Domain or Range MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Domain or Range - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा: 

जहां फलन को परिभाषित किया जाता है, उसे प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का परिसर कहा जाता है और हमें जो मान प्राप्त होते हैं उन्हें प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का प्रांत कहा जाता है।

हल  -

इसलिए अंतिम उत्तर [-1,1] है अतः विकल्प 2 सही है।

Alternate Method

माना \(sin^{-1}x=A \Rightarrow x = sinA\) 

और हम सभी जानते हैं कि ज्या फलन एक पूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित होता है, इसलिए दिए गए फलन का परिसर \(\mathbb{R}\) है। और पूर्ण वास्तविक रेखा के लिए ज्या फलन के मान [-1,1] के बीच में हैं क्योंकि ज्या फलन आवर्ती है और पूर्ण वास्तविक रेखा पर 1 और -1 के बीच दोलन करता है।

अतः अंतिम उत्तर [-1,1] है अतः विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

किसी फलन का परिसर उसके सभी आउटपुट का समुच्चय है।

उदाहरण:

आइए हम फलन f: A→ B पर विचार करें।

जहाँ f(x) = 2x और A और B = {प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय}।

यहाँ हम कहते हैं कि A डोमेन है और B सह-डोमेन है।

A के सभी तत्वों के प्रतिबिंबों के समुच्चय को ƒ का परिसर कहा जाता है।  

गणना:

f(x) = 1 - sinx 

यहाँ f(x) का डोमेन (-∞, ∞) है

इस डोमेन में, sinx का परिसर [-1, 1] है

f(x) का परिसर = 1 - sin2x = 1 - [-1, 1] 

⇒ f(x) = [0 , 2]

f(x) का परिसर [0 , 2] है।

संप्रत्यय:

फलन की व्युत्क्रमणीयता:

• एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि वह एकैक (इंजेक्टिव) और आच्छादक (सर्जेक्टिव) हो।
• g(f(x)) के व्युत्क्रमणीय होने के लिए, f(x) को अपने डोमेन में एकैक होना चाहिए, और g(x) को f(x) की परिसर में एकैक होना चाहिए।
• f(x) = sin 2x + cos 2x एक आवर्ती त्रिकोणमितीय फलन है। हमें वह अंतराल ज्ञात करना होगा जहाँ यह एकैक है।
• g(x) = x² − 1 ℝ पर एकैक नहीं है क्योंकि यह एक परवलय है, लेकिन यह उन अंतरालों पर एकैक है जहाँ x या तो बढ़ रहा है या घट रहा है (एकदिष्ट अंतराल)।
• इसलिए, हमें एक ऐसा अंतराल चुनना होगा जहाँ:
  • f(x) एकैक हो
  • g(f(x)) एकैक हो, जिसका अर्थ है कि f(x) को +a और −a दोनों नहीं लेना चाहिए, क्योंकि g(x) = x² − 1 ±a के लिए समान आउटपुट देता है

गणना:

दिया गया है,

f(x) = sin 2x + cos 2x

⇒ f(x) = √2 sin(2x + π/4)

यह आयाम √2 और आवर्त π वाला एक ज्या फलन है।

हम डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करना चाहते हैं कि f(x) एकैक हो और विपरीत चिह्न के समान निरपेक्ष मान न ले।

sin(θ) फलन [−π/2, π/2] अंतराल में एकैक है।

इसलिए, 2x + π/4 ∈ [−π/2, π/2]

⇒ −π/2 ≤ 2x + π/4 ≤ π/2

⇒ π/4 घटाएँ: −3π/4 ≤ 2x ≤ π/4

⇒ 2 से भाग दें: −3π/8 ≤ x ≤ π/8

लेकिन हमें 0 के आसपास सममित अंतराल चाहिए जो यह सुनिश्चित करे कि f(x) एकैक हो और g(f(x)) भी एकैक हो।

x ∈ [−π/8, π/8] आज़माएँ

तब 2x ∈ [−π/4, π/4] ⇒ sin(2x + π/4) एक एकदिष्ट अंतराल में स्थित है।

⇒ f(x) = √2 sin(2x + π/4) एकैक हो जाता है।

इसके अलावा, f(x) इस परिसर में a और −a दोनों नहीं लेगा, इसलिए g(f(x)) = (f(x))² − 1 भी एकैक होगा।

∴ वह डोमेन जिसमें g(f(x)) व्युत्क्रमणीय है, वह है x ∈ [−π/8, π/8]

संकल्पना:

हम जानते हैं कि, \(\rm -1 \leq sin \;\theta \leq 1\)

गणना:

हम जानते हैं कि, \(\rm -1 \leq sin \;\theta \leq 1\)

दोनों पक्षों पर -2 जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒\(\rm -2 -1 \leq -2 + sin \;\theta \leq -2+ 1\)

⇒\(\rm -3 \leq -2 + sin \;\theta \leq -1\)

यदि हम mod लेते हैं, तो असमानता परिवर्तित होगी। 

⇒\(\rm |-3| \leq |-2 + sin \;\theta| \leq |-1|\)

∴  \(\rm 1 \leq |-2 + sin \;\theta| \leq 3\)

अतः |-2 + sin θ| का अधिकतम मान 3 है। 

दिया गया है: 

\(f (x) = 2\pi + sin(2x+{π\over {4}})\)

अवधारणा:

• यदि "p" आवर्ती फलन f(x) का आवर्त है, तो f (ax + b), a > 0 भी p/|a| के आवर्त के साथ एक आवर्त फलन है।
• sin (ax + b) और cos (ax + b) का आवर्त 2π/|a| है।
• tan (ax + b) और cot (ax + b)  का आवर्त π/|a| है।
• sec (ax + b) और cosec (ax + b) का आवर्त 2π/|a| है।

व्याख्या:

फलन \(f (x) = 2\pi + sin(2x+{π\over {4}})\) का आवर्त, ज्या फलन \(sin(2x+{π\over {4}})\) की आवर्ती द्वारा निर्धारित किया जाता है,

किसी स्थिर संख्या को जोड़ने या घटाने से फलन का आवर्त प्रभावित नहीं होता है।

फलन \(f (x) = 2\pi + sin(2x+{π\over {4}})\) की स्थिति में, ज्या फलन के अंदर x का गुणांक 2 है।

इसलिए, आवर्त T इस प्रकार दिया गया है:

T = 2π/|2|  = π

इसलिए, फलन\(f (x) = 2\pi + sin(2x+{π\over {4}})\)  का आवर्त π है।

अवधारणा:

sine फलन की सीमा [-1,1] है अर्थात \(\rm \Rightarrow -1\leq sin(x) \leq 1\)

गणना:

हम लिख सकते हैं, \(\rm sin(A - \frac{\pi}{3}) \in [-1,1]\)

\(\rm \Rightarrow -1\leq sin(A - \frac{\pi}{3}) \leq 1\)

\(\rm \Rightarrow -2\leq 2sin(A - \frac{\pi}{3}) \leq 2\)

इसलिए संबंध से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 2sin (A - \(\rm \frac{\pi}{3}\)) का न्यूनतम मान -2 है।

संकल्पना:

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का प्रमुख मान:

गणना:

माना कि f(x) = sin-1 3x है। 

चूँकि हम जानते हैं sin^-1 x का डोमेन x ∈ [-1, 1] है। 

इसलिए, -1 ≤ 3x ≤ 1

\(\Rightarrow \rm \frac{-1}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}\)

अतः sin-1 3x का डोमेन \(\left[\frac{-1}{3} , \frac{1}{3} \right ]\)है। 

धारणा:

यदि cos^-1 x = y तो x = cos y

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि cos-1 x = y तो x = cos y

तो y = cos-1 (x2 - 4) --------(दिया हुआ)

⇒ x² - 4 = cos y

जैसा कि हम जानते हैं कि, -1 ≤ cos y ≤ 1, जहाँ y ∈ R

⇒ - 1 ≤ x2 - 4 ≤ 1

असमीकरण के सभी पक्षों पर 4 जोड़कर हमें मिलता है

⇒ 3 ≤ x² ≤ 5

हम उपरोक्त असमीकरण को फिर से निम्न रूप में लिख सकते हैं

⇒ √3 ≤ |x| ≤ √5

⇒ x ∈ [-√5, -√3] ∪ [√3, √5]

इसलिए दिए गए फलन का डोमेन [-√5, -√3] ∪ [√3, √5] है

संकल्पना:

-1 ≤ sin x ≤ 1

0 ≤ sin2 x ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(x) = 3 sin2 x + 4 cos2 x

= 3 sin2 x + 3 cos2 x +  cos2 x

= cos2 x + 3 (sin2 x + cos2 x)

= cos2 x + 3                                    (∵sin2 x + cos2 x = 1)

जैसा कि हम  जानते हैं कि, 0 ≤ cos2 x ≤ 1

⇒ 3 + 0 ≤ 3 + cos2 x ≤ 3 + 1

⇒ 3 ≤ f(x) ≤ 4

∴ f(x) की श्रेणी [3, 4] है।

संकल्पना:

किसी फलन का परिसर उसके सभी आउटपुट का समुच्चय है।

उदाहरण:

आइए हम फलन f: A→ B पर विचार करें।

जहाँ f(x) = 2x और A और B = {प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय}।

यहाँ हम कहते हैं कि A डोमेन है और B सह-डोमेन है।

A के सभी तत्वों के प्रतिबिंबों के समुच्चय को ƒ का परिसर कहा जाता है।  

गणना:

f(x) = 1 - sinx 

यहाँ f(x) का डोमेन (-∞, ∞) है

इस डोमेन में, sinx का परिसर [-1, 1] है

f(x) का परिसर = 1 - sin2x = 1 - [-1, 1] 

⇒ f(x) = [0 , 2]

f(x) का परिसर [0 , 2] है।

संकल्पना:

यदि cos-1 x = y है तो x = cos y

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि,यदि cos-1 x = y है तो x = cos y

इस प्रकार,y = cos-1 (x2 - 9) --------(दिया गया है)

⇒ x2 - 9 = cos y

जैसा कि हम जानते हैं , -1 ≤ cos y ≤ 1, जहाँ y ∈ R

⇒ - 1 ≤ x2 - 9 ≤ 1

असमिका के सभी पक्षों में 9 जोड़ने पर ,हमें मिलता है

⇒ 8 ≤ x2 ≤ 10

उपरोक्त असमिका को निम्न रुप से पुनःलिखने पर

⇒ 2√2 ≤ |x| ≤ √10

⇒ x ∈ [-√10, -2√2] ∪ [2√2, √10]

अतः,दिए गए फलन का प्रांत [-√10, -2√2] ∪ [2√2, √10] है।

धारणा:

-1 ≤ sin x ≤ 1

0 ≤ sin² x ≤ 1

गणना:

दिया हुआ:

f(x) = 4 sin² x + 3 cos² x

= sin² x + 3 sin² x + 3 cos² x

= sin² x + 3 (sin² x + cos² x)

= sin² x + 3               (∵sin² x + cos² x = 1)

जैसा कि हम जानते हैं कि, 0 ≤ sin² x ≤ 1

⇒ 3 + 0 ≤ 3 + sin² x ≤ 3 + 1

⇒ 3 ≤ f(x) ≤ 4

∴ f(x) की सीमा [3, 4] है

संकल्पना:

Sin θ और Cos θ का आलेख निम्न दिया गया है:

उपरोक्त आलेख से,

-1 ≤ sin θ ≤ 1

-1 ≤ cos θ ≤ 1

चूँकि Sin θ और Cos θ दोनों -1 और 1 के बीच बदलते हैं अतः विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

• एक फलन f(x) का डोमेन x के मानों का समुच्चय है जिसके लिए फलन को परिभाषित किया गया है।
• sin θ का मान हमेशा अंतराल [-1, 1] में रहता है।
• sin-1 (sin θ) = θ
• sin (sin-1 x) = x

गणना: 

माना कि f(x) = cos-1 2x

जैसा कि हम जानते हैं कि cos-1 x का प्रांत x ∈ [-1, 1] है।

इस प्रकार, -1 ≤ 2x ≤ 1

⇒ \(\rm \frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}\)

⇒−13≤x≤13" role="presentation" style="display: inline-table; line-height: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0">∴ cos-1 2x का प्रांत\(\left[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\right]\)है।⇒−13≤x≤13" role="presentation" style="display: inline-table; line-height: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0">\therfor\⇒−13≤x≤13⇒−13≤x≤13 [−13,13]" id="MathJax-Element-29-Frame" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; position: relative;" tabindex="0">[−13,13]

संकल्पना:

लाइबनिट्ज़ समाकलन नियम,

\({d\over dx} [\int_{a(x)}^{b(x)} f(t,x)dt] = \int_a^b {\partial f \over \partial x} dt + b'f(b(x),x) - a'f(a(x),x)\)

गणना​:

दिया गया है, g(x) = \(\int^x_0\sqrt{1-t^2}\ dt\), 

लाइबनिट्ज़ नियम द्वारा,

g'(x) = \(\int^x_0 0\ dt + (x)'\sqrt{1-x^2} - (0)'\sqrt{1-0^2} \)

⇒ g'(x) = \(0 + 1.\sqrt{1-x^2} + 0\)

⇒ g'(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)

यदि g'(x) परिभाषित है, तो 1 - x² ≥ 0

⇒ x ∈ [-1, 1] 

∴ सही विकल्प (3) है।