De Moivre's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for De Moivre's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 23, 2025
Latest De Moivre's Theorem MCQ Objective Questions
De Moivre's Theorem Question 1:
यदि \(m, n\) क्रमशः \(k\) के न्यूनतम धनात्मक और अधिकतम ऋणात्मक पूर्णांक मान इस प्रकार हैं, कि \(\left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^k = -i, \) है, तो \(m - n =\)
Answer (Detailed Solution Below) 4
De Moivre's Theorem Question 1 Detailed Solution
गणना
\(\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i\)
\((-i)^k = -i\)
\(-i = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)
डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करने पर:
\((-i)^k = \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right)\)
-i से तुलना करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:
\(\cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = 0\) and \(\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = -1\)
इसका तात्पर्य है:
\(\frac{3k\pi}{2} = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{2}\)
⇒ \(\frac{3k}{2} = 2n + 1 - \frac{1}{2}\)
⇒ \(\frac{3k}{2} = \frac{4n+1}{2}\)
⇒ \(3k = 4n + 1\)
⇒ \(k = \frac{4n+1}{3}\)
k के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, मान लीजिए, n = 0:
\(k = \frac{1}{3}\)
मान लीजिए, n = 1:
\(k = \frac{5}{3}\)
मान लीजिए, n = 2:
\(k = \frac{9}{3} = 3\)
अतः, m = 3.
k के सबसे बड़े ऋणात्मक पूर्णांक मान के लिए, हम ऋणात्मक n के लिए k के मानों का विश्लेषण कर सकते हैं।
n = -1 के लिए:
\(k = \frac{-3}{3} = -1\)
इसलिए, n = -1
\(m - n = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4\)
De Moivre's Theorem Question 2:
\( \frac{(\cos a + i \sin a)^6}{(\sin b + i \cos b)^8} \) का वास्तविक भाग है:
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त सूत्र:
1. ऑयलर का सूत्र: \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)
2. डी मोइवर का प्रमेय: \((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta\)
3. \(\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)\) और \(\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)\)
गणना:
\(\frac{(\cos a + i \sin a)^6}{(\sin b + i \cos b)^8} = \frac{(e^{ia})^6}{(\cos(\frac{\pi}{2}-b) + i \sin(\frac{\pi}{2}-b))^8}\)
⇒ \(= \frac{e^{i6a}}{(e^{i(\frac{\pi}{2}-b)})^8}\)
⇒ \(= \frac{e^{i6a}}{e^{i(4\pi - 8b)}}\)
⇒ \(= e^{i(6a - 4\pi + 8b)}\)
⇒ \(= e^{i(6a + 8b)}\) (चूँकि \(e^{i(-4\pi)} = \cos(-4\pi) + i\sin(-4\pi) = 1\))
⇒ \(= \cos(6a + 8b) + i \sin(6a + 8b)\)
⇒ वास्तविक भाग = \(\cos(6a + 8b)\)
∴ दिए गए व्यंजक का वास्तविक भाग \(\cos(6a + 8b)\) है।
अतः विकल्प 4 सही है।
De Moivre's Theorem Question 3:
x और y दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |x| = |y| = 1 है। यदि Arg(x) = 2α, Arg(y) = 3β और α + β = \(\frac{π}{36}\) है, तब x6y4 + \(\frac{1}{(x^6y^4)}\) =
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 3 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))
डी मोइवर का प्रमेय: (cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ) + i sin(nθ)
गणना
दिया गया है:
|x| = |y| = 1
Arg(x) = 2α
Arg(y) = 3β
α + β = π/36
\(x = \cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha)\)
\(y = \cos(3\beta) + i \sin(3\beta)\)
\(x^6y^4 = (\cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha))^6 (\cos(3\beta) + i \sin(3\beta))^4\)
⇒ \(x^6y^4 = (\cos(12\alpha) + i \sin(12\alpha)) (\cos(12\beta) + i \sin(12\beta))\)
⇒ \(x^6y^4 = \cos(12\alpha + 12\beta) + i \sin(12\alpha + 12\beta)\)
⇒ \(x^6y^4 = \cos(12(\alpha + \beta)) + i \sin(12(\alpha + \beta))\)
⇒ \(x^6y^4 = \cos(12 \times \frac{\pi}{36}) + i \sin(12 \times \frac{\pi}{36})\)
⇒ \(x^6y^4 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})\)
⇒ \(x^6y^4 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})}\)
⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}\)
⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})\)
⇒ \(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = 1\)
अतः विकल्प 3 सही है।
De Moivre's Theorem Question 4:
यदि \(\rm z=(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2})^5\) है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
डी मोइवर सूत्र:
यदि z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zn = rneinθ(cos nθ + i sin nθ)
गणना:
दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)
⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)
⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)
⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3
∴ Im (z) = 0
De Moivre's Theorem Question 5:
\(\left(\frac{\cos \theta+\text{i}\sin \theta}{\sin \theta+\text{i}\cos \theta}\right)^8+\left(\frac{1+\cos \theta−\text{i}\sin \theta}{1+\cos \theta+\text{i}\sin \theta}\right)^{16}\) = ?
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
डी माइवर का प्रमेय- cos θ + i sin θ = eiθ
1 + cos 2θ = 2cos2θ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
गणना:
दिया गया है, \(\left(\frac{\cos θ+\text{i}\sin θ}{\sin θ+\text{i}\cos θ}\right)^8+\left(\frac{1+\cos θ−\text{i}\sin θ}{1+\cos θ+\text{i}\sin θ}\right)^{16}\)
⇒ \(\left(\frac{\cos θ+\text{i}\sin θ}{\text{i}(\cos θ-\text{i}\sin θ)}\right)^8+\left(\frac{2\cos^2 {θ\over 2}−\text{i}2\sin {θ\over 2} \cos {θ\over 2}}{2\cos^2 {θ\over 2}+\text{i}2\sin {θ\over 2} \cos {θ\over 2}}\right)^{16}\)
⇒ \({1 \over \text{i}^8}\left(\frac{e^{\text{i} θ}}{e^{-\text{i} θ}}\right)^8+\left(\frac{\cos {θ\over 2}−\text{i}\sin {θ\over 2} }{\cos {θ\over 2}+\text{i}\sin {θ\over 2}}\right)^{16}\)
⇒ \(\left({e^{2\text{i} θ}}\right)^8+\left(\frac{e^ {-\text {i}θ\over 2} }{e^ {\text {i}θ\over 2} }\right)^{16}\) {∵ i8 = 1}
⇒ \({e^{16\text{i} θ}}+{e^ {-16\text {i}θ}}\)
⇒ cos 16θ + i sin 16θ + cos 16θ - i sin 16θ
⇒ 2 cos 16 θ
∴ सही विकल्प (2) है।
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\(\rm \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यूलर का सूत्र:
एक सम्मिश्र संख्या z = cos θ + i sin θ को eiθ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
गणना:
यूलर के सूत्र से हम जानते हैं कि:
\(\rm \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}=\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}\) = e2iθ = cos 2θ + i sin 2θ
\({\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3}\) जहाँ \({\rm{i}} = \sqrt { - 1} ,\) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
1. सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:
- eix = cos x + i sin x
- e-ix = cos x - i sin x
2. त्रिकोणमिति सूत्र:
- 1 – cos θ = 2 sin2 (θ/2)
- sin θ = 2 sin (θ/2) cos (θ/2
गणना:
हमें \({\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3}\)का मूल्य खोजना होगा
\( \Rightarrow {\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}{\rm{\;}}\)
\( = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\)
\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\) (∵eix = cos x + i sin x और e-ix = cos x - i sin x)
\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{ - {\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{6}}}{\rm{\;}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{2}}}\)
= cos (π/2) + i sin (π/2) = 0 + i = i
यदि x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14) है, तो x5 ⋅ y15 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 8 Detailed Solution
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\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
गणना:
दिया गया है:
x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14)
चूँकि हम जानते हैं कि,
\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
हम x और y को निम्न रूप में लिख सकते हैं:
⇒ x = ei ⋅ π/14 और y = ei ⋅ 9π/14
⇒ x5 = ei ⋅ 5π/14 और y15 = ei ⋅ 135π/14
⇒ x5 ⋅ y15 = ei ⋅ 10π
यदि x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 है, तो x ⋅ y-2 का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 9 Detailed Solution
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\({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
गणना:
दिया गया है: x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )8
चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
⇒ y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2
⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i
⇒ y = i
इसलिए, y-2 = - 1 --------(1)
उसीप्रकार,
चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
⇒ x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 = [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π
⇒ ei ⋅ 2π = cos 2π + i sin 2π = 1
⇒ x = 1---------(2)
(1) और (2) से, हमें निम्न प्राप्त होता है
⇒ x ⋅ y-2 = - 1
(cos π/9 + i sin π/9 )18 का मूल्यांकन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 10 Detailed Solution
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\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
गणना:
चूँकि हम जानते हैं कि,
\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
⇒ (cos π/9 + i sin π/9 )18
= [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π
⇒ ei ⋅ 2π
= cos 2π + i sin 2π = 1
(cos π/16 + i sin π/16 )8 का मूल्यांकन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 11 Detailed Solution
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\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
गणना:
चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
⇒ (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2
⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i
मान लीजिए z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है जिससे |z| = 4 और \(z = \frac{{5\pi }}{6}\) है। तो z किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 12 Detailed Solution
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एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क के बीच का संबंध:
किसी सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए यदि मापांक \(|z|\) दिया गया है और तर्क \(\theta\) है, तो निम्नलिखित संबंध सदैव सत्य होता है:
\(z = |z|e^{i\theta}\)
\(e^{i\theta} = \cos \theta+i\sin\theta\)
गणना:
माना कि दी गयी सम्मिश्र संख्या \(z\) है, तो हमारे पास \(|z| = 4\) है और \(z = \dfrac{5\pi}{6}\) है।
इसलिए, \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).
अब उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर,
\(\begin{align*} z &= |z|e^{i\theta}\\ &= 4\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)\\ &= 4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\\ &= 4\left(-\dfrac{\sqrt3}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)\\ &= -2\sqrt3+2i \end{align*}\)
अतः आवश्यक सम्मिश्र संख्या \(z = -2\sqrt3+2i\) है।
\((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) :
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 13 Detailed Solution
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माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)
डी मॉयवर का प्रमेय
दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,
(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ
गणना:
\(\rm (1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) खोजने के लिए
सबसे पहले सम्मिश्र संख्याएँ \((\rm 1+i\sqrt{3})\) और \((\rm 1-i\sqrt{3})\) को ध्रुवीय रूप में लिखें और डी मॉयवर प्रमेय लागू करें।
माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)
\((\rm 1+i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है
\((\rm 1-i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है\((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) पर विचार करें
= \(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)+ \(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)
डी मॉयवर के प्रमेय को लागू करें
दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,
(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ
= \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} + isin\;\dfrac{n\pi}{3})\) + \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} - isin\;\dfrac{n\pi}{3})\)
= \(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)
इसलिए \((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\)= \(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)
समीकरण \({\left( {\frac{{\sqrt 2 + i\;\sqrt 2 }}{2}} \right)^{64}}\) का मूल्यांकन कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 14 Detailed Solution
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\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
गणना:
दिए गए समीकरण:\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\) को निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है
= \((\frac{\sqrt 2}{2}\ +\ \frac{\sqrt 2}{2}i)^{64}\)
= \((\frac{1}{\sqrt 2}\ +\ \frac{1}{\sqrt 2}i)^{64}\)
चूँकि हम जानते हैं कि sin π/4 = 1/√2 = cos π/4
इसलिए, हम दिए गए समीकरण\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\)को निम्न रूप में लिख सकते हैं
= (cos π/4 + i sin π/4)64
चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)
⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = (ei ⋅ π/4 )64
⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = ei ⋅ 16π
यदि \(\rm z=(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2})^5\) है, तब
Answer (Detailed Solution Below)
De Moivre's Theorem Question 15 Detailed Solution
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डी मोइवर सूत्र:
यदि z = reiθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zn = rneinθ(cos nθ + i sin nθ)
गणना:
दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)
⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)
⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)
⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)
⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3
∴ Im (z) = 0