Identities of Complex Number MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Identities of Complex Number - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = ${\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)$

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. $\arg \left(\overline{z}\right)=-\arg z$

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. $\arg \left(z_1\cdot \overline{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

$arg(\frac{(1+\surd 3i)(\surd 3+i)}{1+i})=\theta$    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

$\Rightarrow \theta =ta{n}^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1})+ta{n}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})-ta{n}^{-1}(1)$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{3})+(\frac{\pi }{6})-(\frac{\pi }{4})$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{4})$

अत: विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i}{1-i}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}]$     

$\Rightarrow p=arg[\frac{1-1+2i}{1-(-1)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}]=arg(i)$         

$\Rightarrow p=ta{n}^{-1}(i)$      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i}{1-i}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}]$     

$\Rightarrow p=arg[\frac{1-1+2i}{1-(-1)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}]=arg(i)$         

$\Rightarrow p=ta{n}^{-1}(i)$      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = ${\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)$

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. $\arg \left(\overline{z}\right)=-\arg z$

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. $\arg \left(z_1\cdot \overline{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

$arg(\frac{(1+\surd 3i)(\surd 3+i)}{1+i})=\theta$    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

$\Rightarrow \theta =ta{n}^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1})+ta{n}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})-ta{n}^{-1}(1)$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{3})+(\frac{\pi }{6})-(\frac{\pi }{4})$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{4})$

अत: विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

1. रेखा y = mx + c का ढलान m द्वारा दिया जाता है

2. यदि Z एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि, Z = x + iy,

जहाँ 'x' एक वास्तविक भाग है और 'y' को Z के काल्पनिक भाग के रूप में जाना जाता है

arg(Z) = arg(x + iy) = tan-1(y/x)

इस्तेमाल किया सूत्र:

• arg(Z1) - arg(Z2) = arg(Z1/Z2)
• tan-1(i) = π/2 
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

माना,

y = px - 3

∵ रेखा y = mx + c का ढलान m है

⇒ रेखा y = px - 3 का ढलान p है

प्रश्न के अनुसार, 

p = arg(1 + i) - arg(1 - i)

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i}{1-i}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{1+i^2+2i}{1^2-i^2}]$     

$\Rightarrow p=arg[\frac{1-1+2i}{1-(-1)}]$

$\Rightarrow p=arg[\frac{2i}{2}]=arg(i)$         

$\Rightarrow p=ta{n}^{-1}(i)$      (∵ i2 = -1)

⇒ p = π/2 

   [∵ tan-1(i) = π/2]

अत: p का मान π/2 होगा

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्याएँ: एक सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए निम्नलिखित परिभाषित हैं:

arg(z) = θ = ${\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)$

तर्क के गुण:

माना कि z, z1 और z2 तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तो

1. $\arg \left(\overline{z}\right)=-\arg z$

2. arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

3. $\arg \left(z_1\cdot \overline{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$

4. arg (zn) = n ⋅ arg (z)

5. arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

6. शून्य का तर्क परिभाषित नहीं है

7. यदि arg (z) = 0 ⇒ z वास्तविक है

गणना:

माना,

$arg(\frac{(1+\surd 3i)(\surd 3+i)}{1+i})=\theta$    ----(1)

∵ arg (z1 / z2) = arg (z1) – arg(z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i)(√3 + i) - arg(1 + i) 

∵ arg (z1 ⋅ z2) = arg (z1) + arg (z2)

⇒ θ = arg(1 + √3i) + arg(√3 + i) - arg(1 + i)

$\Rightarrow \theta =ta{n}^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1})+ta{n}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})-ta{n}^{-1}(1)$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{3})+(\frac{\pi }{6})-(\frac{\pi }{4})$

$\Rightarrow \theta =(\frac{\pi }{4})$

अत: विकल्प 3 सही है।