ప్రాథమిక సమస్యలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Basic Problems - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

త్రిభుజం \( ABC \), \( \angle ABC \) మరియు \( \angle ACB \) ల ద్విభాగాలు \( O \) మరియు \( \angle A = 60^\circ \), అప్పుడు కోణం \( \angle BOC \) ఇలా పొందవచ్చు:

\[ \angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \]

\( \angle A = 60^\circ \):

\[ \angle BOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 120^\circ \]

అందువలన, \( \angle BOC \) యొక్క కొలత:

\[ \boxed{120^\circ} \]

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ABCలో, AB = AC.

BC = AB మరియు ∠ADC = 30° అయ్యేలా BC ని D కి పొడిగించబడింది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, ఆధార కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

ఏదైనా త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం = 180°.

లెక్కింపు:

AB = AC మరియు CD = AB కాబట్టి

కాబట్టి, AB = AC = CD

Δ ACD లో,

AC = CD

కాబట్టి, ∠ ADC = ∠ DAC = 30°

మరియు, ∠ ACD = 180 - (∠ ADC + ∠ DAC)

⇒ ∠ ACD = 180 - (30 + 30) = 180 - 60 = 120°

ఇప్పుడు,

∠ ACB = 180 - ∠ ACD = 180 - 120 = 60°

AB = BC కాబట్టి,

∠ ABC = ∠ ACB = 60°

ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు కోణాలు 60 ° కాబట్టి, మూడవ కోణం కూడా 60° అవుతుంది (త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 180° కాబట్టి)

కాబట్టి, త్రిభుజం ABC యొక్క కోణాలు 60°, 60° మరియు 60°.

ఇవ్వబడింది:

∆PQR లో, PR = 10 సెం.మీ

ST∥QR

PS = 6 సెం.మీ

QS = 14 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సరూప త్రిభుజాలలో, అనురూప భుజాల నిష్పత్తులు సమానంగా ఉంటాయి.

గణన:

ST∥QR కాబట్టి, ∆PST ∼ ∆PQR

\( \frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR} \)

PT = x సెం.మీ అనుకుందాం

PQ = PS + QS

PQ = 6 + 14

PQ = 20 సెం.మీ

సరూపత నిష్పత్తిని ఉపయోగించి:

\( \frac{6}{20} = \frac{x}{10} \)

⇒ 6 x 10 = 20 x x

⇒ 60 = 20x

⇒ x = \(\frac{60}{20}\)

⇒ x = 3 సెం.మీ

PT పొడవు 3 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

లంబకోణ త్రిభుజం ΔABC లో,

AB = c, BC = a, CA = b

AB కు C నుండి గీసిన లంబం 'p'.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

లంబకోణ త్రిభుజం కోసం, భుజాలు మరియు లంబకోణం నుండి గీసిన లంబం మధ్య సంబంధం:

p x c = a x b

గణన:

లంబం మరియు కర్ణం యొక్క లబ్ధం మిగిలిన రెండు భుజాల లబ్ధానికి సమానం:

⇒ p x c = a x b

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1: pc = ab.

ఇచ్చినది :

S అనేది మధ్య బిందువు.

మరియు PS = SR

∠Q = 48°

గణన :

నుండి, SR = PS మరియు QS = SR

కాబట్టి, PS = SR = QS

ΔPQS లో,

∠Q = 48°, ∠P = 48°

⇒ ∠Q + ∠P + ∠S = 180°

⇒ ∠S = 180° - 96° = 84°

ఇప్పుడు, ∠QSP + ∠PSR = 180°

⇒ 84° + ∠PSR = 180°

⇒ ∠PSR = 180° - 84° = 96°

ΔPSR లో,

⇒ ∠P + ∠S + ∠R = 180°

⇒ 96° + x + x = 180°

⇒ 2x = 180° - 96° = 84°

⇒ x = 42°

∠SPR = 42°

∴ సరైన సమాధానం 42°.

AB = 8 సెం.మీ., ∠A అంతర్గతంగా BCని D వద్ద కలుస్తుంది.

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

ఇచ్చినది,

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల పొడవు 3 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ మరియు దాని మూడవ భుజం పొడవు x సెం.మీ.

మనకు తెలిసినట్లు,

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మొత్తం> త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం.

⇒ 3 + 8 >  మూడవ భుజం

⇒ 11 > x

అలాగే,

మరొక కేసు ఉంటుంది,

 ⇒ x + 3 > 8

⇒ x > 8 - 3

⇒ x > 5

∴ 5 < x < 11

ΔADE మరియు ΔABC లలో

∠A రెండిటిలో ఉమ్మడిగా ఉంటుంది.

∠D = ∠B మరియు ∠E = ∠C

∴ ΔADE ∼ ΔABC

సారూప్య త్రిభుజాల ధర్మం ప్రకారం

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{{DE}}{{BC}}\\ \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

అదేవిధంగా ΔDOE & ΔBOCలలో

∠DEO = ∠OBC (అనురూప కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి)

∠DOE = ∠BOC (నిలువుగా చూస్తే వ్యతిరేకంగా ఉండే కోణాలు)

∴ ΔDEO ∼ ΔOBC

\(\begin{array}{l} \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{OC}}\\ \frac{{DO}}{{OC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

అందుకని, \(\frac{{DO}}{{DC}} = \frac{4}{{4 + 7}} = \frac{4}{{11}}\)

ఇచ్చినవి :

త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు (k - 4), k మరియు (k + 4).

ఫార్ములా:

మనకు తెలిసినట్లు,

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

(కర్ణం) ² = (లంబం) ² + (భూమి) ²

లెక్కింపు:

ప్రశ్న ప్రకారం

(k + 4)2 = (k – 4)2 + k2

⇒ k2 + 16 + 8k = k2 + 16 – 8k + k2

⇒ k2 = 16k

⇒ k = 16

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు 8 సెం.మీ, 6 సెం.మీ మరియు 5 సెం.మీ.

కాన్సెప్ట్:

P2 + B2 = H2 (లంబకోణ త్రిభుజానికి)

P2 + B2 > H2 (అల్పకోణ త్రిభుజానికి)

P2 + B2 < H2 (అధికకోణ త్రిభుజానికి)

లెక్క:

ప్రశ్న ప్రకారం

82 > 62 + 52

⇒ 64 > 36 + 25

⇒ 64 > 61

అందుకని, ఈ త్రిభుజం అధికకోణ త్రిభుజం.

P2 + B2 = H2 (లంబ కోణాల త్రిభుజం కోసం)

P2 + B2 > H2 (అల్ప కోణ త్రిభుజం కోసం)

P 2 + B 2 2 (అధిక కోణ త్రిభుజం కోసం)

ఇక్కడ P, B మరియు H ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు ఉంటాయి, H అతిపెద్ద భుజం.

కాబట్టి, ప్రతి రకమైన త్రిభుజానికి షరతులలో ఇచ్చిన విలువలను వర్తించేటప్పుడు, తప్పు విలువను తప్పు స్థానంలో ఉంచకుండా జాగ్రత్త వహించాలి.

ఇచ్చినది:

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు = 12.8 మీ & 9.6 మీ 

ఫార్ములా:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = 1/2 × ఆదారం× ఎత్తు

లెక్కింపు:

12.8 మీ. గల భుజం ఎత్తు = h 

1/2 × 9.6 × 12 = 1/2 × 12.8 × h

⇒ (9.6 × 12)/12.8 = h 

⇒ h = 9 మీ

∴ 12.8 మీ భుజం కలిగిన త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు = 9 మీ 

ఇచ్చినది:

భుజం పొడవు a = 13 అంగుళాలు

భుజం b = 15 అంగుళాల పొడవు

భుజం c = 14 అంగుళాల పొడవు

ఉపయోగించిన సూత్రం:

హెరాన్ సూత్రం: త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\) , ఇక్కడ s అనేది త్రిభుజం యొక్క అర్ధ-చుట్టుకొలత.

సాధన:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మనం హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

మొదట, మనము త్రిభుజం యొక్క అర్ధ చుట్టుకొలతను లెక్కించాలి:

s = (a + b + c)/2

⇒ (13 + 15 + 14)/2

⇒ 21

తరువాత, త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి మనం హెరాన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

వైశాల్యం = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\)

⇒ \(√(21(21-13)(21-15)(21-14))\)

⇒ √(21(8)(6)(7))

⇒ √(2⁴ x 3² x 7²)

⇒ 84

కాబట్టి, త్రిభుజం వైశాల్యం 84 చదరపు అంగుళాలు.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

త్రిభుజం యొక్క భుజాల నిష్పత్తి = 5: 4: 3

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = 84 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

త్రిభుజం చుట్టుకొలత = భుజాల మొత్తం

సుష్మికరణ:

త్రిభుజం యొక్క భుజాలు 5x, 4x మరియు 3x గా అనుకొనుము

తద్వారా అవి 5: 4: 3 నిష్పత్తిలో ఉంటాయి.

∴ 5x + 4x + 3x = 84

⇒ 12x = 84

⇒ x = 7 సెం.మీ.

కాబట్టి, త్రిభుజాల భుజాలు 35, 28 మరియు 21 మీటర్లు.

∴ అతిపెద్ద భుజం పొడవు 35 సెం.మీ..

గణన:

కింది చిత్రాన్ని పరిగణించండి :

MN || EF

⇒ ∆DMN అనేది ∆DEF కి సరూపం

⇒ DM/DE= DN/DF = MN/EF

ఇచ్చినది,

MN/EF = 2 ∶ 5 మరియు DE = 60

⇒ 2/5 = DM/60

⇒ DM = 2 × 12 = 24 cm

∴ ME = DE + DM = 60 - 24 = 36 సెం.మీ

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

 ΔABC త్రిభుజంలో,

F అనేది AB యొక్క మధ్యబిందువు మరియు E అనేది AC యొక్క మధ్యబిందువు.

∴ మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారం,

EF ∥ BC

∴ EF ∥ BC       ----(1)

⇒ EF = BC/2       ----(2)

D అనేది BC యొక్క మధ్యబిందువు కాబట్టి,

⇒ EF = BD       ----(3)

1 మరియు 3వ సమీకరణాల నుండి,

⇒ BDEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం అవుతుంది.

BE మరియు DF లు X వద్ద కలుస్తాయి.

అదేవిధంగా, DCEF ఒక సమాంతర చతుర్భుజం.

DE మరియు CF లు Y వద్ద కలుస్తాయి.

∵ DF మరియు DE భుజాలకి X మరియు Yలు మధ్యబిందువులు.

ΔDEF త్రిభుజంలో,

X అనేది DF యొక్క మధ్యబిందువు మరియు Y అనేది DE యొక్క మధ్యబిందువు.

∴ మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారం,

⇒ XY = EF/2       ----(4)

సమీకరణం 3 మరియు 4 నుండి