De Moivre's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for De Moivre's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 23, 2025

पाईये De Moivre's Theorem उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें De Moivre's Theorem MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest De Moivre's Theorem MCQ Objective Questions

De Moivre's Theorem Question 1:

यदि \(m, n\) क्रमशः \(k\) के न्यूनतम धनात्मक और अधिकतम ऋणात्मक पूर्णांक मान इस प्रकार हैं, कि \(\left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^k = -i, \) है, तो \(m - n =\)

Answer (Detailed Solution Below) 4

De Moivre's Theorem Question 1 Detailed Solution

गणना

\(\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i\)

\((-i)^k = -i\)

\(-i = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)

डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करने पर:

\((-i)^k = \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right)\)

-i से तुलना करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

\(\cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = 0\) and \(\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = -1\)

इसका तात्पर्य है:

\(\frac{3k\pi}{2} = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{2}\)

\(\frac{3k}{2} = 2n + 1 - \frac{1}{2}\)

\(\frac{3k}{2} = \frac{4n+1}{2}\)

\(3k = 4n + 1\)

\(k = \frac{4n+1}{3}\)

k के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, मान लीजिए, n = 0:

\(k = \frac{1}{3}\)

मान लीजिए,  n = 1:

\(k = \frac{5}{3}\)

मान लीजिए, n = 2:

\(k = \frac{9}{3} = 3\)

अतः, m = 3.

k के सबसे बड़े ऋणात्मक पूर्णांक मान के लिए, हम ऋणात्मक n के लिए k के मानों का विश्लेषण कर सकते हैं।

n = -1 के लिए:

\(k = \frac{-3}{3} = -1\)

इसलिए, n = -1 

\(m - n = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4\)

De Moivre's Theorem Question 2:

\( \frac{(\cos a + i \sin a)^6}{(\sin b + i \cos b)^8} \) का वास्तविक भाग है:

  1. \(\sin(6a - 8b)\)
  2. \(\cos(6a - 8b)\)
  3. \(\sin(6a + 8b)\)
  4. \(\cos(6a + 8b)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\cos(6a + 8b)\)

De Moivre's Theorem Question 2 Detailed Solution

प्रयुक्त सूत्र:

1. ऑयलर का सूत्र: \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)

2. डी मोइवर का प्रमेय: \((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta\)

3. \(\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)\) और \(\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)\)

गणना:

\(\frac{(\cos a + i \sin a)^6}{(\sin b + i \cos b)^8} = \frac{(e^{ia})^6}{(\cos(\frac{\pi}{2}-b) + i \sin(\frac{\pi}{2}-b))^8}\)

\(= \frac{e^{i6a}}{(e^{i(\frac{\pi}{2}-b)})^8}\)

\(= \frac{e^{i6a}}{e^{i(4\pi - 8b)}}\)

\(= e^{i(6a - 4\pi + 8b)}\)

\(= e^{i(6a + 8b)}\) (चूँकि \(e^{i(-4\pi)} = \cos(-4\pi) + i\sin(-4\pi) = 1\))

\(= \cos(6a + 8b) + i \sin(6a + 8b)\)

⇒ वास्तविक भाग = \(\cos(6a + 8b)\)

∴ दिए गए व्यंजक का वास्तविक भाग \(\cos(6a + 8b)\) है।

अतः विकल्प 4 सही है। 

De Moivre's Theorem Question 3:

x और y दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |x| = |y| = 1 है। यदि Arg(x) = 2α, Arg(y) = 3β और α + β = \(\frac{π}{36}\) है, तब x6y4 + \(\frac{1}{(x^6y^4)}\) =

  1. 0
  2. -1
  3. 1
  4. \(\frac{1}{2}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

De Moivre's Theorem Question 3 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))

डी मोइवर का प्रमेय: (cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

गणना

दिया गया है:

|x| = |y| = 1

Arg(x) = 2α

Arg(y) = 3β

α + β = π/36

\(x = \cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha)\)

\(y = \cos(3\beta) + i \sin(3\beta)\)

\(x^6y^4 = (\cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha))^6 (\cos(3\beta) + i \sin(3\beta))^4\)

\(x^6y^4 = (\cos(12\alpha) + i \sin(12\alpha)) (\cos(12\beta) + i \sin(12\beta))\)

\(x^6y^4 = \cos(12\alpha + 12\beta) + i \sin(12\alpha + 12\beta)\)

\(x^6y^4 = \cos(12(\alpha + \beta)) + i \sin(12(\alpha + \beta))\)

\(x^6y^4 = \cos(12 \times \frac{\pi}{36}) + i \sin(12 \times \frac{\pi}{36})\)

\(x^6y^4 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})\)

\(x^6y^4 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})}\)

\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}\)

\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})\)

\(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = 1\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

De Moivre's Theorem Question 4:

यदि \(\rm z=(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2})^5\) है, तब 

  1. Re (z) = 0
  2. Im (z) = 0
  3. Re (z) > 0, Im(z) > 0 
  4. Re (z) > 0, Im (z) < 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : Im (z) = 0

De Moivre's Theorem Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re = r(cos θ + i sin θ) है, तब znrneinθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3

∴ Im (z) = 0

De Moivre's Theorem Question 5:

\(\left(\frac{\cos \theta+\text{i}\sin \theta}{\sin \theta+\text{i}\cos \theta}\right)^8+\left(\frac{1+\cos \theta−\text{i}\sin \theta}{1+\cos \theta+\text{i}\sin \theta}\right)^{16}\) = ?

  1. 2 cos 8 θ
  2. 2 cos 16 θ
  3. 2 sin 8 θ
  4. 2 sin 16 θ

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2 cos 16 θ

De Moivre's Theorem Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

डी माइवर का प्रमेय- cos θ + i sin θ = e

1 + cos 2θ = 2cos2θ 

sin 2θ = 2 sin θ cos θ 

गणना:

दिया गया है, \(\left(\frac{\cos θ+\text{i}\sin θ}{\sin θ+\text{i}\cos θ}\right)^8+\left(\frac{1+\cos θ−\text{i}\sin θ}{1+\cos θ+\text{i}\sin θ}\right)^{16}\)

⇒ \(\left(\frac{\cos θ+\text{i}\sin θ}{\text{i}(\cos θ-\text{i}\sin θ)}\right)^8+\left(\frac{2\cos^2 {θ\over 2}−\text{i}2\sin {θ\over 2} \cos {θ\over 2}}{2\cos^2 {θ\over 2}+\text{i}2\sin {θ\over 2} \cos {θ\over 2}}\right)^{16}\)

⇒ \({1 \over \text{i}^8}\left(\frac{e^{\text{i} θ}}{e^{-\text{i} θ}}\right)^8+\left(\frac{\cos {θ\over 2}−\text{i}\sin {θ\over 2} }{\cos {θ\over 2}+\text{i}\sin {θ\over 2}}\right)^{16}\)

⇒ \(\left({e^{2\text{i} θ}}\right)^8+\left(\frac{e^ {-\text {i}θ\over 2} }{e^ {\text {i}θ\over 2} }\right)^{16}\)  {∵ i8 = 1}

⇒ \({e^{16\text{i} θ}}+{e^ {-16\text {i}θ}}\)

⇒ cos 16θ + i sin 16θ + cos 16θ - i sin 16θ

⇒ 2 cos 16 θ

∴ सही विकल्प (2) है।

Top De Moivre's Theorem MCQ Objective Questions

\(\rm \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}\) का मान क्या है?

  1. 1
  2. cos 2θ - i sin 2θ
  3. cos 2θ + i sin 2θ
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : cos 2θ + i sin 2θ

De Moivre's Theorem Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

यूलर का सूत्र:

एक सम्मिश्र संख्या z = cos θ + i sin θ को e के रूप में भी लिखा जा सकता है।

गणना:

यूलर के सूत्र से हम जानते हैं कि:

\(\rm \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}=\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}\) = e2iθ = cos 2θ + i sin 2θ

\({\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3}\) जहाँ \({\rm{i}} = \sqrt { - 1} ,\) किसके बराबर है?

  1. 1
  2. i
  3. -1
  4. -i

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : i

De Moivre's Theorem Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

1. सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:

  • eix = cos x + i sin x
  • e-ix = cos x - i sin x


2. त्रिकोणमिति सूत्र:

  • 1 – cos θ = 2 sin2 (θ/2)
  • sin θ = 2 sin (θ/2) cos (θ/2


गणना:

हमें \({\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3}\)का मूल्य खोजना होगा

\( \Rightarrow {\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}{\rm{\;}}\)

\( = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\)

\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\)                          (∵eix = cos x + i sin x और e-ix = cos x - i sin x)

\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{ - {\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{6}}}{\rm{\;}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{2}}}\)

= cos (π/2) + i sin (π/2) = 0 + i = i

यदि x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14) है, तो x5 ⋅ y15 का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. ei ⋅ 5π
  2. ei ⋅ 15π
  3. ei ⋅ 10π
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : ei ⋅ 10π

De Moivre's Theorem Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिया गया है: 

x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14)

चूँकि हम जानते हैं कि, 

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \) 

हम x और y को निम्न रूप में लिख सकते हैं:

⇒ x = ei ⋅ π/14 और y = ei ⋅ 9π/14

⇒ x5 = ei ⋅ 5π/14 और y15 = ei ⋅ 135π/14

⇒  x5 ⋅ y15 = ei ⋅ 10π 

यदि x =  (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 है, तो x ⋅ y-2 का मान ज्ञात कीजिए। 

  1. 1
  2. 0
  3. 1/2
  4. - 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : - 1

De Moivre's Theorem Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

\({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिया गया है: x =  (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )8

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2

⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i

⇒ y = i 

इसलिए, y-2 = - 1 --------(1)

उसीप्रकार,

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 = [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π

⇒ ei ⋅ 2π = cos 2π + i sin 2π = 1

⇒ x = 1---------(2)

(1) और (2) से, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x ⋅ y-2 = - 1

(cos π/9 + i sin π/9 )18 का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. 0
  2. 1
  3. 1/2
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

De Moivre's Theorem Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, 

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/9 + i sin π/9 )18 

= [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π

⇒ ei ⋅ 2π 

= cos 2π + i sin 2π = 1

(cos π/16 + i sin π/16 )8 का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. 0
  2. 1
  3. i
  4. - i

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : i

De Moivre's Theorem Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2

⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i

मान लीजिए z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है जिससे |z| = 4 और \(z = \frac{{5\pi }}{6}\) है। तो z किसके बराबर है?

  1. \(2\;\sqrt 3 + 2i\)
  2. \(2\;\sqrt 3 - 2i\)
  3. \(- 2\;\sqrt 3 + 2i\)
  4. \(- \;\sqrt 3 + i\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(- 2\;\sqrt 3 + 2i\)

De Moivre's Theorem Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क के बीच का संबंध:

किसी सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए यदि मापांक \(|z|\)  दिया गया है और तर्क \(\theta\)  है, तो निम्नलिखित संबंध सदैव सत्य होता है:

\(z = |z|e^{i\theta}\)

\(e^{i\theta} = \cos \theta+i\sin\theta\)

गणना:

माना कि दी गयी सम्मिश्र संख्या \(z\)  है, तो हमारे पास \(|z| = 4\) है और \(z = \dfrac{5\pi}{6}\) है। 

इसलिए, \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).

अब उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर,

\(\begin{align*} z &= |z|e^{i\theta}\\ &= 4\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)\\ &= 4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\\ &= 4\left(-\dfrac{\sqrt3}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)\\ &= -2\sqrt3+2i \end{align*}\)

अतः आवश्यक सम्मिश्र संख्या \(z = -2\sqrt3+2i\) है।

\((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) :

  1. \(2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)
  2. \(2^{n+1} \sin \dfrac{n\pi}{3}\)
  3. \(2^{n-1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)
  4. \(2^{n-1} \sin \dfrac{n\pi}{3}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)

De Moivre's Theorem Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)

डी मॉयवर का प्रमेय

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

 

गणना:

\(\rm (1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) खोजने के लिए

सबसे पहले सम्मिश्र संख्याएँ \((\rm 1+i\sqrt{3})\) और \((\rm 1-i\sqrt{3})\) को ध्रुवीय रूप में लिखें और डी मॉयवर प्रमेय लागू करें।

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)

\((\rm 1+i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है

\((\rm 1-i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है\((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) पर विचार करें

= \(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)\(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)

डी मॉयवर के प्रमेय को लागू करें

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

= \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} + isin\;\dfrac{n\pi}{3})\) + \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} - isin\;\dfrac{n\pi}{3})\)

= \(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)

इसलिए \((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\)\(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)

समीकरण \({\left( {\frac{{\sqrt 2 + i\;\sqrt 2 }}{2}} \right)^{64}}\) का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. ei ⋅ 16π
  2. - ei ⋅ π/16
  3. ei ⋅ 8π
  4. - ei ⋅ π/8

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ei ⋅ 16π

De Moivre's Theorem Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिए गए समीकरण:\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\) को निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है 

 =  \((\frac{\sqrt 2}{2}\ +\ \frac{\sqrt 2}{2}i)^{64}\)

 = \((\frac{1}{\sqrt 2}\ +\ \frac{1}{\sqrt 2}i)^{64}\)

चूँकि हम जानते हैं कि sin π/4 = 1/√2 = cos π/4

इसलिए, हम दिए गए समीकरण\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\)को निम्न रूप में लिख सकते हैं

 = (cos π/4 + i sin π/4)64

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = (ei ⋅ π/4 )64

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = ei ⋅ 16π

यदि \(\rm z=(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2})^5\) है, तब 

  1. Re (z) = 0
  2. Im (z) = 0
  3. Re (z) > 0, Im(z) > 0 
  4. Re (z) > 0, Im (z) < 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : Im (z) = 0

De Moivre's Theorem Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re = r(cos θ + i sin θ) है, तब znrneinθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3

∴ Im (z) = 0

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