Wave Speed on a Stretched String MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Wave Speed on a Stretched String - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

तनी हुई डोरी में तरंग वेग:

• तनी हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की चाल निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
  v = √(T / μ)
  • T = डोरी में तनाव,
    μ = डोरी का रैखिक द्रव्यमान घनत्व।
• समान लंबाई और त्रिज्या वाली, लेकिन भिन्न घनत्व वाली दो डोरियों के लिए, तरंग की चाल डोरी के पदार्थ के घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• यदि डोरी B का घनत्व डोरी A की तुलना में 2% अधिक है, तो डोरी B में तरंग की चाल तदनुसार परिवर्तित हो जाएगी।

गणना:

दिया गया है,

डोरी A में तरंग की चाल, v = √(T / μ_A)

डोरी B का घनत्व, ρ_B = 1.02 × ρ_A (चूँकि A के घनत्व से 2% अधिक)

डोरी B में तरंग की चाल, v_B = √(T / μ_B)

चूँकि दोनों डोरियों के लिए तनाव समान है और उनकी त्रिज्याएँ समान हैं, इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व पदार्थ के घनत्व से सीधे संबंधित है। इसलिए, μ_B = 1.02 × μ_A

इस प्रकार, डोरी B में तरंग की चाल होगी:

v_B = √(T / (1.02 × μ_A))

v_B = v / √(1.02)

∴ डोरी B में तरंग की चाल v / √(1.02) है।
इसलिए, सही विकल्प 4) v / √(1.02) है।

अवधारणा:

डोरी में तरंग समीकरण और तनाव:

• डोरी के लिए तरंग समीकरण इस प्रकार दिया गया है: y = A sin( 2π ( t / T - x / λ ) )
• जहाँ:
  • A = तरंग का आयाम
  • T = तरंग का आवर्तकाल
  • λ = तरंग की तरंगदैर्ध्य
  • t = समय
  • x = डोरी के अनुदिश स्थिति
• तनाव के अधीन एक डोरी के लिए, तनाव (T) तरंग वेग और रेखीय द्रव्यमान घनत्व (μ) से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: T = μ v² = μ ( ω / k )²
• जहाँ:
  • μ = रेखीय द्रव्यमान घनत्व (kg/m)
  • v = तरंग चाल (m/s)
  • ω = कोणीय आवृत्ति (rad/s)
  • k = तरंग संख्या (rad/m)

गणना:

दिया गया है,

आयाम, A = 0.02 m

रेखीय द्रव्यमान घनत्व, μ = 0.04 kg/m

तरंग संख्या (k) दी गई है: k = 2π / λ = 2π / 0.50 = 4π rad/m

कोणीय आवृत्ति (ω) दी गई है: ω = 2π / T = 50π rad/s

डोरी में तनाव है:

T = μ ( ω / k )² = 0.04 x ( (50π) / (4π) )² = 6.25 N

∴ डोरी में तनाव 6.25 N है।

\(\Rightarrow \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{M}{L}\right) xg}{\left(\dfrac{M}{L}\right)}} = \sqrt{xg}\)

अवधारणा:

तनाव T और प्रति इकाई लंबाई μ द्रव्यमान के तहत एक डोरी का तरंग वेग

⇒ v = \(\sqrt{\frac{T}{μ} } \)

स्पष्टीकरण:

पहली डोरी के लिए,

लम्बाई = l, त्रिज्या = r, घनत्व = ρ

तार का आयतन = πr2L

∴ घनत्व = द्रव्यमान/आयतन

⇒ आयतन = द्रव्यमान/घनत्व = m1/ρ 

तो, हमारे पास है, πr2L = m1/ρ 

⇒ m1/L = πr2ρ = प्रति इकाई लम्बाई द्रव्यमान = μ

अतः, वेग v = \(\sqrt{\frac{T}{\pi r^2\rho} } \) ---- (1)

इसी प्रकार द्रव्यमान m₂ वाले दूसरे पदार्थ के लिए

⇒ m2/L = πr2(3ρ) ​ 

तो, वेग v' = nv = \(\sqrt{\frac{T}{\pi r^ 2 3\rho} } = \frac{1}{\sqrt{3}} v = 0.58 v\)

∴ n = 0.58

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

डोरी पर तरंग तनाव और रैखिक द्रव्यमान घनत्व पर निर्भर करती है। डोरी पर तरंग का वेग \(v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) होता है, जहाँ T तनाव है, μ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।

व्याख्या:

तनाव 1.6 N है।

μ का मान \(\frac{10{-2}}{0.4}=0.025\ \text{kg/m}\)
डोरी पर तरंग का वेग दिया गया है:

\(v=\sqrt{\frac{1.6}{0.025}} \\ v=8\ m/s\)

वह समय जिसमें डोरी का आकार समान पाया जाता है, वह दूरी का दोगुना है जो तरंग परावर्तन के बाद तय करती है। इस प्रकार,

\(\Delta t=\frac{2 \times 0.4}{8} \\ \Delta t=0.1 \ s\)

सही विकल्प (2) है।

अवधारणा:

मौलिक आवृत्ति:

किसी भी दोलित निकाय की निम्नतम आवृत्ति को मौलिक आवृत्ति कहा जाता है।

एक डोरी की मौलिक आवृत्ति इस प्रकार है-

\(n = \frac{1}{{2l}}\;\sqrt {\frac{T}{m}}\;\)

जहां l =डोरी की लंबाई, T = डोरी में तनाव m =  रैखिक द्रव्यमान घनत्व

गणना:

एक डोरी  की मौलिक आवृत्ति (v) इस प्रकार है-

\(n = \frac{1}{{2l}}\;\sqrt {\frac{T}{m}}\;\)

चूंकि T और m नियत है

\(\therefore n\propto \frac {1}{l}\)

⇒ n1l1 = n2l2 = n3l3 = k       [जहां k = नियतांक]

\(⇒ l_1=\frac{k}{n_1},\,\,\, l_2=\frac{k}{n_2},\,\,\, l_3=\frac{k}{n_3}\)

डोरी की मूल लंबाई है

\(\Rightarrow l=\frac{k}{n}\)

डोरी की कुल लंबाई है

⇒ l = l1 + l2 + l3

 l, l1, l2, और l3 का मान ऊपर की समीकरण में रखने पर हमें प्राप्त होगा-

\(\Rightarrow \frac{k}{n} = \frac{k}{n_1}+\frac{k}{n_2}+\frac{k}{n_3}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{n}=\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}\)

अवधारणा :

• अनुप्रस्थ तरंग: वह उत्पन्न तरंग जैसे कि तरंग के प्रसार के लिए दिशा में कण दोलन करते हैं, अनुप्रस्थ तरंग कहलाती है।
  • जब हम एक घनिष्ठ स्ट्रिंग को थोड़ा खींचते हैं तो अनुप्रस्थ तरंग देखी जा सकती है।

• इस तरह की अनुप्रस्थ तरंग की गति इस प्रकार है:

\(v = \frac{T}{\mu } \)

जहां T घनिष्ठ स्ट्रिंग में तनाव है और μ स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।

गणना :

दिया हुआ,

स्ट्रिंग में तनाव T = 60N

स्ट्रिंग का द्रव्यमान = 5.0 × 10–3 kg

स्ट्रिंग की लंबाई = l = 0.72 m

स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान \(\mu = \frac{5\times 10^{-3}kg}{0.72m}\)

⇒μ = 6.67 × 10-3 kg 

गति \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu }}\)

⇒ \(v = \sqrt{\frac{60}{6.67\times10 ^{-3} }} m/s \)

इसे हल करने पर, हमें v = 93 m/s का अनुमानित मूल्य मिलेगा।

तो, विकल्प 3 सही उत्तर है।

अवधारणा:

• सरल आवर्त गति (SHM) : सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन है, जहाँ प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
  • उदाहरण: एक अनवमंदित लोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग -द्रव्यमान प्रणाली।

एक तनित डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति निम्न द्वारा दी गई है:

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{T}}}{{\rm{\mu }}}}\)

जहां v तरंग का वेग है, वहीं T डोरी में तनाव है; μ प्रति इकाई लंबाई में द्रव्यमान है।

व्याख्या:

एक तनित डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगों की गति है, v = √(T/X)

1. यहां X प्रति इकाई लंबाई या रैखिक घनत्व में डोरी का द्रव्यमान है। तो विकल्प 1 सही है।
2. प्रत्यास्थता का आयतन मापांक (B): यह जलीय (संपीड़न) प्रतिबल (p) और आयतनिक विकृति (ΔV/V) का अनुपात है।
3. यंग का मापांक: यंग का प्रत्यास्था मापांक, तार के खिंचाव आदि के लिए लागू होता है,जो अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर लागू लोड और प्रति इकाई लंबाई मे लंबाई की वृद्धि का अनुपात है।
4. घनत्व: प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान को घनत्व कहा जाता है।

• सरल आवर्त गति (SHM): सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन है जहां प्रत्यानयन बल विस्थापन के समान आनुपातिक है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
• उदाहरण: एक अवमंदन लोलक की गति, अवमंदन स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली।

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{T}}}{{\rm{\mu }}}}\) जहां v तरंग का वेग है, T तार का प्रतिबल है, μ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।

गणना:

दी गई लंबाई l = 2 m, 2 m तार का द्रव्यमान m = 10 g, तरंग का वेग v = 40 m/s.

\({\rm{\mu }} = \frac{{\rm{m}}}{{\rm{l}}} = \frac{{10}}{2} = \)  5 g/m = 5 × 10^-3 kg/m सूत्र द्वारा

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{T}}}{{\rm{\mu }}}} \) ;

\(40 = \sqrt {\frac{T}{{5 \times {{10}^{ - 3}}}}} \) ⇒ 40² × 5 × 10^-3 = 8 N.

T = 8 N.

अवधारणा:

• सरल आवर्त गति (SHM): सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवर्त गति या दोलन है जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
  • उदाहरण: एक अनवमंदित लोलक की गति, अनवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली।

एक तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति निम्न रूप में दी जाती है:

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{T}}}{{\rm{μ }}}}\,\)

जहां v तरंग का वेग है, T डोरी में तनाव है; μ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

गणना:

माना कि μ रस्सी का प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

एक तनी हुई डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति निम्न रूप में दी जाती है: v = √(T/μ).

निचले सिरे से x की दूरी पर, हम एक तनाव पाएंगे, जो होगा

T = μ g x

इसलिए, सूत्र का उपयोग करने पर

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{T}}}{{\rm{μ }}}}\,\)  (एक डोरी पर अनुप्रस्थ तरंग की गति)

\({\rm{v}} = \sqrt {\frac{{\rm{\mu \,g\,x}}}{{\rm{μ }}}}\,\)

v =\(\sqrt {gx}\,\)

व्याख्या:

→किसी भी डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की चाल \(v = \sqrt{\frac{T}{μ}} \) 

जहाँ, T = डोरी में तनाव, μ = प्रति इकाई पिंड(द्रव्यमान) की लंबाई

दिया गया है: 

द्रव्यमान, m = 2.5 kg,लम्बाई , l = 20.0 m

∴ μ = m/l = 2.5/20 = 0.125 kg/m

अतः चाल, \(v = \sqrt{\frac{200}{0.125}}\) 

v = √1600 = 40 m/s

∴ तरंग को एक छोर से दूसरे छोर तक जाने में लगने वाला समय

= तरंग को 20 m की दूरी तय करने में लगने वाला समय

t = दूरी/वेग = 20/40 = 0.5 s

तो, सही उत्तर विकल्प (2) है।

अवधारणा:

• मौलिक आवृत्ति: यह आवधिक तरंग की सबसे कम आवृत्ति है। इसे प्राकृतिक आवृत्ति के रूप में भी जाना जाता है।

एक सोनोमीटर तार की मौलिक आवृत्ति:

\(f =\frac{1}{2l} . \sqrt{T\over μ}\)

जहां f मौलिक आवृत्ति है, l तार की लंबाई है, t तार में तनाव है, और μ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।

व्याख्या:

आवृत्ति इस प्रकार होगी-

\(f =\frac{1}{2l} . \sqrt{T\over μ}\)

दिया गया है:

तनाव चार गुणा कर दिया गया है:

तो नया तनाव (T') = 4T

नई आवृत्ति होगी:

\(f' =\frac{1}{2l} . \sqrt{4T\over μ} =2 \times \frac{1}{2l} . \sqrt{T\over μ} = 2f\)

• इस प्रकार आवृत्ति 2 गुणी  हो जाती है। इसलिए विकल्प 1 सही है।

व्याख्या:

दिया है:

स्ट्रिंग A और B एक ही सामग्री के हैं और एक आवृत्ति उत्पन्न करते हैं जो 6 हर्ट्ज है।

इसलिए, f_A और f_B के बीच का अंतर 6 हर्ट्ज है

अर्थात्, fA – fB = 6 Hz ---(1)

जहाँ क्रमशः f_A, A की आवृत्ति है और f_B B की आवृत्ति है।

यदि तनाव घटता है, तो f_B घटता है और f_B बन जाता है।

अब, f_A और f_B के बीच का अंतर = 7 Hz (बढ़ता है), जिसका अर्थ है कि स्ट्रिंग A की आवृत्ति स्ट्रिंग B की आवृत्ति से अधिक है।

इसलिए, f_A > f_B

जैसा कि हम जानते है, f_A = 530 Hz

f_A का मान समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है;

530 – f_B = 6 

⇒ -f_B = 6-530

⇒ -f_B = -524

⇒ f_B = 524 Hz

अत: विकल्प 4) सही उत्तर है।

सही उत्तर विकल्प 1) है अर्थात् 7.

संकल्पना:

• खींची गई तार में आवृत्ति:
  • एक ताना हुआ तार हमेशा तार की लंबाई के साथ एक तनन बल के अधीन होता है।
  • जब एक ताना हुआ तार कंपित होता है, तो वह अनुप्रस्थ तरंगें उत्पन्न करता है।

अनुप्रस्थ तरंग की आवृत्ति (ν) तार के तनन से निम्न रुप से संबंधित होती है:

 \(ν = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{μ}}\)

जहाँ L तार की लंबाई, T  तार में तनन और μ दी गई तार में द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई है।

•  विस्पंद: विस्पंद एक ध्वनि की तीव्रता में सुना जाने वाली आवधिक उतार-चढ़ाव हैं जब लगभग समान आवृत्तियों की दो ध्वनि तरंगें एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप करती हैं।
  • विस्पंद की संख्या दो हस्तक्षेप करने वाली तरंगों की आवृत्तियों के अंतर से प्राप्त होती है।

​गणना:

आवृत्ति, \(ν = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{μ}}\)

\(ν_1 = \frac {1}{2 \times 0.516} \sqrt{\frac{20}{10^{-3}}} = \) 137 Hz

\(ν_2 = \frac {1}{2 \times 0.491} \sqrt{\frac{20}{10^{-3}}} = \) 144 Hz

विस्पंद= आवृत्ति में अंतर = ν₂ - ν₁ = 144 - 137 = 7

अवधारणा :

• स्थिर तरंग को अप्रगामी तरंग के नाम से भी जाना जाता है।
  • यह समान आयाम और समान आवृत्ति वाली दो तरंगों का संयोजन है, जो विपरीत दिशा में गति करती हैं।
    • यह हस्तक्षेप का परिणाम है।
• किसी यंत्र का आवर्त: किसी संगीत वाद्य यंत्र में प्राकृतिक आवृत्तियों का एक समूह होता है, जिस पर कोई व्यवधान उत्पन्न होने पर वह कंपन करता है।
  • प्राकृतिक आवृत्तियों के इस समूह को यंत्र के आवर्त के रूप में जाना जाता है।

अप्रगामी तरंग में nवें आवर्त की आवृत्ति निम्न प्रकार से दी जाती है:

\(ν_n=\frac{nv}{2L}\)

जहाँ n, nवाँ आवर्त है, v ध्वनि की गति है, L डोरी की लम्बाई है।

गणना :

द्वितीय आवर्त के लिए n = 2

अप्रगामी तरंग में द्वितीय आवर्त की आवृत्ति

\(ν=\frac{nv}{2L}\)

\(ν=\frac{2v}{2L}\)

\(ν=\frac{v}{L}\)

अतः, सही उत्तर विकल्प 1 है।