ 1\)

⇒ -1 ≤ 2 ≤ 1 ⇒ సాధ్యం కాదు

⇒ \(\sin^{-1} \left( 2 \sin \frac{\pi}{2} \right)\) విలువ ఉండదు.

కాబట్టి సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.

ఉపయోగించిన భావన:-

tan 2θ విలువ తెలుసు,

\(\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1-\tan ^2 x\right)}\)

అలాగే, sin 2θ విలువ,

\(\sin 2 x=\frac{2 \tan x}{\left(1+\tan^2 x\right)}\)

వివరణ:-

అనుకుందాం,

\(\begin{aligned} & u=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \\ & v=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2} \end{aligned}\)

x దృష్ట్యా ఈ సమీకరణాలను అవకలనం చేయడం,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^2} \right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right) \end{aligned}\)

x=tan θ గా ఉంచడం ద్వారా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1-(tan \theta)^2} \right)=\frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} tan (2\theta)\right) \\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} \frac{2 tan \theta}{1+(tan \theta)^2}\right)=\frac{d}{d x}\left(\sin^{-1} sin(2\theta)\right) \end{aligned}\)

లేదా,

\(\begin{aligned} & \Rightarrow \frac{d u}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x)\\ & \Rightarrow \frac{d v}{d x}=2\theta= 2tan^{-1}(x) \end{aligned}\)

ఇప్పుడు, x దృష్ట్యా u యొక్క అవకలన గుణకం,

\(\Rightarrow \frac{d u}{d v}=1\)

కాబట్టి, tan^-1(\(2x\over 1-x^2\)) యొక్క అవకలన గుణకం sin^-1(\(2x\over 1+x^2\)) దృష్ట్యా 1 కి సమానం.

సరైన ఎంపిక 4.