Properties of Triangles MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Properties of Triangles - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

∠B = 90°, AB = 5 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

AC² = AB² + BC²

సిద్ధాంతం ప్రకారం

AC + BC > AB

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

AB² + BC² = AC²

5²+ BC² = AC²

AC² - BC² = 25

(AC - BC) x (AC + BC) = 25

కాబట్టి, AC - BC = 6.5 అయితే AC + BC = 3.84 అవుతుంది, ఇది త్రిభుజ నియమాన్ని ఉల్లంఘిస్తుంది ఎందుకంటే AC + BC AB కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3) 6.5 సెం.మీ.

ఇచ్చినది:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

గణనలు:

sin (C + D) = √3/2 మరియు sec (C - D) = 2/√3 అయితే

అప్పుడు,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 & 2 సాధించగా.

C = 45°

D = 15°

∴ ఎంపిక 1 సరైన సమాధానం.

భావన:

కొసైన్ నియమం:

a ² = b ² + c ² - 2bc cosA

b ² = a ² + c ² - 2ac cosB

c ² = b ² + a ² - 2ab cosC

సూత్రాన్ని ఇలా మార్చవచ్చు:

\(cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

పరిష్కారం:

ఇవ్వబడినది, ABC త్రిభుజంలో

b = 2, c = 3 మరియు ∠B = \(\frac{\pi }{6}\)

ΔABCలో కొసైన్ నియమాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా,

\(cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

⇒ \(cos\frac{\pi }{6}=\frac{a^{2}+3^{2}-2^{2}}{2.a.3} \)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}+5}{6a} \)

⇒ \(a^{2}-3\sqrt{3}a+5=0\)

∴ సరైన ఎంపిక (3)

భావన : 

మొత్తం కోణాల యొక్క లక్షణం: త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180°

లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం : 

లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజంలో ఒక కోణం 90 ° మరియు మిగతా రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

సమాన భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

లెక్కింపు : 

ఇక్కడ, లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు సమాన కోణాల కొలతను మనం కనుగొనాలి.

Δ ABC ∠ B = 90 ° మరియు AB = BC తో లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజంగా ఉండనివ్వండి.

మనకు తెలుసు, సమాన భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

⇒ ∠ACB = ∠BAC = x

ఇప్పుడు మొత్తం కోణం యొక్క లక్షణం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది 

⇒ x + x + 90° = 180°

⇒ x = 45°

అందువల్ల, లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు సమాన కోణాల కొలత 45°.

ఇచ్చినది:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

గణనలు:

sin (C + D) = √3/2 మరియు sec (C - D) = 2/√3 అయితే

అప్పుడు,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 & 2 సాధించగా.

C = 45°

D = 15°

∴ ఎంపిక 1 సరైన సమాధానం.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

బొమ్మ = 

కాన్సెప్ట్:

సంపూరక కోణం యొక్క మొత్తం = 180°

త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర కోణాల మొత్తం = 180°

సాధన:

⇒ In ΔABC 

⇒ ∠ADB + ∠ADC = 180° 

⇒ 108° + ∠ADC = 180° 

⇒ ∠ADC = 180° - 108° = 72° 

⇒  ΔADC లో

⇒ ∠ADC + ∠ACD + ∠DAC = 180° 

⇒ 72° + x° + 48° = 180° 

⇒ x° = 180° - 48° - 72° = 180° - 120° = 60° 

∴ అవసరమైన ఫలితం 60°.

గణన:

జామెట్రీ(జ్యామితి) పెట్టెలో త్రిభుజాకారంలో ఉండే పరికరాన్ని మూలమట్టం అని అంటారు.

ఇది రుజుధారను లంబ కోణంలో లేదా ఇతర నిర్దిష్ట సమతల కోణంలో ఆధారరేఖ(భూమి రేఖ)కు అందించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

∴ ఎంపిక 4 సరైనది.

భావన : 

మొత్తం కోణాల యొక్క లక్షణం: త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180°

లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం : 

లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజంలో ఒక కోణం 90 ° మరియు మిగతా రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి.

సమాన భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

లెక్కింపు : 

ఇక్కడ, లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు సమాన కోణాల కొలతను మనం కనుగొనాలి.

Δ ABC ∠ B = 90 ° మరియు AB = BC తో లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజంగా ఉండనివ్వండి.

మనకు తెలుసు, సమాన భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

⇒ ∠ACB = ∠BAC = x

ఇప్పుడు మొత్తం కోణం యొక్క లక్షణం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది 

⇒ x + x + 90° = 180°

⇒ x = 45°

అందువల్ల, లంబ కోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు సమాన కోణాల కొలత 45°.

ఇచ్చినది:

 sin (C + D) = √3/2

sec (C - D) = 2/√3

గణనలు:

sin (C + D) = √3/2 మరియు sec (C - D) = 2/√3 అయితే

అప్పుడు,

⇒ C + D = 60°.............(1)

⇒ C - D = 30°..............(2)

1 & 2 సాధించగా.

C = 45°

D = 15°

∴ ఎంపిక 1 సరైన సమాధానం.

ఇవ్వబడింది:

a(b cos C - c cos B)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

Cos C = \( ( a^2 + b^2 - c^2) \over 2ab\)

Cos B = \((a^2 + c^2 - b^2) \over 2ac\)

గణన:

ఇక్కడ, మనకు \(\triangle\) ABC ఉంది

ఇప్పుడు, a( b Cos C - c Cos B )

⇒ a b Cos C - a c Cos B

⇒ a b x \(( a^2 + b^2 - c^2)\over 2 a b\) - a cx \(( a^2 + c^2 - b^2) \over 2 ac\)

⇒ \(( a^2 + b^2 - c^2)\over 2\) - \(( a^2 + c^2 - b^2) \over 2\)

⇒ \(( a^2 - a^2 + b^2 + b^2 -c^2 - c^2)\over 2\) = 2 x \(( b^2 - c^2 )\over 2\) = \(b^2 - c^2\)

కాబట్టి, కావలసిన విలువ \(b^2 - c^2\) .

భావన:

కొసైన్ నియమం:

a ² = b ² + c ² - 2bc cosA

b ² = a ² + c ² - 2ac cosB

c ² = b ² + a ² - 2ab cosC

సూత్రాన్ని ఇలా మార్చవచ్చు:

\(cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

పరిష్కారం:

ఇవ్వబడినది, ABC త్రిభుజంలో

b = 2, c = 3 మరియు ∠B = \(\frac{\pi }{6}\)

ΔABCలో కొసైన్ నియమాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా,

\(cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

⇒ \(cos\frac{\pi }{6}=\frac{a^{2}+3^{2}-2^{2}}{2.a.3} \)

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}+5}{6a} \)

⇒ \(a^{2}-3\sqrt{3}a+5=0\)

∴ సరైన ఎంపిక (3)

ఇచ్చినవి:

∠B = 90°, AB = 5 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం:

AC² = AB² + BC²

సిద్ధాంతం ప్రకారం

AC + BC > AB

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

AB² + BC² = AC²

5²+ BC² = AC²

AC² - BC² = 25

(AC - BC) x (AC + BC) = 25

కాబట్టి, AC - BC = 6.5 అయితే AC + BC = 3.84 అవుతుంది, ఇది త్రిభుజ నియమాన్ని ఉల్లంఘిస్తుంది ఎందుకంటే AC + BC AB కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (3) 6.5 సెం.మీ.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

బొమ్మ = 

కాన్సెప్ట్:

సంపూరక కోణం యొక్క మొత్తం = 180°

త్రిభుజం యొక్క అన్ని అంతర కోణాల మొత్తం = 180°

సాధన:

⇒ In ΔABC 

⇒ ∠ADB + ∠ADC = 180° 

⇒ 108° + ∠ADC = 180° 

⇒ ∠ADC = 180° - 108° = 72° 

⇒  ΔADC లో

⇒ ∠ADC + ∠ACD + ∠DAC = 180° 

⇒ 72° + x° + 48° = 180° 

⇒ x° = 180° - 48° - 72° = 180° - 120° = 60° 

∴ అవసరమైన ఫలితం 60°.