मुलभूत उदाहरणे MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Basic Problems - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

△ABC मध्ये, DE || AC

BD = 8 सेमी, AD = 7 सेमी

वापरलेले सूत्र:

मूलभूत समानुपातिक प्रमेय (थॅलेस प्रमेय):

जर DE || AC असेल तर

दोन सारख्या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ संबंधित बाजूंच्या वर्गांना समानुपाती असते.

क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = (BD / AB)²

गणना:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 सेमी

△BDE चे क्षेत्रफळ आणि △ABC च्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (8/15)² = 64/225

ADEC समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = △ABC चे क्षेत्रफळ - △BDE चे क्षेत्रफळ

अपेक्षित गुणोत्तर:

क्षेत्रफळ(△BDE) : क्षेत्रफळ(ADEC)

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

म्हणूनच, △BDE चे क्षेत्रफळ आणि ADEC समलंब चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर 64 : 161 आहे.

दिलेले आहे:

त्रिकोण ABC मध्ये, AB = AC.

रेषा BC ही D पर्यंत अशी वाढवली आहे की, CD = AB आणि ∠ADC = 30°.

वापरलेले सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणामध्ये, तलकोन समान असतात.

कोणत्याही त्रिकोणातील कोनांची बेरीज = 180°

गणना:

जसे AB = AC आणि CD = AB

अशाप्रकारे, AB = AC = CD

Δ ACD मध्ये,

AC = CD

अशाप्रकारे, ∠ ADC = ∠ DAC = 30° 

आणि, ∠ ACD = 180 - (∠ ADC + ∠ DAC)

⇒ ∠ ACD = 180 - (30 + 30) = 180 - 60 = 120° 

आता, 

∠ ACB = 180 - ∠ ACD = 180 - 120 = 60°

जसे AB = BC,

∠ ABC = ∠ ACB = 60°

जसे त्रिकोणाचे दोन कोन 60° आहेत, अशाप्रकारे तिसरा कोनदेखील 60° असेल (जसे त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते)

∴ त्रिकोण ABC च्या कोनांचे मूल्य 60°, 60° आणि 60° आहे.

दिलेले:

∆PQR मध्ये, PR = 10 सेमी

ST∥QR

PS = 6 सेमी

QS = 14 सेमी

वापरलेले सूत्र:

समान त्रिकोणांमध्ये, संगत बाजूंच्या गुणोत्तरा समान असतात.

गणना:

ST∥QR असल्याने, ∆PST ∼ ∆PQR

\( \frac{PS}{PQ} = \frac{PT}{PR} \)

PT = x सेमी असावा

PQ = PS + QS

PQ = 6 + 14

PQ = 20 सेमी

समानता गुणोत्तर वापरून:

\( \frac{6}{20} = \frac{x}{10} \)

⇒ 6 x 10 = 20 x x

⇒ 60 = 20x

⇒ x = \(\frac{60}{20}\)

⇒ x = 3 सेमी

PT ची लांबी 3 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे : 

S हा मध्यबिंदू आहे.

आणि PS = SR

∠Q = 48° 

गणना : 

SR = PS आणि QS = SR आहे

म्हणून, PS = SR = QS

ΔPQS मध्ये,

∠Q = 48° , ∠P = 48°

⇒ ∠Q + ∠P + ∠S = 180° 

⇒ ∠S = 180° - 96° = 84° 

आता, ∠QSP + ∠PSR = 180° 

⇒ 84° + ∠PSR = 180° 

⇒ ∠PSR = 180° - 84° = 96° 

ΔPSR मध्ये,

⇒ ∠P + ∠S + ∠R = 180° 

⇒ 96° + x + x = 180° 

⇒ 2x = 180° - 96° = 84° 

⇒ x = 42° 

∠SPR = 42° 

∴ योग्य उत्तर 42° हे आहे.

दिलेले आहे:

AB = 9 सेमी, BC = 40 सेमी आणि AC = 41 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाची परित्रिज्या = (abc/4Δ)

येथे, a, b, आणि c या त्रिकोणाच्या बाजूंच्या लांबी आहेत

गणना:

S = (9 + 40 + 41)/2 = 45 सेमी

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √{45(45 - 9)(45 - 40)(45 - 41)}

⇒ √{45 x 36 x 5 x 4}

⇒ √{32400}

⇒ 180 सेमी²

आता,

परित्रिज्या = \(\frac{9 \times 40 \times41}{4 \times 180}=\frac{41}{2}\)

⇒ 20 \(\frac{1}{2}\) सेमी

∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 20 \(\frac{1}{2}\) सेमी आहे.

AB = 8 सेमी, ∠A हा BC ला D येथे छेदण्यासाठी अंतर्गत दुभाजक आहे,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

∴ AC = 10 सेमी

दिल्याप्रमाणे,

त्रिकोणाच्या दोन्ही बाजू 3 सेमी आणि 8 सेमी लांबीच्या आहेत आणि तिसर्या बाजूची लांबी x सेंमी आहे.

जसे आपल्याला माहित आहे,

त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज नेहमी त्रिकोणाच्या तिसर्या बाजूपेक्षा जास्त असते.

∴ त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज > त्रिकोणाची तिसरी बाजू.

⇒ 3 + 8> तिसरी बाजू

> 11> x

तसेच,

आणखी एक स्तिती,

⇒ x + 3> 8

⇒ x> 8 - 3

⇒ x> 5

<5

ΔADE आणि ΔABC मध्ये

∠A सामाईक आहे

∠D = ∠B आणि ∠E = ∠C

∴ ΔADE ∼ ΔABC

समान त्रिकोणाच्या गुणधर्मानुसार

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \frac{4}{{4 + 3}} = \frac{{DE}}{{BC}}\\ \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

त्याचप्रमाणे ΔDOE आणि ΔBOC मध्ये

∠DEO = ∠OBC (संगत कोन समान आहेत)

∠DOE = ∠BOC (संमुख कोन)

∴ ΔDEO ∼ ΔOBC

\(\begin{array}{l} \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{DO}}{{OC}}\\ \frac{{DO}}{{OC}} = \frac{4}{7} \end{array}\)

म्हणून, \(\frac{{DO}}{{DC}} = \frac{4}{{4 + 7}} = \frac{4}{{11}}\)

दिलेले:

काटकोन त्रिकोणाच्या तीन बाजू (k – 4), k व  (k + 4)  आहेत.

सूत्र:

आपल्याला माहीत आहे, 

पायथागोरसचे प्रमेय 

(कर्ण )2 = (लंब )2 + (पाया)2

(k + 4)2 = (k – 4)2 + k2

⇒ k2 + 16 + 8k = k2 + 16 – 8k + k2

⇒ k2 = 16k

⇒ k = 16

दिल्याप्रमाणे:

त्रिकोणाच्या तीन बाजू अनुक्रमे 8 सेमी, 6 आणि 5 सेमी आहेत

संकल्पना:

P2 + B2 = H2 (काट्कोन त्रिकोणासाठी)

P2 + B2 > H2 (लघुकोन त्रिकोणासाठी)

P2 + B2 < H2 (विशालकोन त्रिकोणासाठी)

गणना:

प्रश्नानुसार,

82 > 62 + 52

⇒ 64 > 36 + 25

⇒ 64 > 61

म्हणूनच, दिलेला त्रिकोण हा विशालकोन त्रिकोण आहे.

P2 + B2 = H2 (काट्कोन त्रिकोणासाठी)

P2 + B2 > H2 (लघुकोन त्रिकोणासाठी)

P2 + B2 < H2 (विशालकोन त्रिकोणासाठी)

जेथे P, B आणि H कोणत्याही त्रिकोणाच्या तीन बाजू आहेत, H सर्वात मोठी बाजू आहे.

म्हणून, प्रत्येक प्रकारच्या त्रिकोणाच्या अटींमध्ये दिलेल्या मूल्ये लागू करताना आपल्याला चुकीचे मूल्य चुकीच्या ठिकाणी ठेवू नये याची काळजी घेणे आवश्यक आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोणाच्या दोन बाजू = 12.8 मीटर आणि 9.6 मीटर

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची

गणना:

संबंधित बाजूची उंची 12.8 मीटर = उंची

1/2 × 9.6 × 12 = 1/2 × 12.8 × उंची

⇒ (9.6 × 12)/12.8 = उंची

⇒ उंची = 9 मीटर

∴ 12.8 मीटर लांबीच्या बाजूशी संबंधित त्रिकोणाची उंची = 9 मीटर

दिलेल्याप्रमाणे:

बाजूची लांबी a = 13 इंच

बाजूची लांबी b = 15 इंच

बाजूची लांबी c = 14 इंच

वापरलेले सूत्र:

हेरॉनचे सूत्र: त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\) , जेथे s हा त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे.

उपाय:

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी आपण हेरॉनचे सूत्र वापरू शकतो.

प्रथम, आपल्याला त्रिकोणाच्या अर्ध-परिमितीची गणना करणे आवश्यक आहे:

s = (a + b + c)/2

⇒ (13 + 15 + 14)/2

⇒ 21

पुढे, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी आपण हेरॉनचे सूत्र वापरू शकतो:

क्षेत्रफळ = \(√(s(s-a)(s-b)(s-c))\)

⇒ \(√(21(21-13)(21-15)(21-14))\)

⇒  √(21(8)(6)(7))

⇒ √(24 x 32 x 72)

⇒ 84

म्हणून, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 84 चौरस इंच आहे.

दिलेले:

त्रिकोणाच्या बाजूंचे प्रमाण = 5 : 4 : 3

त्रिकोणाची परिमिती = 84 सेमी

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाची परिमिती = बाजूंची बेरीज

हिशोब:

त्रिकोणाची बाजू 5x, 4x आणि 3x आहे असे समजा जेणेकरून त्या 5: 4: 3 च्या प्रमाणात असतील.

∴ 5x + 4x + 3x = 84

⇒ 12x = 84

⇒ x = 7 cm

तर, त्रिकोणाची बाजू 35, 28 आणि 21 मीटर आहे.

∴ सर्वात मोठ्या बाजूची लांबी 35 मी आहे.

गणना:

खालील आकृतीचा विचार करा:

MN || EF

⇒ ∆DMN ∆DEF सारखे आहे

⇒ DM/DE= DN/DF = MN/EF

दिलेल्याप्रमाणे,

MN /EF = 2 ∶ 5 आणि DE = 60

⇒ 2/5 = DM/60

⇒ DM = 2 × 12 = 24 सेमी

∴ ME = DE + DM = 60 - 24 = 36 सेमी

∴ पर्याय 4 हे योग्य उत्तर आहे.

ΔABC मध्ये,

F हा AB चा मध्यबिंदू आहे आणि E हा AC चा मध्यबिंदू आहे.

∴ मध्यबिंदू प्रमेयानुसार,

EF ∥ BC

∴ EF ∥ BC       ----(1)

⇒ EF = BC/2       ----(2)

तसेच D हा BC चा मध्यबिंदू असल्याने,

⇒ EF = BD       ----(3)

समीकरण 1 आणि 3 वरून,

⇒ BDEF हा समांतरभुज चौकोन आहे.

BE आणि DF हे X या बिंदूवर छेदतात.

त्याचप्रमाणे, DCEF हा समांतरभुज चौकोन आहे.

DE आणि CF हे Y या बिंदूवर छेदतात.

∵ X आणि Y हे अनुक्रमे DF आणि DE बाजूंचे मध्यबिंदू आहेत.

ΔDEF मध्ये,

X हा DF चा मध्यबिंदू आहे आणि Y हा DE चा मध्यबिंदू आहे.

∴ मध्यबिंदू प्रमेयानुसार,

⇒ XY = EF/2 ----(4)

समीकरण 3 आणि 4 वरून

⇒ XY = BC/4