General Solution of Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for General Solution of Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

cotθ + tanθ = 2 का सामान्य हल

प्रयुक्त सूत्र:

cotθ + tanθ = 2

गणना:

दिए गए समीकरण से शुरुआत करते हैं:

cotθ + tanθ = 2

हम जानते हैं कि:

\(cot\theta = \frac{1}{tan\theta}\)

इसलिए, समीकरण बन जाता है:

\( \frac{1}{tan\theta} + tan\theta = 2 \)

मान लीजिए \( tan\theta = x \)

तब:

\( \frac{1}{x} + x = 2 \)

दोनों ओर x से गुणा कीजिए:

\( 1 + x^2 = 2x \)

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कीजिए:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

इसलिए, x = 1:

\( tan\theta = 1 \)

इसलिए:

\( \theta = n\pi + \frac{\pi}{4} \)

आवर्तता को ध्यान में रखते हुए:

\( \theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} \)

सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

\(\begin{array}{l} \sqrt{1+\cos 2 x}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x) \\ \Rightarrow|\cos x|=\tan ^{-1}(\tan x) \end{array}\)

हलों की संख्या = प्रतिच्छेद बिंदुओं की संख्या = 3

दिया गया है:

cotθ + tanθ = 2 का सामान्य हल

प्रयुक्त सूत्र:

cotθ + tanθ = 2

गणना:

दिए गए समीकरण से शुरुआत करते हैं:

cotθ + tanθ = 2

हम जानते हैं कि:

\(cot\theta = \frac{1}{tan\theta}\)

इसलिए, समीकरण बन जाता है:

\( \frac{1}{tan\theta} + tan\theta = 2 \)

मान लीजिए \( tan\theta = x \)

तब:

\( \frac{1}{x} + x = 2 \)

दोनों ओर x से गुणा कीजिए:

\( 1 + x^2 = 2x \)

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कीजिए:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

\( (x - 1)^2 = 0 \)

इसलिए, x = 1:

\( tan\theta = 1 \)

इसलिए:

\( \theta = n\pi + \frac{\pi}{4} \)

आवर्तता को ध्यान में रखते हुए:

\( \theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} \)

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

यदि cos x = cos α, तो x = 2nπ ± α, n = 0, ± 1, ± 2, ...

गणना:

दिया गया है, 3sin2x + 10cos x - 6 = 0

⇒ 3(1 - cos2x) + 10cos x - 6 = 0

⇒ 3 - 3cos2x + 10cos x - 6 = 0

⇒ 3cos2x - 10cos x + 3 = 0

⇒ 3cos2x - 9cos x - cos x + 3 = 0

⇒ 3cos x (cos x - 3) - (cos x - 3) = 0

⇒ (cos x - 3)(3cos x - 1) = 0

⇒ cos x = 3 या 3cos x = 1

लेकिन cos x = 3 संभव नहीं हो सकता क्योंकि सभी x ∈ R के लिए - 1 ≤ cos x ≤ 1 है।

∴ 3cos x = 1

⇒ cos x = \(\frac{1}{3}\)

⇒ cos x = cos(cos ^-1 ( \(\frac{1}{3}\) ))

⇒ x = 2nπ ± cos–1(1/3)

∴ समीकरण x = 2nπ ± cos–1(1/3) के लिए संतुष्ट होती है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है, x3 + 2x2 + 5x + 2cosx = 0

⇒ x3 + 2x2 + 5x = - 2cosx

आलेख से हम देख सकते हैं कि x ∈ [0, 2π] के लिए आलेख प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

∴ [0, 2π] में समीकरण x3 + 2x2 + 5x + 2cosx = 0 के हलों की संख्या शून्य है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

यदि sin θ = sin α  है, तो θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: 4 sin 3x = 2

⇒ sin 3x = ½

चूँकि हम जानते हैं कि, sin (π/6) = ½

⇒ sin 3x = sin (π/6)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि sin θ = sin α है, तो

θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z 

⇒ 3x = nπ + (- 1)ⁿ × (π/6), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:

गणना:

दिया गया है: cos x = 1

⇒ cos x = cos 0

चूँकि हम जानते हैं, यदि cos θ = cos α है, तो θ = 2nπ ± α है। 

इसलिए, x = 2nπ ± 0 = 2nπ 

अतः cos x = 1 का सामान्य हल x = 2nπ, n ∈ Z है। 

संकल्पना:

यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z.

गणना:

दिया गया है: 8 tan(2x) – 5 = 3

⇒ 8 tan(2x) = 8

⇒ tan 2x = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, tan (π/4) = 1

⇒ tan 2x = tan (π/4)

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α, α ∈ (-π/2, π/2), n ∈ Z

⇒ 2x = nπ + (π/4), जहाँ n ∈ Z

संकल्पना:

निम्न का सामान्य हल:

cos x = cos y ⇒ x = 2nπ ± y

sin x = sin y ⇒ x = nπ + (-1)ny

गणना:

दिए गए समीकरण को इस प्रकार हल किया जा सकता है:

​sin 2x + cos x = 0

⇒ 2 sin x cos x + cos x = 0

⇒ cos x (2 sin x + 1) = 0

⇒ cos x = 0 या (2 sin x + 1) = 0

⇒ cos x = cos π/2 या sin x = sin (-π/6)

⇒ x = 2nπ +- π/2 OR x = nπ + (-1)n × (-π/6)

संकल्पना:

कुछ मानक त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामान्य हल:

गणना:

दिया गया है: tan x = \(\sqrt 3\)

⇒ tan x = tan \(\rm \frac {\pi}{3}\)

चूँकि हम जानते हैं, यदि tan θ = tan α है, तो θ = nπ + α है। 

इसलिए, x = nπ + \(\rm \frac {\pi}{3}\) 

अतः tan x = \(\sqrt 3\) का सामान्य हल nπ + \(\rm \frac {\pi}{3}\), n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है कि cot θ + tan θ = 2

\(\rm {1\over \tanθ} +\tan θ = 2\)

tan2 θ - 2 tan θ + 1 = 0

(tan θ - 1)2 = 0

tan θ = 1

θ = \({\pi\over4}, {5\pi\over4}, {9\pi\over4}...\) = \(\frac{{n\pi }}{2} + {( - 1)^n}\frac{\pi }{4}\) , (n ∈ N)

प्रश्न से, दिया गया समीकरण है:

cos 2x + α sin x = 2α – 7

∵ [cos 2x = 1 – 2 sin² x]

⇒ 1 – 2 sin² x + α sin x – 2α + 7 = 0

⇒ -2 sin² x + α sin x – 2α + 8 = 0

⇒ 2 sin²x – αsinx + 2α – 8 = 0

⇒ (2 sin² x – 8) – α sin x + 2α = 0

⇒ 2(sin² x – 4) – α(sin x – 2) = 0

⇒ 2(sin x – 2)(sin x + 2) – α (sin x – 2) = 0

⇒(sin x – 2)[2(sin x + 2) – α] = 0

अब, (sin x – 2):

⇒ sin x – 2 = 0

∴ sin x = 2

जो संभव नहीं है।

अब, 2(sin x + 2) – α:

⇒ 2(sin x + 2) – α = 0

⇒ (2 sin x + 4) = α

⇒ 2 sin x = α – 4

\(\therefore \sin x = \frac{{\alpha - 4}}{2}\)

अब, sin x का परास आमतौर पर -1 से 1 तक होता है।

⇒ -1 < x < 1

\(\Rightarrow - 1 < \left( {\frac{{\alpha - 4}}{2}} \right) < 1\)

⇒ -2 < (α – 4) < 2

∴ 2 < α < 6

वर्णन:

tan θ = tan α

∴ θ = nπ + α 

दिया हुआ, \(1+ \sin x \cdot \sin^2 \dfrac{x}{2} = 0\)

\(⇒ 2 + 2 \sin x \cdot \sin^2 \dfrac{x}{2} = 0\)

⇒ 2 + sin x (1 - cos x) = 0

⇒ 4 + 2 sin x (1 - cos x) = 0

⇒ 4 + 2 sin x - sin 2x = 0

⇒ sin 2x = 2 sin x + 4

उपरोक्त मान x के लिए उपयुक्त नहीं है जैसा कि बायीं ओर अधिकतम मान 1 है और दायीं ओर अधिकतम मान 2 है।

अतः,इसका कोई हल नहीं है।

दिया गया है:

 3 sin2 x - 7 sin x + 2 = 0

अवधारणा:

sin x के व्यापक मान की अवधारणा का प्रयोग कीजिए। 

\(x=\rm n\pi+(-1)^n \theta\)

गणना:

3 sin2 x - 7 sin x + 2 = 0

sin x = y प्रतिस्थापित कीजिए, 

⇒3y2 - 7y + 2 = 0

⇒3y2 - 6y - y + 2 = 0

⇒3y(y - 2) - (y - 2) = 0

⇒(y - 2)(3y - 1) = 0

⇒y = 2 , 1/3

हम जानते हैं कि sin x की परास [-1,1] है, तो 2 इससे अधिक की सीमा में नहीं है,

⇒ sin x = 1/3

⇒ x = sin-1(1/3)

इसलिए व्यापक मान 

\(\rm x={n\pi}+(-1)^n\sin^{-1}\frac{1}{3}\)

अतः विकल्प (3) सही है।