Specific Solution of Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Specific Solution of Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• ज्या फलन का परिसर: ज्या फलन का आउटपुट हमेशा −1 और 1 के बीच होता है, अर्थात्, सभी वास्तविक θ के लिए sin(θ) ∈ [−1, 1]।
• द्विघात फलन: ax2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन एक परवलय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है, और इसका न्यूनतम मान x = −b / 2a पर होता है।
• मुख्य विचार: यह पता लगाने के लिए कि sin(व्यंजक) = द्विघात के लिए कितने हल मौजूद हैं, हम यह निर्धारित करते हैं कि x के कितने मान द्विघात व्यंजक को [−1, 1] के भीतर रखते हैं।

गणना:

दिया गया है,

$\sin (\frac{\pi x}{3\sqrt{2}})=x^2-4x+6$

माना f(x) = x2 − 4x + 6

f(x) का न्यूनतम मान इस पर होता है:

x = 4 / 2 = 2

⇒ f(2) = (2)2 − 4x2 + 6 = 4 − 8 + 6 = 2

चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए f(x) का परिसर [2, ∞) है

लेकिन, sin(θ) ∈ [−1, 1]

⇒ समीकरण के हल तभी होंगे जब x2 − 4x + 6 ∈ [−1, 1]

लेकिन सभी x के लिए f(x) ≥ 2, और 2 > 1

⇒ x का कोई भी मान f(x) ∈ [−1, 1] को संतुष्ट नहीं करता है

∴ वास्तविक हलों की संख्या शून्य है।

गणना:

$\cos 2\theta \cdot \cos \frac{\theta }{2}=\cos 3\theta \cdot \cos \frac{9\theta }{2}$

$\Rightarrow 2\cos 2\theta \cdot \cos \frac{\theta }{2}=2\cos \frac{9\theta }{2}\cdot \cos 3\theta$

$\Rightarrow \cos \frac{5\theta }{2}+\cos \frac{3\theta }{2}=\cos \frac{15\theta }{2}+\cos \frac{3\theta }{2}$

$\Rightarrow \cos \frac{15\theta }{2}=\cos \frac{5\theta }{2}$

$\Rightarrow \frac{15\theta }{2}=2\mathrm{k}\pi \pm \frac{5\theta }{2}$

5θ = 2kπ या 10θ = 2kπ

⇒ $\theta =\frac{2\mathrm{k}\pi }{5}$

$\therefore \theta =\{-\pi ,\frac{-4\pi }{5},\frac{-3\pi }{5},\frac{-2\pi }{5},\frac{-\pi }{5},0,\frac{\pi }{5},\frac{2\pi }{5},\frac{3\pi }{5},\frac{4\pi }{5},\pi \}$

एम = 5, एन = 5

∴ एमएन = 25

अतः, सही उत्तर 25 है।

गणना:

x ∈ [-4π, 4π] के लिए समीकरण |cosx| = sinx के हल की संख्या, x ∈ [0, 2π] के लिए समान समीकरण के हल की संख्या की 4 गुना होगी।

y = |cosx| और y = sinx के ग्राफ नीचे दिखाए गए हैं।

∴ दिए गए समीकरण के [0, 2π] में दो हल हैं।

⇒ [-4π, 4π] में कुल 8 हल हैं।

∴ हल की कुल संख्या 8 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

मूल α और β वाला समीकरण x² – (α + β)x + αβ = 0 द्वारा दिया गया है

गणना:

दिया गया है, sin2 x + (2 + 2x – x2)sinx – 3(x – 1)2 = 0

⇒ sin2x – (x2 – 2x – 2)sinx – 3(x – 1)2 = 0 

⇒ sin2x – [(x – 1)2 – 3]sinx – 3(x – 1)2 = 0

∴ sinx = – 3 (निरस्त करें) या sinx = (x – 1)²

⇒ sinx = (x – 1) ²

⇒ दो हल है। 

∴ हलों की संख्या 2 है।

संकल्पना:

- 1 ≤ sin x ≤ 1

गणना:

दिया गया है: 9 sin 7x + 20 = 0

⇒ sin 7x = - 20/9 < - 1

चूँकि हम जानते हैं कि, किसी तर्क के लिए θ, - 1 ≤ sin θ ≤ 1

अतः इस समीकरण के लिए कोई हल नहीं है। 

अवधारणा:

a sin x + b cos x का न्यूनतम और अधिकतम मान

-$\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$ ≤ a sin x + b cos x ≤ $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं, -$\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$ ≤ a sin x + b cos x ≤ $\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$

⇒ -$\sqrt{2^2+0^2}$ ≤  2sin x + 0 cos x ≤ $\sqrt{2^2+0^2}$

⇒ -2 ≤ 2sin x ≤ 2

⇒ -2 ≤ 2k + 1 ≤ 2

⇒ -3 ≤ 2k ≤ 1

⇒ -1.5 ≤ k ≤ 0.5

k = 0, -1 

इसलिए, विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

समीकरण tan x = tan α के सामान्य हल को: x = nπ + α द्वारा ज्ञात किया जाता है जहाँ $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ और n ∈ Z है। 

सूचना: एक त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को प्रमुख हल कहा जाता है जिसके लिए 0 ≤ x < 2π है। 

गणना:

दिया गया है: $\tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

चूँकि हम जानते हैं कि, $\tan \frac{5\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ $\tan x=\tan \frac{5\pi }{6}$

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि tan x = tan α है, तो x = nπ + α है, जहाँ $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$और n ∈ Z है।

⇒ x = nπ + (5π/6) जहाँ n ∈ Z.

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि एक त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को प्रमुख हल कहा जाता है जिसके लिए 0 ≤ x < 2π है। 

इसलिए, दिए गए समीकरण के प्रमुख हल x = 5π/6 और 11π/6 हैं।

अतः सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

यदि sin θ = sin α है, तो θ = nπ + (- 1)ⁿ α, α ∈ [-π/2, π/2], n ∈ Z है। 

गणना:

दिया गया है: 4 sin x + 2√3 = 0 जिससे x ∈ [0, 2π] है। 

⇒ 4 sinx = - 2√3

⇒ sin x = - √3/2

चूँकि हम जानते हैं कि, sin x तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है। 

∵ x ∈ [0, 2π]

⇒ x = 4π/3, 5π/3

अतः x = 4π/3, 5π/3 दिए गए समीकरण के हल हैं। 

अवधारणा:

त्रिकोणमिति:

• tan $\frac{\pi }{4}$ = 1

बीजगणित:

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²

गणना:

1 + tan2 x - 2 tan x = 0

⇒ 1² - 2 (1) (tan x) + (tan x)² = 0

⇒ (1 - tan x)² = 0

⇒ 1 - tan x = 0

⇒ tan x = 1

⇒ x = $\frac{\pi }{4}$

इस्तेमाल किया गया सूत्र:

sin-1 x = $\frac{\pi }{2}$

x = sin ($\frac{\pi }{2}$)

sin ($\frac{\pi }{2}$) = 1

गणना:

sin-1 x + sin-1 y + sin-1 z = $\frac{3\pi }{2}$

यह तभी संभव है जब

sin-1 x = sin-1 y = sin-1 z = $\frac{\pi }{2}$

⇒ sin-1 x = $\frac{\pi }{2}$

⇒ x = 1    ----(i)

⇒ sin-1 y =$\frac{\pi }{2}$

⇒ y = 1      ----(ii)

⇒ sin-1 z =  $\frac{\pi }{2}$

⇒ z = 1      ----(iii)

अब, हमें निम्न का मान ज्ञात करना है

x1000 + y1001 + z1002

अब, (i), (ii), और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ (1)1000 + (1)1001 + (1)1002

⇒ 1 + 1 + 1

⇒ 3

∴ x1000 + y1001 + z1002  का मान 3 है।

संकल्पना:

समीकरण cos x = cos α के सामान्य हल को x = 2nπ ± α द्वारा ज्ञात किया जाता है जहाँ α ∈ [0, π] और n ∈ Z है।

सूचना: एक त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को प्रमुख हल कहा जाता है जिसके लिए 0 ≤ x < 2π है। 

गणना:

दिया गया है: sec x = 2

⇒ cos x = 1/2

चूँकि हम जानते हैं कि, cos (π/3) = 1/2

⇒ cos x = cos π/3

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि cos x = cos α है, तो x = 2nπ ± α है, जहाँ α ∈ [0, π] और n ∈ Z है। 

⇒ x = 2nπ ± (π/3), जहाँ n ∈ Z

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि एक त्रिकोणमितीय समीकरण के हल को प्रमुख हल कहा जाता है जिसके लिए 0 ≤ x < 2π है। 

इसलिए, दिए गए समीकरण के प्रमुख हल x = π/3 और 5π/3 हैं। 

अतः सही विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

• sin (A ± B) = sin A cos B ± sin B cos A.
• sin 2A + sin 2B = 2 sin (A + B) cos (A - B).
• cos (2nπ + θ) = cos θ.

गणना:

sin x + sin 5x = sin 3x

sin 2A + sin 2B = 2 sin (A + B) cos (A - B) का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

2 sin 3x cos 2x = sin 3x

⇒ sin 3x (2 cos 2x - 1) = 0

⇒ sin 3x = 0 या 2 cos 2x - 1 = 0

स्थिति 1: sin 3x = 0 = sin nπ, n ∈ Z.

⇒ $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{n}\pi }{3}$

⇒ $\mathrm{x}=...,0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,...$

स्थिति 2: 2 cos 2x - 1 = 0

⇒ $\cos 2\mathrm{x}=\frac{1}{2}=\cos (2\mathrm{n}\pi \pm \frac{\pi }{3})$, n ∈ Z.

⇒ $\mathrm{x}=\mathrm{n}\pi \pm \frac{\pi }{6}=(6\mathrm{n}\pm 1)\frac{\pi }{6}$

⇒ $\mathrm{x}=...,\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},...$

इसलिए, अंतराल [0, π] में x के 6 संभव मान हैं। 

Additional Information

संबद्ध कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात: ​ 

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
• sin (nπ + θ) = (-1)ⁿ sin θ
• cos (nπ + θ) = (-1)ⁿ cos θ
• $\sin [(2\mathrm{n}+1)\frac{\pi }{2}+\theta ]$ = (-1)ⁿ cos θ
• $\cos [(2\mathrm{n}+1)\frac{\pi }{2}+\theta ]$ = (-1)ⁿ (-sin θ)

यदि समीकरण में एक चर 0 ≤ x < 2π शामिल है, तो हल को प्रमुख हल कहा जाता है।

tan^-1 (1) = $(\mathrm{n}\pi -\frac{3\pi }{4})$

गणना:

दिया गया है tan 2θ = 1

⇒ 2θ = tan -1 (1)

⇒ 2θ = ${\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}},{\displaystyle \frac{9\pi }{4}},{\displaystyle \frac{13\pi }{4}},{\displaystyle \frac{17\pi }{4}}...$ 

⇒ θ = ${\displaystyle \frac{\pi }{8}},{\displaystyle \frac{5\pi }{8}},{\displaystyle \frac{9\pi }{8}},{\displaystyle \frac{13\pi }{8}},{\displaystyle \frac{17\pi }{8}}...$ 

प्रमुख हल n 0 ≤ θ < 2π के लिए

इसलिए,θ = ${\displaystyle \frac{\pi }{8}},{\displaystyle \frac{5\pi }{8}},{\displaystyle \frac{9\pi }{8}},{\displaystyle \frac{13\pi }{8}}$  

tan 2 θ = 1 के प्रमुख हलों की संख्या चार है। 

संकल्पना:

द्विघाती समीकरण ax2 + bx + c = 0  के लिए हल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$.

• sin (-θ) = -sin θ.
• sin θ = sin (2nπ + θ).

गणना:

sin2 x - sin x - 2 = 0

एक द्विघाती समीकरण के मूलों के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर:

⇒ $\sin \mathrm{x}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-2)}}{2(1)}$

⇒ $\sin \mathrm{x}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{9}}{2}}$ या $\sin \mathrm{x}={\displaystyle \frac{1-\sqrt{9}}{2}}$

⇒ sin x = 2 या sin x = -1.

∵ -1 ≤ sin x ≤ 1, ∴ sin x = 2 संभव नहीं है। 

sin x = -1 = $-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin (2\mathrm{n}\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$, n ∈ Z.

n = 0 के लिए, x = $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

n = 1 के लिए, x = ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$.

n = 2 के लिए, x = ${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$.

अंतराल 0 ≤ x < 2π पर x का केवल मान x = ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ है। 

Additional Information

• sin θ की अवधि 2π. ⇒ sin θ = sin (2nπ + θ) है। 
• cos θ की अवधि 2π. ⇒ cos θ = cos (2nπ + θ) है। 
• tan θ की अवधि π. ⇒ tan θ = tan (nπ + θ) है।