సమానత్వం మరియు సారూప్యత MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Congruence and Similarity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

రెండు త్రిభుజాలు ABC మరియు DEF లలో:

AB = EF

BC = DF

CA = DE

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు మరొక త్రిభుజం యొక్క మూడు అనురూప భుజాలకు సమానం అయితే, ఆ రెండు త్రిభుజాలు **SSS (భుజం-భుజం-భుజం) సర్వసమాన నియమం** ద్వారా సర్వసమానాలు.

గణన:

AB = EF, BC = DF మరియు CA = DE కాబట్టి, △ABC యొక్క మూడు భుజాలు △DEF యొక్క మూడు అనురూప భుజాలకు సమానం.

సర్వసమానత కోసం SSS ప్రమాణాన్ని నేరుగా వర్తింపజేయవచ్చు.

అంటే, రెండు త్రిభుజాల అన్ని అనురూప భుజాలు సమానం, కాబట్టి ∆ABC ≅ ∆EFD.

కాబట్టి, సరైన సమాధానం మొదటి ఎంపిక: ΔCBA ≅ ΔDFE.

∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.

ఇచ్చినవి:

△PQR లో, PQ భుజంపై X అనే బిందువు మరియు PR భుజంపై Y అనే బిందువును కలిపే రేఖ QR భుజానికి సమాంతరంగా ఉంది.

PY : YR నిష్పత్తి = 3 : 5

PX పొడవు = 7 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజంలో, ఒక భుజానికి సమాంతరంగా ఉన్న రేఖ మరో రెండు భుజాలను ఖండించినప్పుడు, ఆ రెండు భుజాలను అనుపాతంలో విభజిస్తుంది.

\(\frac{PX}{PQ} = \frac{PY}{PR}\)

గణన:

PY : YR = 3 : 5 ఇచ్చినందున, \(\frac{PY}{PR} = \frac{3}{3+5}\)

⇒ \(\frac{PY}{PR} = \frac{3}{8}\)

అనుపాత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

⇒ \(\frac{PX}{PQ} = \frac{PY}{PR}\)

⇒ \(\frac{7}{PQ} = \frac{3}{8}\)

PQ కనుగొనడానికి అడ్డ-గుణకారం చేయడం ద్వారా:

⇒ 7 x 8 = 3 x PQ

⇒ 56 = 3 x PQ

⇒ PQ = 56/3

PQ = 18.66 సెం.మీ

PQ భుజం పొడవు 18.66 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

ΔABC యొక్క వైశాల్యం = 63 cm²

ΔACD యొక్క వైశాల్యం = 7 cm²

AC = 5 cm

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ΔABC ∼ ΔXYZ అయితే

ar(ΔABC) / ar(ΔXYZ) = (AB/XY)² = (BC/YZ)2 = (AC/XZ)2

గణన:

ΔABC మరియు ΔACD లో

∠BAC = ∠ADC = 90°

∠C = ∠C (రెండు త్రిభుజాలలో ఉమ్మడిగా)

కాబట్టి, ΔABC ∼ ΔDAC (AA సామ్యం ద్వారా)

ఇప్పుడు,

ar(ΔABC) / ar(ΔACD) = (BC/AC)²

⇒ 63/7 = (BC/5)²

⇒ 9/1 = (BC/5)2

⇒ √(9/1) = BC/5

⇒ 3 = BC/5

⇒ BC = 5 x 3 = 15 cm

∴ BC యొక్క పొడవు 15 cm

ఇచ్చినవి:

△ABC ~ △EDF,

AB = 7 సెం.మీ,

BC = 8 సెం.మీ,

CA = 9 సెం.మీ మరియు వైశాల్యం (△ABC) ∶ వైశాల్యం (△EDF) = 1/4

ఉపయోగించిన భావన:

రెండు త్రిభుజాలు సరూపంగా ఉన్నప్పుడు వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.

గణన:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

వైశాల్యం (△ABC) / వైశాల్యం (△EDF) = (BC/DF)2 (త్రిభుజాలు సరూపంగా ఉన్నందున)

⇒ 1/4 = 82/DF2

⇒ DF2 = 82 x 4

⇒ DF = 8 x 2 = 16 సెం.మీ

∴ DF 16 సెం.మీ కి సమానం.

ఇచ్చినవి:

ΔXYZ వైశాల్యం = 16 cm²

ΔLMN వైశాల్యం = 25 cm²

YZ = 2.4 cm

ఉపయోగించిన సూత్రం:

\( \frac{\text{Area of ΔXYZ}}{\text{Area of ΔLMN}} = \left( \frac{\text{YZ}}{\text{MN}} \right)^2\)

గణన:

\(\frac{16}{25} = \left( \frac{2.4}{\text{MN}} \right)^2\)

⇒ \(\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{2.4}{\text{MN}}\)

⇒ \( \frac{4}{5} = \frac{2.4}{\text{MN}}\)

⇒ \( \text{MN} = \frac{2.4 \times 5}{4}\)

⇒ MN = 3 cm

కాబట్టి, MN కొలత 3 cm.

ఇచ్చిన:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ΔPQR మరియు ΔDEF యొక్క భుజాలు 5 ∶ 6 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

(PQR) వైశాల్యం = 75 సెం.మీ²

ఉపయోగించిన భావనలు:

సారూప్య త్రిభుజాల వైశాల్యం యొక్క నిష్పత్తి సంబంధిత త్రిభుజాల భుజాల నిష్పత్తి యొక్క వర్గానికి సమానం.

లెక్కింపు:

ΔPQR ∼ ΔDEF

(PQR) వైశాల్యం/(DEF)వైశాల్యం = (ΔPQR భుజం/ΔDEF భుజం)²

⇒ 75 సెం.మీ ² /(DEF) వైశాల్యం = (5/6) ²

⇒ (DEF) వైశాల్యం = 108 సెం.మీ ²

∴ ΔDEF వైశాల్యం 108 సెం.మీ² కి సమానం.

ఇవ్వబడినవి:

Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{4}{9}\) ,

AC = 12 సె౦.మీ, AB = 18 సె౦.మీ మరియు BC = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

Δ ABC ∼ Δ QPR ⇒ సంబంధిత వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = సంబంధిత భుజాల వర్గాల నిష్పత్తి

అంటే, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

లెక్కింపు:

⇒ 4/9 = (10)² /PR²

⇒ PR² = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 సెం.మీ

మిస్టేక్ పాయింట్లు ఈ ప్రశ్నలో, ΔABC ΔQPRని పోలి ఉంటుంది. ΔPQR అని తప్పుగా చదవవద్దు.

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 సెం.మీ.

కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతం ప్రకారం,

కాబట్టి, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 సెం.మీ.

ఇచ్చినది:

DE = 9 , EF = 12 సెం.మీ, మరియు DF = 7 సెం.మీ

DO అనేది ∠EDF యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ

ఉపయోగించిన భావన:

ఒక త్రిభుజంలో, ఒకవేళ AD అనేది ∠BAC యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ అయితే, ఎదురుగా ఉన్న BCని D వద్ద కలుస్తుంది

కోణ సమద్విఖండన రేఖ సిద్ధాంతం ద్వారా

AB/AC = BD/CD

గణన:

DE = 9 , EF = 12 సెం.మీ, మరియు DF = 7 సెం.మీ

DO అనేది ∠EDF యొక్క కోణ విభాజకం

కోణ సమద్విఖండన రేఖ సిద్ధాంతం ద్వారా,

DE/DF = EO/OF

⇒ 9/7 = (EF - OF)/OF

⇒ 9/7 = (12 - OF)/OF

⇒ 9 x OF = 84 - 7 x OF

⇒ 16 x OF = 84

⇒ OF = 84/16

⇒ OF = 5.25 సెం.మీ

∴ OF విలువ 5.25 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి :-

ΔABC మరియు ΔPQR సరూపాలు

AB = 8 సెం.మీ

PQ = 12 సెం.మీ

QR = 18 సెం.మీ

RP = 24 సెం.మీ

ఉపయోగించే భావన :-

రెండు త్రిభుజాలు వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి ఒకే విధంగా ఉంటే మరియు అనురూప కోణాల జతలు సమానంగా ఉంటే అవి సరూపాలు.

(1) AB/PQ = BC/QR = AC/PR

(2) angle A = angle P , angle B = angle Q , angle C = angle R

గణన :-

⇒ AB/PQ = BC/QR = AC/PR

⇒ 8/12 = BC/18 = AC/24

⇒ BC = (18 x 8) /12 = 12cm

మరియు,

⇒ AC = (12 x 24) /18 = 16 cm

ఇప్పుడు,

⇒ త్రిభుజం ABC చుట్టుకొలత = AB +BC + AC = 8 + 12 + 16

⇒ త్రిభుజం ABC చుట్టుకొలత = 36cm

D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు మరియు E అనేది AB యొక్క మధ్య బిందువు అయితే, అప్పుడు

DE ∥ AC

BC = 2 యూనిట్ మరియు BD = 1 యూనిట్ అనుకుందాం

మనకు తెలిసినట్లుగా,

ΔBDE యొక్క వైశాల్యం/ΔBCA యొక్క వైశాల్యం = (BD/BC)2

⇒ ΔBDE యొక్క వైశాల్యం/44 = (1/2)2

∴ ΔBDE యొక్క వైశాల్యం = (1/4) × 44 = 11 సెం.మీ2

మనకు తెలిసినట్లుగా,

AD మధ్యగతం, కాబట్టి AD త్రిభుజాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది

వైశాల్యం ΔADB = వైశాల్యం ΔADC

ΔABD లో

⇒ వైశాల్యం ΔBDG/వైశాల్యం ΔBGA = DG/AG

⇒ వైశాల్యం ΔBDG/వైశాల్యం ΔBGA = 1/2

ΔBDG యొక్క వైశాల్యం = 1 యూనిట్ గా అనుకుందాం.

కాబట్టి, ΔBGA యొక్క వైశాల్యం = 2 యూనిట్ అవుతుంది

కాబట్టి, ΔBAD = వైశాల్యం ΔBDG + వైశాల్యం ΔBGA = 1 + 2 = 3 యూనిట్

ΔABC యొక్క వైశాల్యం = 2 × వైశాల్యం ΔBAD = 2 × 3 = 6 యూనిట్

∴ వైశాల్యం ΔBDG : వైశాల్యం ΔABC = 1 : 6

రెండు సారూప్య త్రిభుజాల కోసం, సంబంధిత భుజాలు నిష్పత్తిలో ఉంటాయి మరియు త్రిభుజాల చుట్టుకొలత నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది

అలాగే, సారూప్య త్రిభుజాల ప్రాంతాల నిష్పత్తి వాటి సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి యొక్క వర్గానికి సమానం

⇒ సారూప్య త్రిభుజాల ప్రాంతాల నిష్పత్తి = త్రిభుజాల చుట్టుకొలత నిష్పత్తి యొక్క చతురస్రం

⇒ ΔABCవైశాల్యం/ΔPQR వైశాల్యం = (ΔABC చుట్టుకొలత/ΔPQR యొక్క చుట్టుకొలత)²

⇒ 448/ΔPQR వైశాల్యం = (24/21)²

⇒ ΔPQR వైశాల్యం = 49/64 × 448

∴ ΔPQR వైశాల్యం = 343 సెం.మీ.² 

ఇచ్చినవి

AD = 8 సెం.మీ; DB = 6 సెం.మీ; DE = 4 సెం.మీ

వైపు AB = AD + DB = 8 + 6 = 14 సెం.మీ

రూల్ :

ఎటు వైపుకైనా సమాంతరంగా గీసిన గీత, మిగిలిన రెండు వైపులా సమానంగా  ప్రకారం విభజిస్తుంది ” కాబ్బటి  

⇒ AD/DE = AB/BC

⇒ 8/4 = 14/BC

⇒ BC = 14 × 4/ 8

⇒ BC = 56/8 = 7 cm

ΔXYMలో,

∠XYM + ∠XMY + ∠YXM = 180°

⇒ 16° + (180° – ∠XMZ) + ∠YXM = 180°      (∵ ∠XMY + ∠XMZ = 180°)

⇒ 16° + 180° – 32° + ∠YXM = 180°

⇒ ∠YXM = 16° = ∠XYM

∴ YM = XM = MZ      (∵ M అనేది YZ మధ్య భిందువు)

∴ ∠MXZ = ∠MZX = ∠XZY

ΔXMZలో,

∠XMZ + ∠MXZ + ∠MZX = 180°

⇒ 32° + ∠MXZ + ∠MXZ = 180°

⇒ 2 × ∠MXZ = 180° – 32°

⇒ ∠MXZ = 74° 

⇒ ∠XZY = ∠MXZ = 74°

∴ ∠XZY విలువ  74°