Imaginary Number i and its properties MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Imaginary Number i and its properties - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

जटिल संख्या i को ध्रुवीय रूप में $i=e^{i\frac{\pi }{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

यह इस तथ्य से आता है कि i जटिल समतल पर $\frac{\pi }{2}$ रेडियन पर स्थित है।

अब, हम $i^i$ की गणना करते हैं।

$i^i={\left(e^{i\frac{\pi }{2}}\right)}^i$

यह इस प्रकार सरलीकृत होता है $i^i=e^{i\cdot i\frac{\pi }{2}}=e^{-\frac{\pi }{2}}.$

$i^i$ का मुख्य मान $e^{-\frac{\pi }{2}}.$ है।

सही विकल्प विकल्प 1 है।

अवधारणा:

तत्समक:

• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁴ⁿ = 1
• i⁴ⁿ⁺¹ = i
• i⁴ⁿ⁺² = -1
• i⁴ⁿ⁺³ = -i

हल:
माना S = i^-10 + i¹⁵

S = $\frac{1}{i^{10}}+i^{15}$

S = $\frac{1}{i^{4\times 2+2}}+i^{4\times 4-1}$

S = $\frac{1}{i^2}+i^{-1}$

S = $-1+\frac{1}{i}$

अंश और हर दोनों में i से गुणनफल करने पर , हम प्राप्त करते है

S = $-1+\frac{i}{i^2}$

S = - 1 - i

∴ सही विकल्प (3) है 

Alternate Method  i-10 + i¹⁵

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{i^{1}0}}$ + i^{(14 + 1)}

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{(i^2{)}^5}}$ + (i2)7 × i¹

हम जानते हैं कि i2 = -1

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{-1}}$ + (-1) × i

⇒ -1 - i

∴ सही उत्तर है (-1 - i)।

अवधारणा:

i की घात:

1) i = $\sqrt{-1}$

2) i2 = -1

3) i3 = i × i2 = -i

4) i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1

5) i4n = 1

गणना:

i12 + i13 + i14 + i15 का मान : प्राप्त करने के लिए

जैसा कि हम जानते हैं, i2 = -1

तो, i¹² = (i4)³ = 1

i¹³ = (i4)³ × i = 1 × i = i

i¹⁴ = (i4)³ × i² = 1 × (-1) = -1

i¹⁵ = (i⁴)³ × i³ = 1 × (-i) = -i

अब, 

i12 + i13 + i14 + i15  = 1 + i - 1 - i = 0

संकल्पना:

सर्वसमिका:

• i2 = -1
• i3 = -i
• i4 = 1
• i4n = 1
• i4n+1 = i
• i4n+2 = -1
• i4n+3 = -i

गणना:

माना कि S = i-849 = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{849}}$ है। 

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{848+1}}$

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{4(212)+1}}$           [∵ i4n = 1]

S = $\frac{1}{\mathrm{i}}$

अंश और हर दोनों को i से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

S = $\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}$

S = -i

संकल्पना:

• संयुक्त इकाई i को $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। 
• i2 = -1, i3 = - i, i4 = 1 इत्यादि 
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

गणना:

Given that,

${\left(\frac{1+i}{1-i}\right)}^n=1$    ---(1)

Let, y = $\left(\frac{1+i}{1-i}\right)$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\times {\displaystyle \frac{1+i}{1+i}}$.

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{(1+i{)}^2}{1^2-i^2}}$

∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1+2i+i^2}{1-i^2}}$

$\Rightarrow y={\displaystyle \frac{2i}{2}}=i$    (∵ i2 = -1)

Therefore, from equation (1)

${\left({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}\right)}^n=i^n=1$

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n = 4 है, जिसके लिए in = 1 है। 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्या:

• एक सम्मिश्र संख्या रूप a + ib की संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i, i = √-1 द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है। 
• i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 इत्यादि
• सामान्यतौर पर, i^{4n + 1} = i, i4n + 2 = -1, i4n + 3 = -i, i4n = 1

• सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए z का संयुग्म z̅ = a - ib है। 

गणना:

हर के संयुग्म से गुणा और भाग करके सम्मिश्र संख्या $\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$ का परिमेयकरण करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1^2-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{1^2-{\mathrm{i}}^2}=\frac{-2\mathrm{i}}{1+1}$ = -i

अब, ${\left(\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)}^{\mathrm{n}}=-1$

⇒ $(-\mathrm{i}{)}^{\mathrm{n}}=-1$

⇒ (-i)n = (-i)2      (∵ i2 = -1)

∴  n = 2

संकल्पना:

i की घांत:

• i = $\sqrt{-1}$
• i2 = -1
• i3 = -i × i2 = -i
• i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
• i4n = 1

गणना:

ज्ञात करना है: i6 + i7 + i8 का मान 

चूँकि हम जानते हैं, i2 = -1

इसलिए, i6 = i4 × i2 = 1 × -1 = -1

i7 = i4 × i3 = 1 × -i = -i

i8 = (i4)2 = (1)2 = 1

अब,

i6 + i7 + i8 = -1 - i + 1 = -i

संकल्पना:

सर्वसमिका:

• i2 = -1
• i3 = -i
• i4 = 1
• i4n = 1
• i4n+1 = i
• i4n+2 = -1
• i4n+3 = -i

गणना:

माना कि S = i-849 = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{849}}$ है। 

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{848+1}}$

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{4(212)+1}}$           [∵ i4n = 1]

S = $\frac{1}{\mathrm{i}}$

अंश और हर दोनों को i से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

S = $\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}$

S = -i

संकल्पना:

ज्यामितीय श्रेणी में अनंत पदों की संख्या को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\infty }}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}$, जहाँ, a = पहला पद और r = सार्व अनुपात

i = $\sqrt{-1}$, i² = -1

गणना:

दी गयी श्रृंखला (1 + 2i2 + 4i4 + 8i6+.....) है। 

स्पष्ट रूप से यह a = 1 और r = 2i² के साथ एक ज्यामितीय श्रेणी है। 

अब योग = ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\infty }}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}$

 $$\begin{gathered} =\frac{1}{1-2{\mathrm{i}}^2} \\ =\frac{1}{1+2} \end{gathered}$$

= $\frac{1}{3}$

∴ (1+ 2i2 + 4i4 + 8i6+.....) = 1/3

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

सर्वसमिका:

• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁴ⁿ = 1
• i4n+1 = i
• i4n+2 = -1
• i4n+3 = -i

गणना:

माना कि S = i^-1245 = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{1245}}$ है। 

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{1244+1}}$

S = $\frac{1}{{\mathrm{i}}^{4(311)+1}}$

S = $\frac{1}{\mathrm{i}}$

अंश और हर दोनों को i से गुणा करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

S = $\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}$

S = -i

संकल्पना:

iota की घात:

i = √–1

i² = – 1

(A – B)² = A² – 2AB + B²

गणना:

(1 – i)² = 1 – 2i + i²

⇒ (1 – i)2 = 1 – 2i – 1

⇒ (1 – i)2 = – 2i

संकल्पना:

i का घांत:

• i = $\sqrt{-1}$
• i2 = -1
• i3 = -i × i2 = -i
• i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
• i4n = 1

गणना:

ज्ञात करना है: i3 + i4 + i⁵ का मान 

चूँकि हम जानते हैं, i2 = -1

इसलिए, i3 = -i × i2 = -i

i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1

i⁵ = i⁴ × i = 1 × i = i

अब,

i3 + i4 + i ⁵ = -i + 1 + i = 1

प्रयुक्त सूत्र:

• i² = -1, i⁴ⁿ = 1 जहां n प्राकृतिक संख्या से संबंधित है
• a^m × aⁿ = a^{(m + n)} और इसके विपरीत है

गणना​:

हमें ${\left[i^{19}+{\left(\frac{1}{i}\right)}^{25}\right]}^2$का मान ज्ञात करना है  

$\Rightarrow {\left[i^{19}+\frac{1}{i^{25}}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left[i^{16}.i^3+\frac{1}{i^{24}.i}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left[i^3+\frac{1}{i}\right]}^2={\left[-i+\frac{i}{i^2}\right]}^2$

⇒ (-i - i)² = (-2i)² = 4i² =  -4

∴ व्यंजक का अभीष्ट मान -4 है।

प्रयुक्त सूत्र:

आयोटा की घात।

i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1,

i5 = i, i6 = -1, i7 = -i......और आगे भी इसी तरह।

 ⇒ i1 + i2  + i3 + i4 = i -1 - i + 1 = 0

गणना:

⇒ i1 + i2  + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + ..... + i8n+7 

⇒  i1 + i2  + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + ..... +  i8n +  i8n+1 + i8n+2 + .... +  i8n+6  + i8n+7  

⇒ (i -1 - i + 1) +  (i -1 - i + 1) + .... +  (i8n+1 + i8n+2 +  i8n+3 + i8n+4 ) +  (i8n+5 +  i8n+6  + i8n+7)

⇒ i8n+5 +  i8n+6  + i8n+7 = i1 + i2  + i3 =  i -1 - i = -1

∴ $\sum _{\mathrm{n}=1}^7{\mathrm{i}}^{\mathrm{n}}$ का मान - 1 है।

अवधारणा:

i की घात:

• i = $\sqrt{-1}$
• i2 = -1
• i3 = i × i2 = -i
• i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
• i4n = 1

गणना:

खोजने के लिए: i500 + i501 + i502 का मान

जैसा कि हम जानते हैं i2 = -1

 i500 + i501 + i502

= i500 [1 + i + i2]

$={\left({\mathrm{i}}^4\right)}^{125}(1+\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2)$

= 1 + i + i2

= 1 + i - 1

= i

∴  i500 + i501 + i502 = i

इसलिए, विकल्प 1 सही है